模型12 脚拉脚模型（原卷版）(1)

成立条件：等腰三角形顶角互补 模块一：认识“脚拉脚”模型 1、等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图 已知：△B、△DE 为等腰直角三角形，∠B= D=90° ∠ ，B=B，D=ED，点F 为E 的中点。 结论：BF=DF，BF DF ⊥ 法1：倍长中线+手拉手 延长DF 至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌GF △ （SS）； 所以G=ED=D，∠2= 7 ∠； 又∠1+ 2+ 3=360° ∠ ∠ ， 3+ 4+ 5+ 6+ 7=540° ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ （五边形内角和）， 4= 6=90° ∠ ∠ ； 所以∠3+ 5+ 7= 1+ 2+ 3 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠， 所以∠1= 5 ∠； 则△BG≌BD △ （SS）， 所以∠DBG=90°，BG=BD； 所以BF= 1 2 DG=DF，BF DF ⊥ 。 模型介绍 D E B F D E B 由△BF≌GEF △ （SS），得B G ∥， 由△DEF≌GF △ （SS），得G DE ∥ ， 所以∠2= 6=90° ∠ ，则∠2= 1 ∠， 所以∠+ DE=180° ∠ ，即∠= DE=90° ∠ ， 在四边形DE 中，∠1+ 2=180° ∠ ， 所以∠= B=90° ∠ ， 则∠3+ 4=180° ∠ ，又∠4+ 5=180° ∠ ， 所以∠1= 2 ∠（8 型转角）， 所以∠3= 5 ∠ 所以∠3= 4 ∠ 注意：选择“四边形对角互补”还是“8 型转角”证明角相等取决原有等腰直角三角形底 边与公共顶点的夹角（夹角小于45°：选择“四边形对角互补”;夹角大于45°：选择“8 型 转角”） 法2：斜边中线+中位线 取中点G，E 中点，连接BG，FG，F，D。 由中位线定理可知：FG= 1 2 E=D，F= 1 2 =BG， 1= 3= 2 ∠ ∠ ∠， 所以∠1+ 5= 2+ 4 ∠ ∠ ∠，所以∠BGF= FD ∠ ； 则△BGF≌FD △ （SS）， 所以BF=DF，∠FBG= DF ∠ ，∠BFG= FD ∠ ； 所以∠BFG+ GF+ DF= BFG+ 3+ FBG ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ = BFG+ 1+ FBG ∠ ∠ ∠ ， 又∠BFG+ 1+ FBG+ 5=180° ∠ ∠ ∠ （三角形内角和）， 所以∠BFG+ 1+ FBG=90° ∠ ∠ ，所以BF DF ⊥ 。 2、等腰三角形的顺序脚拉脚模型 已知：△B、△DE 为等腰直角三角形，∠B= D=90° ∠ ，B=B，D=ED， 结论：E=√2 BD，∠BF=45° 法一：相似 BD △ ∽E △（SS） CE BD = AC AB = AE AD =√2 4= 1 2= 3=45° ∠ ∠ ∠ ∠ （8 字型转角） 法二：手拉手+平行四边形 将线段BD 逆时针旋转90°得到线段BG，连接DG、G。 易证：△BD≌BG △ （SS），∠1= 4+ 5 ∠ ∠， 又∠3+ 5+ 6= 7=90° ∠ ∠ ∠ ， 所以∠1+ 2+ 3+ 6 ∠ ∠ ∠ = 2+ 4+ 3+ 5+ 6 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ =90°+90°=180° 所以G 平行且等于DE，所以四边形DEG 为平行四边形， E D B F E D B 所以E=DG=√2BD，∠BF= BDG=45° ∠ 3、顶角互补型脚拉脚 已知：△B、△DE 为等腰三角形，α+β =180°，B=，D=DE，点F 为BE 的 中点 结论：①F DF ⊥ ；② DF AF =tan β 2 法1：倍长中线+手拉手 法2：中位线+相似 延长DF 至点G，使得FG=FD，连接D， 取B 中点M，E 中点，连接M， FM， G，BG，延长BG 与D 相交于点。 D，F。 易证：△BFG≌EFD △ （SS） 由中位线定理得：F=M，MF=，∠4= 5 ∠； 得：BG DE ∥ ，BG=DE=D， 所以 DN FM = DN CN =tan β 2 ，同理 FN AM =tan β 2 ； ED= GD= ∠ ∠ α ，所以∠B=β 又∠MF+ MF= FD+ F ∠ ∠ ∠； 所以∠BG= D ∠（8 字型转角） 所以∠MF= FD ∠ ，得∠MF∽ FD ∠ ； 所以△BG≌D △（SS），得证。 所以∠3= 7 ∠， DF AF =tan β 2 ； 1+ 2+ 3+ 4+ 6= 5+ 6+ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 7+ FD ∠ ∠ ； 所以∠1+ 2= FD=90° ∠ ∠ 【例1】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝B，点D 是线段上一点，连接BD．以BD 直角 边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接E，点F 为E 中点，若B＝4，BF＝1，则D 的 长为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，△B 中，∠B＝90°，B＝B，△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， M 为F 的中点，求证：ME＝ F． 例题精讲 【变式1-2】．已知正方形BD，将线段B 绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段 BE，连接E，E． （1）在图中依题意补全图形，并求∠E 的度数； （2）作∠EB 的平分线BF 交E 于点G，交E 于点F，连接F，用等式表示线段E，FB， F 之间的数量关系，并证明． 【变式1-3】．（1）如图1，B＝D，E＝，∠BD＝∠E，求证：BE＝D． （2）如图2，△E 是等边三角形，P 为三角形外一点，∠P＝120°，求证：P+P＝PE． （3）如图3，若∠E＝∠E＝∠D＝45°，∠D﹣∠ED＝60°，D＝3，求DE 长． 1．如图，分别以△B 的边B，向外作两个等边三角形△BD，△E．连接BE、D 交点F，连接 F． （1）求证：△D≌△EB； （2）求证：F+BF+F＝D． 2 如图，△B 与△BDE 均为等腰直角三角形，B⊥，DE⊥BD，点D 在B 边上，连接E，取E 中点F，求证： （1）F＝DF； （2）F⊥DF． 3 已知：如图，B＝，D＝DE，且∠B＝∠DE＝90°，连接BE，F 为BE 的中点． 求证：（1）∠D＝∠BE+∠BED； （2）F＝FD，F⊥FD． 实战演练 4 已知正方形BD 与正方形EFG，M 是F 的中点，连接DM，EM． （1）如图1，点E 在D 上，点G 在B 的延长线上，请判断DM，EM 的数量关系与位置 关系，并直接写出结论； （2）如图2，点E 在D 的延长线上，点G 在B 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明 你的结论． 5．如图，等边△B 外有一点D，连接D，DB，D． （1）如图1，若∠DB+∠DB＝180°，求证：BD 平分∠D； （2）如图2，若∠BD＝60°，求证：BD﹣D＝D； （3）如图3，延长D 交B 的延长线于点F，以BF 为边向下作等边△BEF，若点D，，E 在同一直线上，且∠BD＝α，直接写出∠EF 的度数为 （结果用含α 的式子表示）． 6．在△B 中，B＝，D 是边B 上一动点，连接D，将D 绕点逆时针旋转至E 的位置，使得 ∠DE+∠B＝180°． （1）如图1 当∠B＝90°时，连接BE，交于点F．若BE 平分∠B，BD＝2，求F 的长； （2）如图2，连接BE，取BE 的中点G，连接G．猜想G 与D 存在的数量关系，并证 明你的猜想． 7．如图1，点在x 轴上，点D 在y 轴上，以、D 为边分别作等边△和等边△DE，若D（0， 4），（2，0）． （1）若∠D＝10°，求E 的长和∠E 的度数． （2）如图2，若点P 为x 轴正半轴上一动点，点P 在点的右边，连P，以P 为边在第一 象限作等边△PM，延长M 交y 轴于，当点P 运动时， ①∠的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由． ②M﹣P 的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由． 8．已知点在x 轴正半轴上，以为边作等边△B，（x，0），其中x 是方程 的解． （1）点的坐标为 ； （2）如图1，点在y 轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边△D，连DB 并延长交y 轴 于点E，求∠BE 的度数； （3）如图2，点F 为x 轴正半轴上一动点，点F 在点的右边，连接FB，以FB 为边在第 一象限内作等边△FBG，连G 并延长交y 轴于点，当点F 运动时，G﹣F 的值是否发生变 化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围． 9．在平面直角坐标系中，B 点在x 轴上，且P⊥PB，点（0，）、P（m，m），若、m 满 足2+m2 4 8 ﹣﹣m+20＝0 （1）如图1，求、m 的值； （2）如图2，若点运动到y 轴的负半轴上，求B﹣的值； （3）如图3，若Q 是线段B 上一动点，为Q 中点，PR⊥PQ 且PR＝PQ，连BR，请同 学们判断线段BR 与P 之间的关系，并加以证明． 10．如图1，在平面直角坐标系中，（0，4），（﹣2，﹣2），且∠B＝90°，＝B． （1）求点B 的坐标； （2）如图2，若B 交y 轴于点M，B 交x 轴与点，过点B 作BE⊥y 轴于点E，作BF⊥x 轴于点F，请探究线段M，ME，F 的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若在点B 处有一个等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接G，点 为G 的中点，试猜想线段D 与线段的数量关系与位置关系，并证明你的结论． 11．已知正方形BD 与正方形EFG，正方形EFG 绕点旋转一周． （1）如图①，连接BG、F，求 的值； （2）当正方形EFG 旋转至图②位置时，连接F、BE，分别取F、BE 的中点M、，连 接M、试探究：M 与BE 的关系，并说明理由； （3）连接BE、BF，分别取BE、BF 的中点、Q，连接Q，E＝6，请直接写出线段Q 扫 过的面积． 12．已知：在平面直角坐标系中，点（﹣3，0），点B（﹣2，3）． （1）在图①中的y 轴上求作点P，使得P+PB 的值最小； （2）若△B 是以B 为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； （3）如图②，在△B 中，∠B＝90°，B＝B，点D（不与点重合）是x 轴上一个动点，点 E 是D 中点，连接BE，把BE 绕着点E 顺时针旋转90°得到FE（即∠BEF＝90°，BE＝ FE），连接BF、F、D，试猜想∠FD 的度数，并给出证明． 13．如图，平面直角坐标系中．点在y 轴上，B（b，0），（，0）在x 轴上，∠B＝60°，且 b、满足等式b2+2b+2＝0． （1）判断△B 的形状，并说明理由； （2）如图1，F 为B 延长线上一点，连F，G 为y 轴上一点，若∠GF+∠G＝60°．求证： FG 平分∠F； （3）如图2，△BDE 中，DB＝DE，∠BDE＝120°，M 为E 中点，试确定DM 与M 的位 置关系，并说明理由． 14．如图所示，△B，△DE 为等腰三角形，∠B＝∠ED＝90°． （1）如图1，点E 在B 上，点D 与重合，F 为线段BD 的中点，则线段EF 与F 的数量 关系是 ；∠EFD 的度数为 ° ． （2）如图2，在图1 的基础上，将△DE 绕点顺时针旋转到如图2 的位置，其中D、、在 一条直线上，F 为线段BD 的中点，则线段EF 与F 是否存在某种确定的数量关系和位置 关系？证明你的结论． （3）若△DE 绕点任意旋转一个角度到如图3 的位置，F 为线段BD 的中点，连接EF、 F，请你完成图3，请猜想线段EF 与F 的关系，并验证你的猜想． 15．已知等边△B 和等腰△DE，D＝DE，∠DE＝120°． （1）如图1，点D 在B 上，点E 在B 上，P 是BE 的中点，连接D，PD，则线段D 与 PD 之间的数量关系为 ； （2）如图2，点D 在△B 内部，点E 在△B 外部，P 是BE 的中点，连接D，PD，则 （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点D 在△B 内部，点E 和点B 重合，点P 在B 下方，且PB+P 为定值， 当PD 最大时，∠BP 的度数为 ． 16．D 是△B 的高 （1）如图1，若∠B＝90°，∠B 的平分线E 交D 于点F，交B 于点E，求证：E＝F； （2）如图2，若∠＝2∠B，∠B 的平分线G 交B 于点G，求 的值； （3）如图3，若△B 是以B 为斜边的等腰直角三角形，再以D 为斜边作等腰Rt△MD，Q 是DB 的中点，连接Q、MQ，试判断线段Q 与MQ 的关系，并给出证明． 17．（1）探究：如图1，在△B 和△DE 都是等边三角形，点D 在边B 上． ①求∠DE 的度数； ②直接写出线段D，E，之间的数量关系； （2）应用：如图2，在四边形BD 中，B＝B，∠B＝60°，P 是四边形BD 内一点，且∠P ＝120°，求证：P+P+PD≥BD； （3）拓展；如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为（﹣4，0），点B 是y 轴上一个 动点，以B 为边在B 的下方作等边△B，求的最小值． 18．如图，△B 是等边三角形，△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，BD＝DE，连接D，E． （1）如图1，连接D，若∠BE＝60°，B＝BE＝ ，求D 的长； （2）如图2，若点F 是E 的中点，连接F，DF．求证：D＝2DF； （3）如图3，在（2）的条件下，若B＝2 ，BD＝2，将△BDE 绕点B 旋转，点是△F 内部的一点，当DF 最大时，请直接写出2+F+ 的最小值的平方．