江苏省扬州中学2021-2022学年高一下学期期中检测数学试题

江苏省扬州中学2021-2022 学年度第二学期期中试题 高一数学 2022.04 试卷满分：150 分， 考试时间：120 分钟 注意事项： 1.作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码。 2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填 涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 3.考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员。 第 Ⅰ 卷 （选择题 共60 分） 一.单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题意的。（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中。） 1.已知  1 i 2i z   ，则复数z 的共轭复数是（ ） A．1 i  B．1 i   C．1 i  D．1 i   2.已知 ，向量 a  与 b  的夹角为 ，则 （ ） A．5 B．19 C．3 2 D．13 3.在ABC  中， 60 A   ， 1 b ，ABC  的面积为 3 ，则sin a A 为（ ） A． 8 3 81 B． 2 39 3 C． 26 3 3 D．2 7 4.在 中，角 的对边分别为 .根据下列条件解三角形，其中有两解的 是（ ） A． B． C． D． 5.已知 1 sin 2 6 3           ， 0, 2        ，则 sin 6           （ ） A． 6 3 B． 3 3 C． 2 3 D． 1 3 6.已知函数 是奇函数且当 时是减函数，若 ，则函数 的零点共有（ ） A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 7.已知ABC  外接圆圆心为O ，半径为1，2AO AB AC   � ，且 3 OA AB  � ，则向量AB � 在向量BC � 上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 8.已知向量, , a b c  满足 2, 3 a b a b     ， ( 0, 0) c xa yb x y       ，若向量 2 c a   与向量 2 3 c b    的夹角为3  ，则 1 | | 2 c a   的取值范围是（ ） A． 7-2 7+2     ， B．3 7+2  ， C．  1 3 ， D．3 7+2  ， 二.多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共40 分。在每题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。 9.下列式子等于 cos 6 x        的是（ ） A． 5 cos 6 x        B． 2 sin 3 x         C． 3 cos sin 2 x x  D． 2 2cos 1 12 2 x          10.下列命题为真命题的是（ ） A．若 1 2 , z z 互为共轭复数，则 1 2 z z 为实数 B．若i 为虚数单位，n 为正整数，则 4 3 i i n C．复数 5 i 2  的共轭复数为2 i   D．复数为2 i   的虚部为－1 11.已知ABC  的重心为G，点E 是边BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．A BG CG G   � B．若 2 1 3 3 AE AB AC   � ，则EAC  的面积是ABC  面积的 2 3 C．若 2 AB AC  ， 3 BC ，则 7 6 AB AG   � D．若 2 AB AC  ， 3 BC ，则当EA EB  � 取得最小值时， 37 4 EA  � 12.由倍角公式 2 cos2 2cos 1 x x   ，可知 cos2x 可以表示为 cos x 的二次多项式．一般地， 存在一个n （n  N ）次多项式  1 2 0 1 2 n n n n n P t a t a t a t a          （ 0 1 2 , , , n a a a a   R ）， 使得   cos cos n nx P x  ，这些多项式  n P t 称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff) 多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ） A．  3 3 4 3 P t t t   B．  4 2 4 8 8 1 P t t t    C． 5 1 sin18 4   D． 5 1 cos18 4   第 Ⅱ 卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.利用二分法求 的零点时,第一次确定的区间是 ,第二次确定的 区间是． 14.平面凸四边形ABCD 中， 60 A   ， 105 B   ， 6 2 AB   ， 2 2 AD  ，CD t  (t 为常数)，若满足上述条件的平面凸四边形ABCD 有且只有2 个，则t 的取值范围是． 15. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能 折叠的扇子，如图1．其平面图如图2 的扇形AOB ，其中 120 AOB   ， 2 2 OA OC  ， 点E 在弧 CD 上，则EA EB  � 的最小值是． 16.已知在平面直角坐标系中，点 ､点 （其中 为常数，且 ）， 点 为坐标原点．如图，设点 是线段AB 的等分点，则当 时， =．（用含 的式子表示） 第16 题 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 ， ， ． （1）求与的夹角； （2）若 ，求实数的值． 18.已知复数    2 2 2 2 3 i, R z m m m m m       ，其中i 为虚数单位． （I）若复数为纯虚数，求 的值； （II）若满足 ，求 的值． 19.在①(2 )cos cos b c A a C   ，②(sin sin )( ) (sin sin ) A B a b c C B     ，③ tan tan tan 3 tan tan A B C B C    这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解 答. 已知 的内角 所对的边分别是 ，若___________. (1)求 ； (2)若点 在线段 上， ， ,且 ，求. 20.由于2020 年1 月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响．6 月初政府在个别地区推行地摊经济、小店经济以刺激消费和促进就业．某商场经营者吴 某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意．已知该商场门前是一块角形区域，如图 所示，其中 ，且在该区域内点 处有一个路灯，经测量点 到区域边界 的距离分别为 ，（ 为长度单位）．吴某准备过点 修建一 条长椅 （点 分别落在 ，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以 供购买冷饮的人休息． （1）求线段 的长； （2）为优化经营面积，当 等于多少时，该三角形 区域面积最小？并求出面积 的最小值． 21.已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的伴特征向量，同时称函数 为向量 的相伴函数. （1）设函数 ，试求 的相伴特征向量 ； （2）记向量 (1, 3) ON  � 的相伴函数为 ( ) f x ，求当 8 ( ) 5 f x  且 , 3 6 x        时，sin x 的值； （3）已知 ( 2,3) A  ， (2,6) B ， ( 3,1) OT  � 为 ( ) sin 6 h x m x         的相伴特征向量， ( ) 2 3 x x h          ，请问在 ( ) y x   的图象上是否存在一点P，使得AP BP  � .若存在，求 出P 点坐标；若不存在，说明理由. 22.已知函数 ， ，用 表示 中的最 小值，设函数 . (1)当 时，若 有两个零点，求的取值范围； (2)讨论 零点的个数. 命题人: 凌卫红、徐孝慧、陈瑶，审题人： 王祥富