长沙市雅礼教育集团2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（答案解析）

第1页（共8页） 雅礼教育集团2022 上学期期末考试试卷 数学参考答案与试题解析 一．选择题（共8 小题） 1． 【解析】解：由B {xR | 3x 26} {x | x log3 26}，A {0 ，1，2，3，4}， 则AB {0 ，1，2，3，4}{x |x log3 26} {0 ，1，2}，故选：A ． 2． 【解析】解：z i(1i) 1i ，则z 1i ．故选：C ． 1 ( ) 2 AB AC    3． 【解析】解：因为AD 是BC 边上的中线，故  A  D      ， 又点M 满足 2 AM MD      ，故 2 1 1 3 3 3 AM AD AB AC            ， 则 1 2 3 3 CM AM AC AB AC               ．故选：C ． 设大圆锥的高为h ，所 4． 【解析】解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 ，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4， 可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积， 以 4 6 10 h h   ，解得： 10 h  ， 则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6， 所以该壶的容积 2 2 3 1 1 196 5 10 3 6 200 3 3 3 V cm              ． 故选：B ． 所以2 个黄球不相邻的概率为 5． 【解析】解： 将3 个完全相同的红球和2 个完全相同的黄球随机排在一行， 共有C5 2 10 种排法，其中2 个黄球不相邻的排法有C4 2 6种， 6 3 10 5 P   ．故选：D ． 6． 【解析】解：由0 x 得 5 4 4 x     ， 所以 2 sin( ) 1 2 4 x     ，所以 2 2sin( ) 2 4 x     ， 所以 2 2 m   ，故2 2 m   ．故选：D ． lnx x ， 7． 【解析】解：设f (x)  2 1 ( ) lnx f x x    ， 令1 0 lnx   ，解得x e  ，此时 ( ) 0 f x   ， 第2页（共8页） 所以函数 ( ) f x 在( , ) e 上单调递减， 又因为 2 2 2 ( ) lne a f e e   ， 4 3 (4), (3) 4 3 ln ln b f c f     ，且 2 4 3 e e    ， 所以 2 ( ) f e f  （4） f  （3） ，即a b c   ．故选：A ． 底面为正方形的四棱锥O ABCD  ，各侧棱长都为 8． 【解析】解：如图，连接AC ，BD 相交于D 点H ，连接OH ， 3 3 ，底面面积为36， OH  垂直底面正方形于点H ，且 3 2 HC  ， 3 3 OC  ， 2 2 27 18 3 OH OC HC       ， 以O 为球心， 3 R  为半径作一个球与底面ABCD 切于点H ， 如图，将正四面体补全成正方体，由对称性可知： 这个球与四棱锥O ABCD  共同部分为整个球的1 6 ， 这个球与四棱锥O ABCD  共同部分的体积为 3 1 4 3 6 6 3       ， 故选：C ． 二．多选题（共4 小题） 9． 【解析】解：散点图如图所示， 在5 个数据中去掉A 4 (5,13) 后，y 与x 的相关性加强．并且是 正相关， 所以样本相关系数r 变大，R 2 变大， 残差平方和变小， 解释变量x 与响应变量y 的相关程度变强， 所以选项ACD 正确， 选项B 错误．故选：ACD ． 10． 【解析】解：对于A ，S5 S9 ， a6 a7 a8 a9 0 ，即a1 a14 0 ，S15 0 ， 第3页（共8页） 对于B ， 5 9 S S   ， n S  对称轴为 7 n  ， 7 S 是 n S 中最大的项，故B 正确， 对于C ， 6 7 S S   ， 7 0 a   ，又 1 0 a   ， 0 d   ， 8 7 0 a a   ， 7 8 S S   ，故C 正确， 对于D ， 6 7 S S   ， 7 0 a   ，但不能推出 6 a 是否为负，故不一定有 5 6 S S  ，故D 错误． 故选：BC ． 2 2 1 9 6 x y 11． 【解析】解：由椭圆C :  得 3 a  ， 6 b  ， 3 c  ， 所以 3 3 c e a   ，故A 正确； △ 2 F MN 的周长为4 12 a  ，故B 正确； △ 2 F MN 的面积 2 1 2 1 1 2 ( 6) 2 3 4 3 2 2 3 MN F F         ，故C 错误； 2 2 4 b MN a   ， 2 2 2 2 4 b F M F N a a     ，所以△ 2 F MN 为等边三角形，故D 正确． 故选：ABD ． 12． 【解析】解：对于A ，当a 1时， ( ) | 1| 1 f x x x    ， 由| 1| 1 0 x   ， 解得 0 x 或 2 x  ，函数 ( ) f x 的定义域为(，2] [0  ， ) ，A 错误； 对于B ，当 0 a  时， ( ) | | f x x x   ，定义域为R ， 当 1 x 时， ( ) 0 f x ；当 1 x 时， ( ) 0 f x  ． 函数 ( ) f x 的值域为R ，故B 正确； 对于C ，当 1 a 时， ( ) | 1| 1 f x x x    ， 当 1 x 时， 2 1 1 ( ) ( ) 2 4 f x x x x      ，在[1， ) 上递减， 当 1 x 时， ( ) 2 f x x x    ，在( ,1)  上递减， f  （1） 0  ，函数 ( ) f x 在R 上单调递减，故C 正确； 对于D ，由题意知 ( ) | | f ax ax a a ax     ， ( ) f ax a  ，即为 | | ax a a a ax     ， 设a ax t  ， 1 (0, ) 4 a  ，a ax a  ， 0 t  ， 则 t a t  ，即 2 2 1 1 ( ) 2 4 a t t t     ， 若方程 ( ) f ax a  有两个解，即 1 (0, ) 4 a ，故D 正确． 第4页（共8页） 故选：BCD ． 所以前三项的系数分别为 0 0 8 1 C a  ， 1 8 8 C a a   ， 2 2 2 8 28 C a a   三．填空题（共4 小题） 13． 【解析】解：二项式的展开式的通项公式为Tr1 C8 rx8r (a x)r C8 r arx82r ， ， 因为前三项的系数成等差数列，所以 2 8 2 1 28 a a   ，解得 1 2 a  或1 14 ， 故答案为：1 2 或1 14 ． PC 14． 【解析】解： 由题意可知PCD∽ACP ， C P D C AC  ， 且 2 PC R   ， 2 2 PC CD AC AC    ，点A 是x 轴上的一个动点， 由双曲线的渐近线方程，可 当A(2,0) 时，AC 取得最小值4，即AC 4 ，所以0 A 2 C 1 2 ， 即圆心C 到直线PQ 的距离的取值范围是(0 ，1 2] ，故答案为：(0 ，1 2] ． 15． 【解析】解：设双曲线的半焦距为c ， 得 3 4 b a  ， 3 4 b a   ，则 2 2 5 4 a c a b    ， 在△ 1 2 PF F 中， 2 1 2 | | | | 2 PF F F c   ， 1 | | 2 2 PF c a   ， 由余弦定理可得 2 2 2 1 2 (2 ) (2 2 ) (2 ) 9 cos 2 2 (2 2 ) 2 10 c c a c a c PF F c c a c            ． 故答案为：9 10 ．声明：试题解析著作权属 所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/15 21:58:05 ；用户：rywork ；邮箱：rywork @126.com ；学号：20712407 函数 ( ) x f x e  的导函数为 ( ) x f x e   ， (0) 1 f   16． 【解析】解：由y lnx ，得y1 x ，则y|x11， 则曲线y lnx 在点(1,0) 处的切线方程为y 1(x 1) ，即x y 10 ； ， 函数 ( ) x f x e  在(0,1) 处的切线为 1 y x  ， ( ) x f x e   在(0,1) 附近可用 1 y x  代替，即 ( ) 1 x f x e x   ， 又 1 2022 非常接近0， 1 2022 1 1 2023 ( ) 1 2022 2022 2022 f e     ． 即计算 1 2022 e 所得结果为2023 2022 ． 故答案为： 1 0 x y   ；2023 2022 ． 第5页（共8页） （2）由（1）可知 四．解答题（共6 小题） 17． 【解析】解： （1）设等差数列{an}的公差为d(d 0) ， 由a3 a5a8 ，a6 1，得13d (1d)(12d) ，即2d 2 4d 0 ， 解得d 2 ，或d 0 （舍去） ，则a1 a6 5d 110 9 ， 所以an 9 2(n 1) 2n 11(nN*) ； 2 1 ( ) ( 9 2 11) 10 2 2 n n n n S a a n n n        ， 令 n n S a  ，得 2 10 2 11 n n n    ，即 2 12 11 0 n n    ， 解得1 11 n   ，又 * n N  ，故使 n n S a  成立的最大正整数n 为10． 3(tan tan 1) A C  18． 【解析】解： （1）由题意得，tan A tanC  ， 所以 tan tan tan( ) 3 1 tan tan A C A C A C      ，所以tan tan( ) 3 B A C    ， 由B 为三角形内角得 60 B  ； （2）由余弦定理得， 2 2 2 2 2 9 2 cos 2 b a c ac B a c ac ac ac ac          ，当且仅当a c  时取等号，所以 9 ac ， 1 3 9 3 sin 2 4 4 ABC S ac B ac    ，因为 1 3 BD BC      ， 3 b  ， 所以 2 2 9 3 3 3 3 3 4 2 ACD ABC S S      ，即面积的最大值为3 3 2 ． （2 ）依题意 19． 【解析】解： （1）证明：由已知得AA 1 平面ABC ，EF 平面ABC ， 所以AA 1 EF ，又AB AC ，D 是BC 的中点，得AD BC ， 又EF / /BC ，故AD EF ． 因为AA 1 ，AD 是平面AA 1D 1D 内的两条相交直线， 所以EF 平面AA 1D 1D ，又A 1G 平面AA 1D 1D ，所以A 1G EF ； 2 3 AG AD  ，又 / / EF BC ，所以 2 2 , 3 3 AE AB AF AC   ． 由直棱柱性质和题设， 1 1 D A ， 1 1 D B ， 1 D D 两两互相垂直，建立 第6页（共8页） 如图所示的空间直角坐标系． 设 1 AA h  ，则 1 1 1 3 ( ,0,0), ( ,0, ), (0, , ) 2 2 2 A A h B h ， 3 1 3 1 3 (0, , ), ( , , ), ( , , ) 2 6 3 6 3 C h E h F h   ， 设 ( , , ) m x y z   是平面 1 AA E 的法向量， 1 1 1 3 (0,0, ), ( , , ) 3 3 A A h A E h      ， 1 1 0 1 3 0 3 3 A A m zh A E m x y zh                   ，取 3 x  ，则 ( 3,1,0) m   ． 设 1 ( n x   ， 1 y ， 1) z 是平面 1 A EF 法向量， 1 2 3 1 3 (0, ,0), ( , , ) 3 3 3 EF A E h        ， 1 1 0 1 3 0 3 3 EF n A E n x y z h                 ，取 1 3 x  ，则 1 (3,0, ) n h   ， 因为二面角 1 A A E F   的大小是3 ，所以 2 3 3 1 | cos , | 2 1 2 9 m n h       ，解得 2 6 h  ， 3 2 6 2 6 24   ． 剂量 所以三棱柱ABC A 1B 1C1 的体积V SABC CC1 1 2 11 20． 【解析】解： （1）单位：人 组 接种情况 合计 接种成功 接种不成功 A 剂量组 110 30 140 B 剂量组 140 20 160 合计 250 50 300 零假设为 0 H ：接种B 剂量组的效果和接种A 剂量组的效果没有差异． 根据列联表中的数据，经计算得到 2 2 300(110 20 140 30) 30 3.841 250 50 140 160 7 K          ， 依据小概率值 0.05  的独立性检验，可以推断 0 H 不成立，即认为接种B 剂量组的效果比 接种A 剂量组的效果好，此推断犯错误的概率不大于0.05． 易知A 剂量组中的接种成功和接种不成功的频率分别为110 11 140 14  和30 3 140 14  ， 且B 剂量组中的接种成功和接种不成功的频率分别为140 7 160 8  和20 1 160 8  ， 第7页（共8页） 又7 11 8 14  ，根据频率稳定于概率的原理，可认为B 剂量组中的接种成功概率大于A 剂量组 中的接种成功概率，即B 剂量组的接种效果比A 剂量组的接种效果好． （2）假设B 剂量组临床试验接种1 次疫苗可接种成功的概率为p ， 由（1）可知B 剂量组的接种不成功的概率为1 8 ， 即接种3 次疫苗后仍未接种成功的概率为1 8 ， 3 1 (1 ) 8 P    ， 1 2 P   ， B  剂量组临床试验接种2 次疫苗可接种成功的概率为 2 1 3 1 (1 ) 2 4    ， 可知B 剂量组临床试验接种1 次，2 次，3 次疫苗可接种成功的概率分别为1 2 ，3 4 ，7 8 ， 由题意可知，该家庭3 人的分配接种该疫苗的次数有两种情况：①两人接种1 次，一人接种 3 次；②两人接种2 次，一人接种1 次， 当两人接种1 次，一人接种3 次时，该家庭全部接种成功的概率为 2 1 1 7 7 ( ) 2 8 32 P    ， 当两人接种2 次，一人接种1 次时，该家庭全部接种成功的概率为 2 2 3 1 9 ( ) 4 2 32 p    ， 显然 1 2 p p  ， 由 2 1 4 x my y x   该家庭分配接种该疫苗的次数应为两人接种2 次，一人接种1 次． 21． 【解析】（1）证明：设A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，F(1,0) ， 故可设直线l 的方程为x my 1，     ，得 2 4 4 0 y my    ，则 1 2 4 y y m   ， 1 2 4 y y ， 由题意可知 1 ( 1, ) P y  ， 2 ( 1, ) Q y  ， 1 2 ( 1, ) 2 y y R   ， 则 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2( 1) AR y y y y y k x x        ， 2 2 1 1 2 FQ y y k    ． 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 4 4 4 4 ( ) 0 2( 1) 2 2( 1) 2( 1) 2( 1) 2( 1) AR FQ y y y y y y y y y y y y y x y k k x x x x x                       ， AR FQ k k   ，故 / / AR FQ ； （2）解：假设存在点 ( ,0) T a 满足题意，设直线AT ，BT 的斜率分别 第8页（共8页） 为 1 k ， 2 k ． 1 1 1 1 1 1 y y k x a my a     ， 2 2 2 2 2 1 y y k x a my a     ， 则 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 (1 )( ) 1 1 (1 )( ) (1 ) y y my y a y y k k my a my a m y y m a y y a               2 2 2 4 ( 1) 4 4 (1 ) (1 ) m a m m a a        ． m R   ，且 2 2 2 4 ( 1) 4 4 (1 ) (1 ) m a m m a a        为常数， 故切线斜率k f  （1） a 1 0