江苏省扬州中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

（北京）股份有限公司 江苏省扬州中学2022-2023 学年第二学期期中考试 高一数学 一、单项选择题：（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每题给出的四个选项中，只有 一项是符合题意的，请将所有选择题答案填涂到答题卡的指定位置） 1.复数 的模为（ ） A. B.1 C. D. 2.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3.已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 （ ） A. B. C.5 D.4 4.若函数 在 上单调递增，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 5.在 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 所对的边长，若 ， ，则 的面 积是（ ） A.3 B. C. D. 6.设复数z 满足： ，那么 （ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 7.在 中，若 ，则 （） A. B. C. D. 8.设向量 ， 的夹角为 ，定义 若平面内互不相等的两个非零向量 ， 满足： ， 与 的夹角为 ， 的最大值为（ ） A.2 B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每题给出的四个选项中，有多 项是符合题意的，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错选的得0 分） 9.对于任意的平面向量 ， ， 下列说法错误的是（ ） A.若 且 ，则 B. C.若 ，且 ，则 D. 10.已知：函数 ，若直线 与函数 的图像有三个交点 ， ， ，且 ，则下列命题中正确的是（ ） A.函数 有两个零点0 和2 B. C.方程 有6 个不同的根 D.当 时，方程 有两个不相等的实根 11.已知复数 ， 满足 ， ，则 有（ ） A.最大值 B.最大值 C.最小值 D.最小值 （北京）股份有限公司 12.设 的内角A，B，C 所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是（ ） A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13.已知 ， 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 ________. 14.若 ，则 的值为________. 15.正 边长等于 ，点P 在其外接圆上运动，则 的取值范围是________. 16.已知 ，若存在 ，满足 ，则称 是 的一个 “友好”三角形. （i）在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是________：（请写出符合要求的条件的序号）① ；② ；③ （ii）若等腰 存在“友好”三角形，且其顶角的度数为________. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.设 ， 是两个不共线的向量 （1）判断 与 是否共线，并说明理由； （2）已知 ， ， ，若A，B，D 三点共线，求k 的值. 18.设复数z 满足 ； （北京）股份有限公司 （1）求复数 ； （2）求 的值. 19.已知 ， ，其中 . （1）求证： 与 互相垂直； （2）若 与 的模相等，求 的值（k 为非零的常数）. 20.在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点D 满足 与 . （1）若 ，求A 的值： （2）求B 的最大值. 21.如图，海上有A，B 两个小岛相距10km，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为 ，现从船O 上泥下 一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且 ，设 . （1）用x 分别表示 和 ，并求出x 的取值范围： （2）晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD，求BD 的最大值. 22.已知定义在R 上的函数 同时满足： ① （ ，a 为实数）； ② ； ③当 时， . 求：（1）函数 的解析式； （2）实数a 的取值范围. （北京）股份有限公司 江苏省扬州中学2022-2023 学年第二学期期中考试 高一数学 一、单项选择题：（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题 意的，请将所有选择题答案填涂到答题卡的指定位置） 1.【答案】：A 2.【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式 可得结果 详解： 故选B. 3.【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y，根据向量模的坐标表示求得正确答案 【详解】根据题意， ，且 ，则有 ，解可得 ，即 ， 则 ，故 故选：C 4.【答案】D 【解析】【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，求出正弦函数的单调增区间，即可得出 的最大值 【详解】由题意可得 ，令 ， 得 ， ，令 ，得 ，所以 的最大值为 故选：D 5.【答案】C 【解析】由 可得 ①，由余弦定理及 可得 . ②所以由①②得 ，所以 . 6.【答案】B 解法1：设 ，由已知 由复数相等可得 故 选B. （北京）股份有限公司 解法2，由已知可得 …….①取模后平方可得 ，所以 ，代入①得 ，故选B. 7.【答案】：D 解： ， ， ， ， ， 8.【答案】C 【解析】设 ，则 ， ， 与 的夹角为 ， 中， ， ， 由正弦定理可得： 的半径为1，则B 点为圆上与OA 不重合的动点， 设 ， 由正弦定理可得， ， ， 则 当 时， 取得最大值，且为 ，选C 二、多项选择题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每题给出的四个选项中，有多 （北京）股份有限公司 项是符合题意的，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错选的得0 分） 9.【答案】ACD 【解析】A. 与任何向量都共线，这里没有传递性：B 中是向量数量积的分配律，所以成立而没有结合律所 以D 错误，向量和数是有差别，不能两边除同一向量 【详解】A. ，命题不成立：C.若 和 、 都垂直，显然 ， 最少在模长方面没有任何关系，所以命 题不成立： D. 很多时候是不成立的，如下图： 若 ，则 与 是一个分别和 、 共线的向量，显然命题不成立B 是分配律显然成立的.所以答案是ACD 【点睛】考查向量的运算法则， 不可忽略，向量运算不能乱套用. 10.答：ABD，可画出函数图像判断. 11.BD，将 平方，然后用三角不等式处理。 12.【答案】ABC 【解析】A B C 当 时， 与 矛盾 D 取 满足 得： 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 （北京）股份有限公司 13.【答案】 14.【答案】 【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得 ，利用两角和的正 切公式可得 ，然后相除可得 【详解】因为 ， 所以 所以 .故答案为： 15.【解析】如图所示 由正 边长等于 ，点P 在其外接圆上运动， ， . ，也可用 化简得 ， （北京）股份有限公司 16.答：②： 四、解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 17.解：（1）当 时，则 ）.显然 与 共线. 当 时， ， 与 共线. （2）解. A，B，D 三点共线， 与 共线，即存在实数 ，使得 ， 即是 由向量相等的条件，得 ， 18.答案：（1） ；（2） 19.证明：（1） 与 互相垂直 （2） ， ， ， ， （北京）股份有限公司 而 ，又 ，所以 20.【考点】解三角形与平面向量综合应用 【解析】（1）因为 ，所以 ， 即 ，所以 ， 因为 ，所以 ，因为 ，所以 . （2）因为 ， 所以 ，即 ， ； 因为 ，所以B 的最大值为 . 21.解（1）在 中 ， ， 由余弦定理得 又 ，所以 ①， 在 ，中 ， 由余弦定理得 ②， + ①②得 ， （北京）股份有限公司 - ①②得 ，即 ， 又 ，所以 ，即 ， 又 ，即 ，所以 ； （2）易知 ， 故 ， 又 ，设 ， 所以 ， ， 利用单调性定义证明 在 上是增函数 所以 的最大值为 ，即BD 的最大值为10 如果直接说出 上是增函数，但未给出证明，扣2 分。 22.解：（1）在 中， 分别令 ； ； 得 由①+ - ②③， （北京）股份有限公司 得 （2）当 时， . ， （i）当 时， . 即 . . （ii）当 时， .即 . 综上，满足条件a 的取值范围 . （北京）股份有限公司