安徽省部分省示范中学2022-2023学年高二上学期阶段性联考数学试题

2022-2023 学年度第一学期高二年级阶段性联考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150 分，考试时间120 分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题逃出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非速择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签学笔在答题卡上各题的答题区 城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知全集 ，集合 和 （ ） A． B． C． D． 2．设 是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若 则 B．若 则 C．若 则 D．若 则 3．若直线l 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ） A． B． C． D．l 与 斜交 4．将函数 图象上得所有点向右平移 个单位，所得图象的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 5．设 ，则（ ） A． B． C． D． 6．已知直线 ，其中m，n 为常数，满足 ，则l 不同时经过的象限为（ ） A．第一二象限 B．第一三象限 C．第二四象限 D．第三四象限 7．在三棱锥 中，M 是平面 上一点，且 ，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 8．已知定义域为R 的奇函数 ，满足 ，记 ，下列对 描述正 确的是（ ） A．图象关于 对称 B．图象关于 对称 C． D． 二、多项选择题：本题共4 小题，每小丽5 分，共20 分。在每小顺给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分。 9．已知复数z 的共轭复数记为 ，对于任意的两个复数 ，与下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．在长方体 中， ，则（ ） A．直线 与平面 所成角的余弦值为 B．直线 与平面 所成角的余弦值为 C．点 到平面 的距离为 D．点 到平面 的距离为 11．已知 的顶点坐标分别为 ，则（ ） A． 为直角三角形 B．过点P 斜率范围是 的直线与线段 有公共点 C． 是 的一条中位线所在直线方程 D． 是 的一条高线所在直线的方程 12 ．在平行六面体 中，底面 是边长为1 的正方形，侧棱 ，且 ，则（ ） A． B． C． 底面 D．直线 底面 所成的角为 三、填空题：本题共4 小题，每小顺5 分，共20 分。 13．已知四面体 棱长均为2，点E，F 分别是 的中点，则 ______________． 14．已知三棱锥 中， 平面 ， ，若 ，则该三棱锥的 外接球的表面积为______________． 15 ． 在 中 ， ， D 为 斜 边 上 一 点 （ 不 含 端 点 ） ， ，则 ______________， ______________． 16．已知点 为直线 上任意一点，动直线 经过的定点坐标为______________． 四、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤。 17．（10 分） 在 中， ，B，C 两点分别在x 轴与y 轴上，且直线 在y 轴上的截距为1，直线 的倾斜 角为 ．求： （1）直线 的方程； （2） 的面积S． 18．（12 分） 在一次猜灯谜活动中，共有20 道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了2 个，同学猜对了16 个。假设猜 对每道灯谜都是等可能性的，试求： （1）任选一道灯谜，恰有一人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，甲乙都没有猜对的概率． 19．（12 分） 在 中，内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且 ． （1）求 ； （2）若 ，求 的面积． 20．（12 分） 如图，三棱柱 的棱长均为2，且 ． （1）求证：侧面 为正方形； （2）求 到侧面 的距离． 21．（12 分） 如 图 ， 在 矩 形 和 F 中 ， ，记 ． （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）将 用 表示出来，并求 的最小值； （3）是否存在 使得 平面 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由． 22．（12 分） 如图，四棱锥 中， 底面 ，M 为 的中点， ． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B D A D B C ABC BCD AC ACD 一、选择题：本题共8 个小题，每小题5 分，共40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．【解析】由题意知， ，所以选B． 2．【解析】选C． 3．【解析】∵ ，∴ ，即 ，∴ ．故选B． 4．【解析】由已知所得函数解折式为 ，故选D． 5．【解析】 ，故选A． 6．【解析】由已知直线的斜率为 ，y 轴截距为 ． 当 时， ，直线l 经过一二四象限； 当 时， ，直线l 经过一二三象限．故选D． 7．【解析】因为 ，由己知得 ， 因为M 是平面 上一点，所以 ，故 ，所以选B． 8．【解析】 图象关于 对称，周期为8。故 的周期为4，即 ，故选C． 二、选择题：本题共4 个小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．【解析】由共轭复数及复数模的几何意义，可知ABC 正确． 10．【解析】如图，建立空间直角坐标系， ， 平面 的法向量为 ． 故直线 与平面 所成角为 ， 则 ，A 错． 直线 与平面 所成角为 ，则 ，故B 正确． 点 到平面 的距离为 ，C 正确。 点 到平面 的距离为 ，D 正确． 故选BCD． 11．【解析】由已知 ，故 为直角三角形，A 正确； 过点P 与线段 有公共点的直线斜率范围是 ，B 错误； 过 的中点与 平行的直线方程为 ，故C 正确； 点P 在直线 上，但不与 垂直，故D 错误．故选AC． 12．【解折】设 ； ； ， 故 底面 ； 在 是等腰直角三角形，故直线 底面 所成的角为 ． 所以选ACD． 三、填空题：本题共4 个小题，每小题5 分，共20 分． 13．1【解析】 ． 14． 【解析】由已知 为外接球的直径， 所以外接圆半径为 ， 外接球表面积为 ． 15 ．1 ； 【解析】如图，由已知 ，则 ．由 ，故 ，解得 或 （舍）． 故 ． 16． 【解析】由已知得： ，故动直线方程为 ．当 时，化简 得： ，故定点为 ；当 时，直线方程 ，也过点 ． 三、解答题：本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）因为直线 在y 轴上的截距为1，所以其过点 ， 所以直线 的方程为： ，化简得 ． 由己知直线 的斜率为： ， 所以直线 的方程为： ，化简得 ． （2）由（1）知： 直线 的方程为 ，令 ，得 ，故 ． 直线 的方程为 ，令 ，得 ，故 所以 注：不同解法给出对应的分数即可 18．解：设 “任选一灯迷，甲猜对”， “任选一灯谜，乙猜对”， 故 。 所以 。 （1）“恰有一人猜对”即 ，且 与 互斥。 由已知A，B 独立，所以A， 独立， ，B 独立。 所以 ． （2）事件“两人都没有猜对”即 ，由（1）知 独立。 所以 19．解：（1）由 ，故 由正弦定理知： ，所以 ． 因为 ，所以A 为镜角，故 ． （2）由（1）及余弦定理知： 故 ，故 ． 由 ，所以 所以 C 的面积 20．解：（1）连接 ，取 的中点G，连接 ． 由 所以 都是等边三角形，故 故 所以 平面 ， 平面 所以 ，又 ， 故 ， 又侧面 是平行四边形边长相等，故侧面 为正方形． （2）由（1）知三棱锥 为正四面体，取底面 的中心O，连接 ， 则 底面 ． 在 中， ． 三棱柱 体积为 故四棱锥 的体积为： 设点A 到侧面 的距离为h，则 ． 故 ，所以点A 到侧面 的距离为 ． 因为 侧面 故 到侧面 的距离为 注：也可以转化为点 到侧面 的距离，再用直接法求之． 21．解：（1）由已知得： 所以 故异面直线 与 所成角的余弦值 ． （2） ． 所以 当 时， 的最小值为 ． （3）假设存在 使得 平面 ，故 ． 因为 ； 由 ，得 ， 化简得 ，解得 ，满足条件． 故存在 使得 平面 ． 22．解：（Ⅰ）在 上取一点Q，使得 ， 所以四边形 是平行四边形，则 ， 又 平面 平面 ， 所以 平面 注：用线面关系证明同样给4 分 （Ⅱ）以D 为原点， 分别为y 轴z 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， ，取 ， 设平面 的法向量为 ，则 ， ，取 ， 又二面角 为钝角，故其余弦值为 ．