安徽省部分省示范高中2021_2022学年高二上学期期末联考 数学试题

安徽省2021~2022 学年度第一学期期末联考（部分省示范）高二数学 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．直线 的倾斜角为( ) A．30 B．60 C．120 D．150 【答案】B 2．已知直线 2 1 0 ax y   与直线2 3 4 0 x y   垂直，则a ( ) A．4 3 B． 4 3  C．3  D．3 【答案】D 3．已知正项数列  n a 为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是( ) A．  2 n a B．  lg n a C． 2 n a D． 1 n a       【答案】A 4．已知点 (3,2), ( 1,4) A B  ，则经过点 (2,5) C 且经过线段AB 的中点的直线方程为( ) A．2 1 0 x y    B．2 1 0 x y    C．2 1 0 x y   D．2 1 0 x y   【答案】C 5．已知向量 ( 1,2,1), (1,1, 1) a b     ，则以下说法不正确的是( ) A．a b   B．| | | | a b   C． 3 cos , 3 a b a    D．| | | | a b a b     【答案】C 6．2018 年，伦敦著名的建筑事务所steynstudio 在南非完成了一个惊艳世界的 作品双曲线建筑的教堂，白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲 线的设计元素赋予了这座教堂轻盈，极简和雕塑般的气质，如图．若将此大教 堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线下支的一部分，且该双曲线 的上焦点到下顶点的距离为18，到渐近线距离为12，则此双曲线的离心率为( ) A．13 5 B．12 5 C．13 12 D．13 2 【答案】A 7．如图， , , A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，且平面ABC 中的 小方格均为单位正方形， 120 ,| | 2 OAC OAB OA      � ，则OB BC   � ( ) A．1 B．1  C．2 D．2  【答案】B 8．如图，奥运五环由5 个奧林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一 个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奧运五环旗，已知该五环旗的5 个奥林 匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1.2 ，相邻圆环圆心水平距离为2.6 ，两排圆环圆心垂直距离为1.1， 则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为( ) A． 2.8 B．2.8 C． 2.9 D．2.9 【答案】C 9．已知直线y x a  将圆 2 2 ( 1) ( 2) 4 x y    分成长度之比为1:3 的两段弧，则a ( ) A．1  B．3 C．1  或3 D．1 或3  【答案】C 10．如图，已知直线AO 垂直于平面，垂足为 , O BC 在平面 内，AB 与平面所成角的大小为60 , 30 , OBC OC BC     ， 则异面直线AB 与OC 所成角的余弦值为( ) A． 15 4 B．1 4 C． 3 4 D． 13 4 【答案】B 11．设 n S 为数列  n a 的前n 项和， 1 2 a ，且满足   , m n m n a a a m n     N ，若 2 4 3 10 k S S S    ，则 k ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 12．已知正方形ABCD 的边长为2, , E F 分别为 , CD CB 的中点，分别沿 , AE AF 将三角形 , ADE ABF 折起， 使得点 , B D 恰好重合，记为点P ，则AC 与平面PCE 所成角等于( ) A．6  B．4  C．3  D．5 12  【答案】A 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．抛物线 2 8 x y  的准线方程是__________． 【答案】 2 y  14．记 n S 为等比数列  n a 的前n 项和，若 3 7 S ，公比 2 q ，则 3 a __________． 【答案】4 15．以正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  的对角线的交点为坐标原点O 建立右手系的空间直角坐标系O xyz  ，其 中 (1, 2,0), ( 1, 2,0), (1,0, 2) A B D  ，则点 1 A 的坐标为__________． 【答案】(1,0, 2) 16．椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的左、右焦点分别为 1 2 , F F ，点A 在椭圆上， 1 2 0 AF AF   � ，直线 2 AF 交 椭圆于点 1 ,| | B AB AF  � ，则椭圆的离心率为__________． 答案】 6 3( 9 6 2   也可以) 三．解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(10 分) 如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛 物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm ，口径长为12cm ． (1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的标准方 程； (2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm ，求此时该磨具的口径长． 18．(12 分) 如图，第1 个图形需要4 根火柴，第2 个图形需要7 根火柴，，设第n 个图形需要 n a 根火柴． (1)试写出 4 a ，并求 n a ； (2)记前n 个图形所需的火柴总根数为 n S ，设 2 n n n b S   ，求数列 1 n b       的前n 项和 n T ． 19．(12 分) 已知圆C 的圆心在y 轴上，且过点 (1,3), (2,2) A B ． (1)求员C 的方程； (2)已知圆C 上存在点M ，使得三角形MAB 的面积为3 2 ，求点M 的坐标． 20．(12 分) 已知各项均为正数的等比数列  n a 的前n 项和为 n S ，且 1 2 3 3 2 8, 6 a a S a     ． (1)求数列  n a 的通项公式； (2)设 1 2 1 log n n n b a a    ，求数列 n b 的前n 项和 n T ， 21．(12 分) 如图1，已知矩形 , 2 , , , ABCD AB AD E F     分别为 , AB CD 的中点，将ABCD 卷成一个圆柱，使得BC 与AD 重合(如图2)，MNGH 为圆柱的轴截面， 且平面AEFD 平面 , MNGH NG 与曲线DE 交 于点P ． (1)证明：平面PAE 平面MNGH ； (2)判断平面PAE 与平面PDH 夹角与 4 的大 小，并说明理由． 22．(12 分) 已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     过点 (2,0) D ，且离心率为 3 2 ． (1)求椭圆C 的方程； (2)过点 ( ,0)( 2) M m m  的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于 , A B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线 AC 与x 轴交于点Q ，试问 1 1 | | | | DQ MD  是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．