116 数形结合思想

数形结合思想 【规律总结】 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。 中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数 形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形： 或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种 关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助 数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需 要给图形赋值，如边长、角度等。 【典例分析】 例1、如图，是反比例函数y1= k x 和一次函数y2=mx+n的图 象，若y1< y2，则相应的x 的取值范围是() 1<x<6 B x<1 x<6 D x>1 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决此类问题，观察 图象得到：当1<x<6时，一次函数y2的图象都在反比例函数y1的图象的上方，即满足 y1< y2． 【解答】 解：由图形可知：若y1< y2，则相应的x 的取值范围是：1<x<6； 故选． 例2、如图，直线y=mx+n与抛物线y=a x 2+bx+c交于 A(−1, p)，B(4 ,q)两点，则关于x 的不等式 mx+n>a x 2+bx+c的解集是________． 【答】x←1或x>4 【解析】 【分析】 观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题 的关键． 【解答】 解：观察函数图象可知：当x←1或x>4时，直线y=mx+n在抛物线y=a x 2+bx+c的上 方， ∴不等式mx+n>a x 2+bx+c的解集为x←1或x>4． 故答为x←1或x>4． 例3、如图，已知数轴上的点表示的数为6，点B 表示的数为−4，点到点、点B 的距离 相等，动点P 从点B 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间 为t(t大于0)秒． (1)点表示的数是________________． (2)求当t 等于多少秒时，点P 到达点处？ (3)点P 表示的数是_______________(用含字母t 的式子表示)． (4)求当t 等于多少秒时，P、之间的距离为2 个单位长度． 【答】(1)1 (2)[6−(−4)]÷2=10÷2=5(秒)， 答：当t=5秒时，点P 到达点处． (3)2t−4 (4)当点P 在点的左边时，点的数是1 ，且点P 到点的距离为2 ，所以得 2t=[1−(−4)]−2=3，则t=1.5； 当点P 在点的右边时，同理的到2t=[1−(−4)]+2=7，则t=3.5． 综上所述，当t 等于1.5或3.5秒时，P、之间的距离为2 个单位长度． 【解析】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和数轴．解题时，利用了数形结合的数学思想． (1)根据题意得到点是B 的中点； (2)、(3)根据点P 的运动路程和运动速度列出方程； (4)分两种情况：点P 在点的左边或点P 在点的右边． 【解答】 解：(1)依题意得，点是B 的中点，故点表示的数是：6−4 2 =1． 故答是：1； (2)见答; (3)点P 表示的数是2t−4． 故答是：2t−4； (4)见答． 【好题演练】 一、选择题 1. 在矩形BD 内，将两张边长分别为和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2 两种方式放置( 图1，图2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部 分用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积为S1，图2 中阴影部分的面积为S2.当 AD−AB=2时，S2−S1的值为() 2 B 2b 2a−2b D −2b 【答】B 【解析】解：S1=( AB−a)⋅a+(CD−b)( AD−a)=( AB−a)⋅a+( AB−b)( AD−a)， S2=AB( AD−a)+(a−b)( AB−a)， ∴S2−S1=AB( AD−a)+(a−b)( AB−a)−( AB−a)⋅a−( AB−b)( AD−a) ¿( AD−a)( AB−AB+b)+( AB−a)(a−b−a) ¿b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b( AD−AB)=2b． 故选：B． 利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可 使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号 括起来．也考查了正方形的性质． 2. 抛物线y1=−x 2+4 x和直线y2=2 x的图象如图所示，那么不等式y1> y2的解集是() x<0 B 0<x<4 0<x<2 D 2<x<4 【答】 【解析】解：由图可知，抛物线y1=−x 2+4 x和直线y2=2 x的交点坐标为(0,0)，(2,4)， 所以，不等式y1> y2的解集是0<x<2． 故选：． 根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可． 本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如 此． 3. 已知抛物线y=a x 2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=2，与x 轴的一个交点坐标(4,0)，其部分图象如图 所示，下列结论：①抛物线过原点；②a−b+c<0； 4 ③a+b+c=0；④抛物线的顶点坐标为(2,b)；⑤当 x<1时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的是() ①②③ B ①④⑤ ①③④ D ③④⑤ 【答】 【解析】解：∵抛物线y=a x 2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐 标(4,0)， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)，故①正确， 当x=−1时，y=a−b+c>0，故②错误， ∵−b 2a=2，得4 a+b=0，b=−4 a， ∵抛物线过点(0,0)，则c=0， ∴4 a+b+c=0，故③正确， ∴y=a x 2+bx=a( x+ b 2a ) 2−b 2 4 a=a( x+−4 a 2a ) 2−(−4 a) 2 4 a =a( x−2) 2−4 a=a( x−2) 2+b ∴此函数的顶点坐标为(2,b)，故④正确， 当x<1时，y 随x 的增大而减小，故⑤错误， 故选． 根据题意和二次函数的性质可以判断各个小题是否成立，从而可以解答本题． 本题考查二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确二 次函数的性质，利用数形结合的思想解答． 4. 已知二次函数的图象(0≤x ≤4)如图，关于该函数在所给 自变量的取值范围内，下列说法正确的是() 有最大值2，有最小值−2.5 B 有最大值2，有最小值1.5 有最大值1.5，有最小值−2.5 D 有最大值2，无最小值． 【答】 【解析】 【分析】 本题考查二次函数的最值，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决 最值问题． 根据二次函数的图象，可知函数y 的最大值和最小值． 【解答】 解：观察图象可得，在0≤x ≤4时，图象有最高点和最低点， ∴函数有最大值2 和最小值−2.5， 故选． 5. 关于x 的方程(m−2)x 2+2 x+1=0有实数根，则m 的取值范围是() m≤3 B m≥3 m≤3且m≠2 D m<3 【答】 【解析】【试题解析】 解：当m−2=0，即m=2时，方程变形为2 x+1=0，解得x=−1 2 ； 当m−2≠0，则Δ=2 2−4(m−2)≥0，解得m≤3且m≠2， 综上所述，m 的范围为m≤3． 故选：． 讨论：当m−2=0，方程变形为2 x+1=0，此一元一次方程有解；当m−2≠0，方程为一 元二次方程，利用判别式的意义得到则Δ=2 2−4(m−2)≥0，解得m≤3且m≠2，然后综 合两种情况即可得到m 的范围． 本题考查了根的判别式：一元二次方程a x 2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b 2−4 ac有如下关 系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数 根；当Δ<0时，方程无实数根． 6. 已知二次函数y=a x 2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直 线x=1，则下列结论正确的是( ) ac>0 B 方程a x 2+bx+c=0的两根是x1=−1，x2=3 不等式a x 2+bx+c<0的解集是−1<x<3 D 当x>0时，y 随x 的增大而减小 【答】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口向下可知a<0，由与y 轴的交点在y 轴正半轴可知c>0，故ac<0，错误； 由抛物线与x 轴的交点可得出x 的值，判断出B 正确；由图可知当x←1或x>3时，抛物线 在x 轴的下方可知错误；当0<x<1时，y 随x 的增大而增大可知D 错误． 本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式及一元二次方程 的解是解答此题的关键． 【解答】 解：A .∵抛物线的开口向下， ∴a<0． ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴， ∴c>0， ∴ac<0，故本选项错误； B∵抛物线的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点是(3,0)， ∴抛物线与x 轴的另一个交点是(−1,0)， ∴方程a x 2+bx+c=0的两根是x1=−1，x2=3，故本选项正确； ∵由图可知当x←1或x>3时，抛物线在x 轴的下方， ∴不等式a x 2+bx+c<0的解集是x←1或x>3，故本选项错误； D 由图可知，当0<x<1时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误． 故选B． 二、填空题 7. 如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则 DE 的长为______ ． 【答】2 【解析】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相 等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到DB=AC=7，结合图形计算即可． 【解答】 解：∵△ABC≌△DCB， ∴DB=AC=7， ∴DE=BD−BE=7−5=2． 故答为2． 8. 如图，一次函数y=k1 x+b与反比例函数y=k2 x 的图象 交于、B 两点，其横坐标分别为1 和5，则关于x 的不 等式k1 x+b−k2 x <0的解集是______． 【答】x<0或1<x<5 【解析】【试题解析】 解：如图所示：关于x 的不等式k1 x+b−k2 x <0的解集是：x<0或1<x<5． 故答为：x<0或1<x<5． 根据k1 x+b−k2 x <0，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答． 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确数形结合是解题关键． 9. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二 百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良 马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s 关于行走时间 t 的函数图象，则两图象交点P 的坐标是______． 【答】(32,4800) 【解析】 【分析】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意可以得到关于t 的方程，从而可以求得点P 的坐标，本题得以解决． 【解答】 解：令150t=240(t−12)， 解得，t=32， 则150t=150×32=4800， ∴点P 的坐标为(32,4800)， 故答为：(32,4800)． 10. 已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=m x 的图象相交 于A(2,n)和B(−1,−6)，如图所示．则不等式 kx+b> m x 的解集为______． 【答】−1<x<0或x>2 【解析】 【分析】 根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解 集． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置 关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下 位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键． 【解答】 解：观察函数图象，发现：当−1<x<0或x>2时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴不等式kx+b> m x 的解集是−1<x<0或x>2． 故答为−1<x<0或x>2． 11. 如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= k x 在第一 象限内交于点C(3,1)，则当x>0时，ax+b−k x >0 的解集为______． 【答】x>3 【解析】解：∵一次函数y=ax+b与反比例函数y= k x 在第一象限内交于点C(3,1)， ∴由图象可知：当x>0时，ax+b−k x >0的解集为x>3． 故答为：x>3． 结合图象，根据两函数在第一象限内交于点，找出一次函数图象在反比例图象上方时x 的 范围即可． 此题考查了一次函数与反比例函数的交点，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思 想是解本题的关键． 12. 如图，等边三角形B 中，点D 是边B 上一动点，过 点作D 的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB=2， 则BE 的最小值是____________． 【答】❑ √3−1 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题考查了勾股定理、圆周角定理及线段的最值问题，确定动点E 的运动路径是关键，并 利用了数形结合的思想．先确定点E 的运动路径：点E 在以为直径的圆上，则当F、E、B 共线时，BE 的长最小，根据勾股定理可得结论． 【解答】 解：取中点F，连接BF， 当点B、E、F 三点在同一直线上时，BE 的值最小． 理由如下：如图所示： ∵AE⊥CE， ∴EF=1 2 AC=1为定值，且点、E、三点在以为直径的圆上， 即点E 在以F 为圆心，1 2 AC为半径的圆周上运动， 又∵当B，E，F 三点在一条直线上时，BE+EF最小为BF，即BE 最小． ∵正三角形B 中，F 为中点，则BF ⊥AC， ∴此时BF= ❑ √BC 2−C F 2= ❑ √2 2−1 2=❑ √3，EF=1， ∴BE的最小值为❑ √3−1． 故答为❑ √3−1． 三、解答题 13. (1)阅读下面材料： 点、B 在数轴上分别表示实数、b，、B 两点之间的距离表示为¿ AB∨¿． 当、B 两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1 ， ¿ AB∨¿∨OB∨¿∨b∨¿∨a−b∨¿； 当、B 两都不在原点时， ①如 图 2 ， 点 、 B 都 在 原 点 的 右 边 ¿ AB∨¿∨OB∨−¿OA∨¿∨b∨−¿a∨¿b−a=¿a−b∨¿； ②如 图 3 ， 点 、 B 都 在 原 点 的 左 边 ， ¿ AB∨¿∨OB∨−¿OA∨¿∨b∨−¿a∨¿−b−(−a)=¿a−b∨¿； ③如 图 4 ， 点 、 B 在 原 点 的 两 边 ， ¿ AB∨¿∨OB∨+¿OA∨¿∨a∨+¿b∨¿a+(−b)=¿a−b∨¿； (2)回答下列问题： ①数轴上表示2 和5 两点之间的距离是______ ，数轴上表示−2和−5的两点之间的距 离是______ ，数轴上表示1 和−3的两点之间的距离是______ ； ②数轴上表示x 和−1的两点和B 之间的距离是______ ，如果¿ AB∨¿2，那么x 为___ ___ ； ③当代数式取¿ x+1∨+¿ x−2∨¿最小值时，相应的x 的取值范围是______ ； ④求¿ x−1∨+¿ x−2∨+¿ x−3∨+…+¿ x−2015∨¿的最小值．(提示： 1+2+3+…+n=n(n+1) 2 ) 【答】解：(2) 3 ①；3；4； ②∨x+1∨¿；−3或1； ③−1≤x ≤2; ④解：当x=1+2015 2 =1008时，¿ x−1∨+¿ x−2∨+¿ x−3∨+…+¿ x−2015∨¿最小， 最小值为1+2+3+…+1007+0+1+2+3+…+1007 ¿(1+2+3+…+1007)×2 ¿ (1+1007)×1007 2 ×2 ¿1015056． 【解析】 【分析】 本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离¿两个数之差的绝对值．绝对值是 正数的数有2 个． ①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式可求数轴上表示x 和−1的两点和B 之间的距离，再根据两点间的 距离公式列出方程可求x； ③求¿ x+1∨+¿ x−2∨¿的最小值，意思是x 到−1的距离之和与到2 的距离之和最小，那 么x 应在−1和2 之间的线段上； ④根据提示列出算式计算即可求解． 【解答】 解：①数轴上表示2 和5 两点之间的距离是：¿2−5∨¿3， 数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是：¿−2+5∨¿3， 数轴上表示1 和−3的两点之间的距离是：¿1+3∨¿4， 故答：3；3；4． ②数轴上表示x 和−1的两点和B 之间的距离是：¿ x+1∨¿， 当¿ AB∨¿2，即¿ x+1∨¿2， 解得x=−3或1． 故答为：¿ x+1∨¿；−3或1． ③若¿ x+1∨+¿ x−2∨¿取最小值，那么表示x 的点在−1和2 之间的线段上， 所以−1≤x ≤2． 故答为：−1≤x ≤2． ④见答． 14. 如图，直线y=−x+4与x 轴，y 轴分别交于点B，，点 在x 轴负半轴上，且OA=1 2 OB，抛物线 y=a x 2+bx+4经过，B，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，设点P 的横坐标为m，过点P 作PD⊥BC， 垂足为D，用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 的最大值． 【答】解：(1)由y=−x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=4， ∴B(4,0)，C(0,4)， ∴OB=4， ∴OA=1 2 OB=2， ∴A(−2,0)， 把A(−2,0)，B(4,0)代入抛物线y=a x 2+bx+4中，得 { 4 a−2b+4=0 16a+4 b+4=0，解得{ a=−1 2 b=1 ， ∴抛物线的解析式为y=−1 2 x 2+x+4； (2)∵点P 在二次函数y=−1 2 x 2+x+4图象上且横坐标为m， ∴P(m,−1 2 m 2+m+4)， 过P 作PF/¿ y轴，交B 于F，则F(m,−m+4)， ∴PF=−1 2 m 2+2m， ∵PD⊥AB于点D， ∴在Rt △OBC中，OB=OC=4， ∴∠OCB=45°， ∵PF/¿ y轴， ∴∠PFD=∠OCB=45°， ∴PD=PF ⋅sin∠PFD= ❑ √2 2 (−1 2 m 2+2m)=−❑ √2 4 (m−2) 2+❑ √2， ∵0<m<4，−❑ √2 4 <0， ∴当m=2时，PD 最大，最大值为❑ √2． 【解析】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查