模型12 脚拉脚模型（解析版）(1)

成立条件：等腰三角形顶角互补 模块一：认识“脚拉脚”模型 1、等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图 已知：△B、△DE 为等腰直角三角形，∠B= D=90° ∠ ，B=B，D=ED，点F 为E 的中点。 结论：BF=DF，BF DF ⊥ 法1：倍长中线+手拉手 延长DF 至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌GF △ （SS）； 所以G=ED=D，∠2= 7 ∠； 又∠1+ 2+ 3=360° ∠ ∠ ， 3+ 4+ 5+ 6+ 7=540° ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ （五边形内角和）， 4= 6=90° ∠ ∠ ； 所以∠3+ 5+ 7= 1+ 2+ 3 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠， 所以∠1= 5 ∠； 则△BG≌BD △ （SS）， 所以∠DBG=90°，BG=BD； 所以BF= 1 2 DG=DF，BF DF ⊥ 。 模型介绍 D E B F D E B 由△BF≌GEF △ （SS），得B G ∥， 由△DEF≌GF △ （SS），得G DE ∥ ， 所以∠2= 6=90° ∠ ，则∠2= 1 ∠， 所以∠+ DE=180° ∠ ，即∠= DE=90° ∠ ， 在四边形DE 中，∠1+ 2=180° ∠ ， 所以∠= B=90° ∠ ， 则∠3+ 4=180° ∠ ，又∠4+ 5=180° ∠ ， 所以∠1= 2 ∠（8 型转角）， 所以∠3= 5 ∠ 所以∠3= 4 ∠ 注意：选择“四边形对角互补”还是“8 型转角”证明角相等取决原有等腰直角三角形底 边与公共顶点的夹角（夹角小于45°：选择“四边形对角互补”;夹角大于45°：选择“8 型 转角”） 法2：斜边中线+中位线 取中点G，E 中点，连接BG，FG，F，D。 由中位线定理可知：FG= 1 2 E=D，F= 1 2 =BG， 1= 3= 2 ∠ ∠ ∠， 所以∠1+ 5= 2+ 4 ∠ ∠ ∠，所以∠BGF= FD ∠ ； 则△BGF≌FD △ （SS）， 所以BF=DF，∠FBG= DF ∠ ，∠BFG= FD ∠ ； 所以∠BFG+ GF+ DF= BFG+ 3+ FBG ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ = BFG+ 1+ FBG ∠ ∠ ∠ ， 又∠BFG+ 1+ FBG+ 5=180° ∠ ∠ ∠ （三角形内角和）， 所以∠BFG+ 1+ FBG=90° ∠ ∠ ，所以BF DF ⊥ 。 2、等腰三角形的顺序脚拉脚模型 已知：△B、△DE 为等腰直角三角形，∠B= D=90° ∠ ，B=B，D=ED， 结论：E=√2 BD，∠BF=45° 法一：相似 BD △ ∽E △（SS） CE BD = AC AB = AE AD =√2 4= 1 2= 3=45° ∠ ∠ ∠ ∠ （8 字型转角） 法二：手拉手+平行四边形 将线段BD 逆时针旋转90°得到线段BG，连接DG、G。 易证：△BD≌BG △ （SS），∠1= 4+ 5 ∠ ∠， 又∠3+ 5+ 6= 7=90° ∠ ∠ ∠ ， 所以∠1+ 2+ 3+ 6 ∠ ∠ ∠ = 2+ 4+ 3+ 5+ 6 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ =90°+90°=180° 所以G 平行且等于DE，所以四边形DEG 为平行四边形， E D B F E D B 所以E=DG=√2BD，∠BF= BDG=45° ∠ 3、顶角互补型脚拉脚 已知：△B、△DE 为等腰三角形，α+β =180°，B=，D=DE，点F 为BE 的 中点 结论：①F DF ⊥ ；② DF AF =tan β 2 法1：倍长中线+手拉手 法2：中位线+相似 延长DF 至点G，使得FG=FD，连接D， 取B 中点M，E 中点，连接M， FM， G，BG，延长BG 与D 相交于点。 D，F。 易证：△BFG≌EFD △ （SS） 由中位线定理得：F=M，MF=，∠4= 5 ∠； 得：BG DE ∥ ，BG=DE=D， 所以 DN FM = DN CN =tan β 2 ，同理 FN AM =tan β 2 ； ED= GD= ∠ ∠ α ，所以∠B=β 又∠MF+ MF= FD+ F ∠ ∠ ∠； 所以∠BG= D ∠（8 字型转角） 所以∠MF= FD ∠ ，得∠MF∽ FD ∠ ； 所以△BG≌D △（SS），得证。 所以∠3= 7 ∠， DF AF =tan β 2 ； 1+ 2+ 3+ 4+ 6= 5+ 6+ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 7+ FD ∠ ∠ ； 所以∠1+ 2= FD=90° ∠ ∠ 【例1】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝B，点D 是线段上一点，连接BD．以BD 直角 边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接E，点F 为E 中点，若B＝4，BF＝1，则D 的 长为 ． 解：连接E，延长B、E 交于T， 例题精讲 ∵∠B＝∠DBE， ∴∠BD＝∠BE， ∵B＝B，DB＝EB， ∴△BD≌△BE（SS）， ∴∠BE＝∠BD＝45°，∠DB＝∠BE， ∴B＝BT＝B， ∵点F 是E 的中点， ∴BT 是△ET 的中位线， ∴TE＝2BF＝2， ∵∠DB＝∠BE， ∴∠BD＝∠BET， ∵∠T＝∠BD，BT＝B， ∴△BD≌△BET（S）， ∴D＝ET＝2， ∴D＝﹣D＝4 2 ﹣， 故答为：4 2 ﹣． 变式训练 【变式1-1】．如图，△B 中，∠B＝90°，B＝B，△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， M 为F 的中点，求证：ME＝ F． 证明：如图，延长FE 到D，使DE＝EF，连接D、BD， ∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， ∴∠BFE＝45°，BE⊥DF， ∴BE 垂直平分DF， ∴∠BDE＝45°， ∴△BDF 是等腰直角三角形， ∴BD＝BF，∠DBF＝90°， ∵∠BF+∠BF＝∠B＝90°， ∠BD+∠BF＝∠DBF＝90°， ∴∠BF＝∠BD， 在△BD 和△BF 中， ， ∴△BD≌△BF（SS）， ∴D＝F， ∵M 为F 的中点，DE＝EF， ∴ME 是△DF 的中位线， ∴ME＝ D， ∴ME＝ F． 【变式1-2】．已知正方形BD，将线段B 绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段 BE，连接E，E． （1）在图中依题意补全图形，并求∠E 的度数； （2）作∠EB 的平分线BF 交E 于点G，交E 于点F，连接F，用等式表示线段E，FB， F 之间的数量关系，并证明． 解：（1）图形如图1 中所示： ∵将线段B 绕点B 旋转α（0°＜α＜90°），得到线段BE， ∴B＝BE， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝B＝BE， ∴∠BE＝∠BE，∠BE＝∠BE， ∴∠E＝∠EB+∠EB＝ （360° 90° ﹣ ）＝135°； （2）如图2 中，结论： FB＝2F+E． 理由：过点B 作B∥E 交F 的延长线于点，如图3， ∵BE＝B，BF 平分∠EB， ∴BF 垂直平分E， ∴FE＝F，∠FG＝90°， ∴∠FE＝∠FE＝45°， ∴∠GF＝45°， ∵B∥E， ∵∠FB＝∠FG＝90°，∠＝∠FG＝45°， ∴BF＝B•t45°＝B，F＝ ＝ FB， ∵∠BF＝90°﹣∠FB，∠B＝90°﹣∠FB， ∴∠BF＝∠B， ∵B＝B， ∴△BF≌△B（SS）， ∴F＝， ∵F＝F+＝F+F＝F+FE+E＝2F+E， ∴ FB＝2F+E． 【变式1-3】．（1）如图1，B＝D，E＝，∠BD＝∠E，求证：BE＝D． （2）如图2，△E 是等边三角形，P 为三角形外一点，∠P＝120°，求证：P+P＝PE． （3）如图3，若∠E＝∠E＝∠D＝45°，∠D﹣∠ED＝60°，D＝3，求DE 长． 证明：（1）∵∠BD＝∠E， ∴∠BE＝∠D， 又∵B＝D，E＝， ∴△D≌△BE（SS） ∴BE＝D； （2）如图2，延长P 至G，使PG＝P，连接G， ∵∠P＝120°， ∴∠PG＝60°，且P＝GP， ∴△GP 是等边三角形， ∴P＝G＝GP，∠PG＝∠GP＝60°， ∵△E 是等边三角形， ∴E＝＝E，∠E＝60°， ∴∠E＝∠PG， ∴∠G＝∠PE，且G＝P，＝E， ∴△G≌△PE（SS） ∴PE＝G， ∴PE＝G＝GP+P＝P+P； （3）∵∠E＝∠E＝45°， ∴＝E，∠E＝90°， 如图3，将△ED 绕点顺时针旋转90°得到△，连接D，， ∴△ED≌△， ∴D＝，∠D＝90°，＝DE，∠ED＝∠， ∴∠D＝45°， ∵∠D＝45°， ∴∠D＝90°， ∵∠D﹣∠ED＝60°， ∴∠D﹣∠＝60°＝∠D， ∴∠D＝30°，且∠D＝90°， ∴＝2D＝6， ∴DE＝＝6． 1．如图，分别以△B 的边B，向外作两个等边三角形△BD，△E．连接BE、D 交点F，连接 F． （1）求证：△D≌△EB； 实战演练 （2）求证：F+BF+F＝D． 证明：（1）∵△BD 和△E 为等边三角形， ∴D＝B，＝E，∠BD＝∠B＝60°， ∴∠D＝∠BE＝60°+∠B， ∴在△D 和△EB 中 ∴△D≌△EB（SS）； （2）由（1）知∠D＝∠EB， 如图∠1＝∠2， 180° ∴ ∠ ﹣ D 1 ﹣∠＝180°﹣∠EB 2 ﹣∠， ∴∠DB＝∠DFB＝60°， 如图，延长FB 至K，使FK＝DF，连DK， ∴△DFK 为等边三角形， ∴DK＝DF， ∴△DBK≌△DF（SS）， ∴BK＝F， ∴DF＝DK，FK＝BK+BF， ∴DF＝F+BF， 又∵D＝DF+F， ∴D＝F+BF+F． 2 如图，△B 与△BDE 均为等腰直角三角形，B⊥，DE⊥BD，点D 在B 边上，连接E，取E 中点F，求证： （1）F＝DF； （2）F⊥DF． 证明：（1）连接BF，延长DF 交于点G， ∵∠EBD＝∠B＝45°， ∴∠EB＝90°， 在RT△EB 中，F 为斜边中点， ∴BF＝EF， ∴∠FB＝∠FB， ∴∠DFE＝∠DFB， ∵∠EFB＝∠FB+∠FB， ∴∠DFE+∠DFB＝∠FB+∠FB， 2 ∴∠DFB＝2∠FB， 则∠DFB＝∠FB， ∴DG∥B， ∵△B 为等腰直角三角形，且DG∥B，B＝， ∴D＝G，BD＝G， ∵BD＝DE， ∴DE＝G， ∵∠BDE＝∠B＝90°， ∴DE∥， ∴∠DEF＝∠GF， 在△DEF 和△GF 中， ∴△DEF≌△GF（SS）， ∴DF＝FG， ∵△DG 为等腰直角三角形， ∴F⊥DG； （2）∵F 为DG 中点， ∴在RT△DG 中，F＝DF． 3 已知：如图，B＝，D＝DE，且∠B＝∠DE＝90°，连接BE，F 为BE 的中点． 求证：（1）∠D＝∠BE+∠BED； （2）F＝FD，F⊥FD． 证明：（1）在四边形BED 中，∠BE+∠BED+∠ED+∠DB＝360°， ∵∠B＝∠DE＝90°， ∴∠BE+∠BED+∠D+∠D＝180°， ∵∠D+∠D+∠D＝180°， ∴∠D＝∠BE+∠BED， （2）如图，延长F 至点G，使得FG＝F，连接GE、GD， 在△BF 和△GEF 中， ， ∴△BF≌△GEF（SS）， ∴＝B＝GE，∠BF＝∠GEF， ∴∠D＝∠BE+∠BED＝∠GEF+∠BED＝∠GED， 在△D 和△GED 中， ， ∴△D≌△GED（SS）， ∴D＝GD，∠D＝∠EDG． ∴∠DG＝∠D+∠DG＝∠EDG+∠DG＝∠DE＝90°， ∴△DG 是等腰直角三角形， 又∵F＝GF， ∴∠FD＝∠FD＝45°， ∴F＝FD，F⊥FD． 4 已知正方形BD 与正方形EFG，M 是F 的中点，连接DM，EM． （1）如图1，点E 在D 上，点G 在B 的延长线上，请判断DM，EM 的数量关系与位置 关系，并直接写出结论； （2）如图2，点E 在D 的延长线上，点G 在B 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明 你的结论． 解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM． 理由：如图1 中，延长EM 交D 于． ∵四边形BD 是正方形，四边形EFG 是正方形， ∴∠DE＝∠DEF＝90°，D＝D， ∴D∥EF， ∴∠M＝∠MFE， ∵M＝MF，∠M＝∠FME， ∴△M≌△FME（S）， ∴M＝ME，＝EF＝E， ∴D＝DE， ∵∠ED＝90°， ∴DM⊥EM，DM＝ME； （2）如图2 中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM． 理由：如图2 中，延长EM 交D 的延长线于． ∵四边形BD 是正方形，四边形EFG 是正方形， ∴∠DE＝∠DEF＝90°，D＝D， ∴D∥EF， ∴∠M＝∠MFE， ∵M＝MF，∠M＝∠FME， ∴△M≌△FME， ∴M＝ME，＝EF＝E， ∴D＝DE， ∵∠ED＝90°， ∴DM⊥EM，DM＝ME． 5．如图，等边△B 外有一点D，连接D，DB，D． （1）如图1，若∠DB+∠DB＝180°，求证：BD 平分∠D； （2）如图2，若∠BD＝60°，求证：BD﹣D＝D； （3）如图3，延长D 交B 的延长线于点F，以BF 为边向下作等边△BEF，若点D，，E 在同一直线上，且∠BD＝α，直接写出∠EF 的度数为 60°﹣ α （结果用含α 的式子表 示）． （1）证明：过点B 作BM⊥D 于点M，B⊥D 于点， ∴∠B＝∠MB＝90°， ∵△B 为等边三角形， ∴B＝B， ∵∠DB+∠DB＝180°， ∠DB+∠BM＝180°， ∴∠B＝∠BM， ∴△B≌△BM（S）， ∴BM＝B， ∴BD 平分∠D； （2）证明：在BD 上取点E，使DE＝D， ∵∠BD＝60° ∴△DE 为等边三角形， ∴∠DE＝∠B＝60°， ∴∠D＝∠BE， ∵＝B， ∴△D≌△BE（SS）， ∴D＝BE， ∴BD﹣D＝D； （3）解：∵△B，△BEF 为等边三角形，∴B＝B，BF＝BE，∠BF＝∠BE ∴△BF≌BE（SS）， ∴∠DFB＝∠EB， ∵∠EB+∠EF＝60°，∠EFB＝60° ∴∠FDE＝180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠EF＝60° ∴∠D＝120°， ∴∠D+∠B＝180°， 由（1）得BD 平分∠D ∴∠BDE＝60°， ∴∠FDB＝120°， ∴∠FDB+∠FEB＝180°， ∴F，E，B，D 四点共圆， ∴∠EF＝∠DBF ∵∠DBF＝60°﹣α． ∴∠EF＝60°﹣α． 故答为：60°﹣α． 6．在△B 中，B＝，D 是边B 上一动点，连接D，将D 绕点逆时针旋转至E 的位置，使得 ∠DE+∠B＝180°． （1）如图1 当∠B＝90°时，连接BE，交于点F．若BE 平分∠B，BD＝2，求F 的长； （2）如图2，连接BE，取BE 的中点G，连接G．猜想G 与D 存在的数量关系，并证 明你的猜想． 解：（1）连接E，过点F 作FQ⊥B 于Q， ∵BE 平分∠B，∠B＝90°， ∴F＝FQ， ∵B＝， ∴∠B＝∠B＝45°， ∴FQ＝ F， ∵∠B+∠DE＝180°， ∴∠DE＝∠B＝90°， ∴∠BD＝∠E， 由旋转知，D＝E， ∴△BD≌△E（SS）， ∴BD＝E＝2，∠BD＝∠E＝45°， ∴∠BE＝90°， ∴∠BF+∠BE＝90°， ∵BE 平分∠B， ∴∠BF＝∠BF， ∴∠BF+∠BE＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠BF+∠FB＝90°， ∴∠FB＝∠BE， ∵∠FB＝∠FE， ∴∠BE＝∠FE， ∴F＝E＝2， ∴F＝FQ＝ F＝ ； （2）G＝ D， 理由：如图2，延长B 至点M，使M＝B，连接EM， ∵G 是BE 的中点， ∴G＝ ME， ∵∠B+∠DE＝∠B+∠M＝180°， ∴∠DE＝∠M， ∴∠D＝∠EM， ∵B＝M，B＝， ∴＝M， ∵D＝E， ∴△D≌△EM（SS）， ∴D＝EM， ∴G＝ D． 7．如图1，点在x 轴上，点D 在y 轴上，以、D 为边分别作等边△和等边△DE，若D（0， 4），（2，0）． （1）若∠D＝10°，求E 的长和∠E 的度数． （2）如图2，若点P 为x 轴正半轴上一动点，点P 在点的右边，连P，以P 为边在第一 象限作等边△PM，延长M 交y 轴于，当点P 运动时， ①∠的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由． ②M﹣P 的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由． （1）解：∵△和△DE 是等边三角形， ∴＝，E＝D，∠＝∠ED＝60°， ∴∠E＝∠D＝60°+∠D＝70°， 在△E 和△D 中 ∴△E≌△D（SS）， ∴E＝D＝4，∠E＝∠D＝90°， ∵∠D＝10°，∠DE＝60°， ∵∠E＝70°， ∴∠E＝180° 90° 70° ﹣ ﹣ ＝20°． （2）解：①∠的值不变化，其度数为30°， 理由是：∵△和△PM 是等边三角形， ∴＝，P＝M，∠＝∠MP＝60°， ∴∠P＝∠M， 在△P 和△M 中 ∴△P≌△M（SS）， ∴∠＝∠M＝60°， ∴∠MP＝180° 60° 60° ﹣ ﹣ ＝60°， ∴∠＝∠MP＝60°， ∵∠＝90°， ∴∠＝90° 60° ﹣ ＝30°． ②不变， 理由是：∵△P≌△M， ∴M＝P， ∴M﹣P＝P﹣P＝， ∵（2，0）， ∴＝2， 即M﹣P＝2， ∴M﹣P 的值不发生变化，永远是2． 8．已知点在x 轴正半轴上，以为边作等边△B，（x，0），其中x 是方程 的解． （1）点的坐标为 （ 3 ， 0 ） ； （2）如图1，点在y 轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边△D，连DB 并延长交y 轴 于点E，求∠BE 的度数； （3）如图2，点F 为x 轴正半轴上一动点，点F 在点的右边，连接FB，以FB 为边在第 一象限内作等边△FBG，连G 并延长交y 轴于点，当点F 运动时，G﹣F 的值是否发生变 化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围． 解：（1）∵ ， 3 ∴（3x 1 ﹣）﹣2＝22， 解得：x＝3， 经检验，x＝3 是原方程的解， ∴（3，0）， 故答为：（3，0）； （2）如图1，∵△D，△B 是等边三角形， ∴＝B，D＝，∠B＝∠D＝60°， ∴∠＝∠BD， 在△和△DB 中， ， ∴△≌△DB（SS）， ∴∠＝∠DB＝90°， ∴∠BE＝90°， ∵∠E+∠BE+∠B+∠BE＝360°， ∴∠BE＝12