湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期入学检测数学试题（原卷版）(1)

雅礼中学2023 年下学期入学检测试题 高二数学 时量：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 是 纯虚数，则实数 （ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则 且 是 且 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 有一个人在打靶中，连续射击2 次，事件“至少有1 次中靶”的对立事件是（ ）. A. 至多有1 次中靶 B. 2 次都中靶 C. 2 次都不中靶 D. 只有1 次中靶 5. 已知样本数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为3 和56，若 ，则 ， ，…， 的平均数和方差分别是（ ） A. 12，115 B. 12，224 C. 9，115 D. 9，224 6. 某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100 名学生成绩分为6 组，绘制了如图所示的 频率分布直方图，则成绩在区间 内的学生有（ ） A. 15 名 B. 20 名 C. 25 名 D. 40 名 7. 已知函数 的定义域为R，且 ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 如图，正方体 中，点 ， ，分别是 ， 的中点，过点 ， ， 的截面 将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知 ，则a，b 满足（ ） A. B. C. D. 10. 在 中，内角 所对的边分别为 ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列四个命题中，假命题有（ ） A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若 为 两个事件，则 C. 若事件 彼此互斥，则 D. 若事件 满足 ，则 是对立事件 12. 如图，正方体 的棱长为， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则（ ） A. 直线 与直线 垂直 B. 直线 与平面 平行 C. 平面 截正方体所得的截面面积为 D. 点 与点B 到平面 的距离相等 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 2023 年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采 用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30 的样本，已知高一年级有 教师80 人，高二年级有教师72 人，高三年级有教师88 人，则高一年级应抽取______人. 14. 在平行六面体 中， °，则 =___________． 15. 已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是____ ____． 16. 如图，正四棱锥P-ABCD 的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点.若过AM 作该正四棱锥的截面， 分别交棱PB､PD 于点E､F（可与端点重合），则四棱锥P-AEMF 的体积的取值范围是___________. 四、解答题（本题共6 小题，共70 分，其中第17 题10 分，其它每题12 分，解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 的部分图像如图所示. （1）求 的解析式及对称中心； （2）先将 的图像纵坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位后得到 的图像，求函数 在 上的单调减区间和最值. 18. 如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点. （1）求证： ； （2）若点 分别在 上，且 .求证： ； （3）棱 上是否存在点 ，使平面 平面 ？若存在，确定点P 的位置，若不存在，说明理 由. 19. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120 分钟内未分出胜负,则需 进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5 名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一 球则为本方获得1 分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比 赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5 名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各 派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进 入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为 ,乙队每位球员罚进点球的概率均为 . 假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率; （2）若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0 领先,求 甲队第5 个球员需出场罚球的概率. 20. 如图，四棱锥 中， 平面 ，梯形 满足 ， ，且 ， ， 为 中点， ， . （1）求证： ， ， ， 四点共面； （2）求二面角 的正弦值. 21. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 内举行机器人拦截挑战赛，在 处按 方向释放机器人 甲，同时在 处按 方向释放机器人乙，设机器人乙在 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动． 若点 在矩形区域 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知 米， 为 中点， 比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 与 的夹角为 （ ）， 与 的夹角为 （ ）． （1）若两机器人运动方向的夹角为 ， 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大 值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的 倍． （i）若 ， 足够长，机器人乙挑战成功，求 ． （ii）如何设计矩形区域 的 宽 的长度，才能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器 人乙的释放角度 使机器人乙挑战成功？ 22. 定义： 为实数 对 的“正弦方 差”. （1）若 ，证明：实数 对的 “正弦方差” 的值是与 无关的定值； （2）若 ，若实数 对 的“正弦方差” 的值是与 无关的定值，求 值.