福建省漳州市2021-2022学年高一上学期教学质量检测数学试题

漳州市２０２１－２０２２学年(上)期末高中教学质量检测 高一数学试题 本试卷共４页ꎬ满分１５０分ꎬ考试时间１２０分钟 注意事项: １􀆰答题前ꎬ考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名ꎮ考生 要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名” 与考生本人准考证号、姓名是否 一致ꎮ ２􀆰回答选择题时ꎬ选出每小题答案后ꎬ用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎮ 如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其它答案标号ꎮ回答非选择题时ꎬ将答案写在答题卡 上ꎮ写在本试卷上无效ꎮ ３􀆰考试结束ꎬ考生必须将试题卷和答题卡一并交回ꎮ 一、单项选择题: 本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ 只有一项是符合题目要求的ꎮ １. 正确表示图中阴影部分的是 Ａ. ＣＵＡ ( ) ∪Ｂ Ｂ. ＣＵＡ ( ) ∪ＣＵＢ ( ) Ｃ. ＣＵＡ∪Ｂ ( ) Ｄ. ＣＵＡ∩Ｂ ( ) ２. ｓｉｎ１７°􀅰ｃｏｓ４３° ＋ｃｏｓ１７°􀅰ｓｉｎ４３° ＝ Ａ. ３ ２ Ｂ. － ３ ２ Ｃ. １ ２ Ｄ. －１ ２ ３. 下列函数中ꎬ是奇函数且在其定义域上为增函数的是 Ａ. ｙ＝－１ ｘ Ｂ. ｙ＝ｘ３ Ｃ. ｙ＝ｔａｎｘ Ｄ. ｙ＝３ｘ ４. 已知函数ｆ ｘ ( ) ＝ ｌｇｘ􀆯ｘ> ０ １０ｘ􀆯ｘ≤０ { ꎬ则ｆ ｆ －１ ( ) ( ) ＝ Ａ. －１ Ｂ. １ Ｃ. －１０ Ｄ. １０ ５􀆰函数ｆ ｘ ( ) ＝３ｘ＋ａ与函数ｇｘ ( ) ＝ｌｏｇａｘ(ａ> ０且ａ≠１) 的图象大致是 A. B C D . . . O x y 1 2 O O O x x x y y y 1 1 1 2 2 2 高一数学试题 第１页(共４页) ６. 已知ａ＝ｌｏｇ２３ꎬｂ＝ １ ８ æ è ç ö ø ÷ －１ ２ ꎬｃ＝１６ １ ４ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小关系为 Ａ􀆰ａ> ｃ> ｂ Ｂ􀆰ａ> ｂ> ｃ Ｃ􀆰ｃ> ｂ> ａ Ｄ􀆰ｂ> ｃ> ａ ７􀆰已知定义在Ｒ上的偶函数ｆ ｘ ( ) 满足ｆ ｘ ( )􀅰ｆ ｘ＋２ ( ) ＝２ꎬ且ｆ ｘ ( ) > ０ꎬ则ｆ ２０２１ ( ) ＝ Ａ􀆰１ ２ Ｂ􀆰１ Ｃ􀆰 ２ Ｄ􀆰２ ８􀆰已知函数ｆ ｘ ( ) ＝ｓｉｎωｘω > ０ ( ) 在０􀆯π ( ) 上恰有三个零点ꎬ则ω 的取值范围为 Ａ. ２􀆯３ ( ) Ｂ. ２􀆯３ ( ] Ｃ. ３􀆯４ ( ) Ｄ. ３􀆯４ ( ] 二、多项选择题: 本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有 多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得５分ꎬ选对但不全的得２分ꎬ有选错的得０分ꎮ ９. 已知幂函数ｆ ｘ ( ) ＝ｘα 的图象经过点４ꎬ２ ( ) ꎬ则 Ａ. 函数ｆ ｘ ( ) 是偶函数 Ｂ. 函数ｆ ｘ ( ) 是增函数 Ｃ. 函数ｆ ｘ ( ) 的图象一定经过点０􀆯１ ( ) Ｄ. 函数ｆ ｘ ( ) 的最小值为０ １０􀆰记函数ｙ＝ｃｏｓｘ的图象为Ｃ１ꎬ函数ｙ＝ｃｏｓ２ｘ＋π ３ æ è ç ö ø ÷ 的图象为Ｃ２ꎬ则 Ａ􀆰把Ｃ１上所有点的横坐标扩大到原来的２倍ꎬ纵坐标不变ꎬ再把得到的图象向左平移 π ３个单位长度ꎬ得到Ｃ２ Ｂ􀆰把Ｃ１上所有点的横坐标缩短到原来的１ ２ꎬ纵坐标不变ꎬ再把得到的图象向左平移π ６ 个单位长度ꎬ得到Ｃ２ Ｃ􀆰把Ｃ１向左平移π ３个单位长度ꎬ再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的１ ２ꎬ 纵坐标不变ꎬ得到Ｃ２ Ｄ􀆰把Ｃ１向左平移π ３个单位长度ꎬ再把得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的２ 倍ꎬ纵坐标不变ꎬ得到Ｃ２ １１􀆰已知函数ｆ(ｘ) ＝ ｘ ｘ＋１ꎬ则 Ａ. 函数ｆ(ｘ) 是奇函数 Ｂ. 函数ｆ(ｘ) 在Ｒ上单调递增 Ｃ. 函数ｙ＝ｆ(ｘ) 的值域是[ －１􀆯１] Ｄ. 方程ｆ ｘ ( ) －ｘ３＝０有三个实数根 高一数学试题 第２页(共４页) １２. 气候变化是人类面临的全球性问题ꎬ随着各国二氧化碳排放ꎬ温室气体猛增ꎬ对生命系 统形成威胁ꎬ我国积极参与全球气候治理ꎬ加速全社会绿色低碳转型ꎬ力争２０３０年前实 现碳达峰ꎬ２０６０年前实现碳中和目标􀆰某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是 “碳排放与气候变化问题”ꎬ研究小组观察记录某天从６时到１４时的温度变化ꎬ其变化曲 线近似满足函数ｆ ｘ ( ) ＝Ａｓｉｎωｘ＋φ ( ) ＋ｂ(Ａ> ０􀆯ω > ０􀆯０< φ < π)ꎬ如图ꎬ则 （� ��） 12 O y/℃ x/h 6 8 10 12 14 10 20 30 Ａ. φ ＝３π ４ Ｂ. 函数ｆ ｘ ( ) 的最小正周期为１６π Ｃ. ∀ｘ∈Ｒꎬｆ ｘ ( ) ＋ｆ ｘ＋８ ( ) ＝４０ Ｄ. 若ｇｘ ( ) ＝ｆ ｘ＋ｍ ( ) 是偶函数ꎬ则ｍ的最小值为２ 三、填空题: 本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎮ １３. 函数ｙ＝ａｘ＋３＋３(ａ> ０且ａ≠１) 的图象恒过定点 . １４. 用“二分法” 求函数ｙ＝ｆ ｘ ( ) 零点的近似值时ꎬ若第一次所取的区间是[０􀆯ｍ]ꎬ则第三次 所取的区间可能是 . (只需写出满足条件的一个区间即可) １５. 已知扇形的面积为３πꎬ圆心角为２π ３ꎬ则该扇形的弧长为 . １６. 已知函数ｆ ｘ ( ) ＝ｃｏｓ２ｘ＋ａｃｏｓｘꎬ当ａ＝２时ꎬｆ ｘ ( ) 的最小值为 ꎻ若ｆ ｘ ( ) 的最大 值为２ꎬ则ａ的值为 . (本题第一空２分ꎬ第二空３分) 四、解答题: 本大题共６小题ꎬ共７０分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤ꎮ １７. (１０分) 已知集合Ａ＝ ｘ２< ２ｘ< ８ { } ꎬＢ＝ ｘｘ> ２ { } 􀆰 (１) 求Ａ∩Ｂꎬ ＣＲＢ ( ) ∪Ａꎻ (２) 若非空集合Ｃ＝ ｘ１< ｘ< ａ { } ꎬ且Ｃ⊆Ａꎬ求实数ａ的取值范围􀆰 １８. (１２分) 已知ＡꎬＢ是单位圆Ｏ上的点ꎬ点Ａ是单位圆与ｘ轴正半轴的交点ꎬ点Ｂ在第二象限ꎬ记 ∠ＡＯＢ＝α 且ｓｉｎα ＝３ ５􀆰 (１) 求点Ｂ的坐标ꎻ (２) 求 ｓｉｎ(π ＋α) ＋ｓｉｎ( π ２－α) ４ｔａｎ(π －α) 的值􀆰 高一数学试题 第３页(共４页) １９. (１２分) 已知函数ｆ ｘ ( ) ＝ｌｏｇ３ ｘ＋３ ｘ－３􀆰 (１) 判断函数ｆ ｘ ( ) 的奇偶性并证明ꎻ (２) 判断函数ｆ ｘ＋３ ( ) 在区间０􀆯＋¥ ( ) 上的单调性ꎬ并用单调性的定义证明你的结论. ２０. (１２分) 已知函数ｆ ｘ ( ) ＝２ｓｉｎｘ􀅰ｃｏｓｘ＋２３ｃｏｓ２ｘ－ ３􀆰 (１) 求函数ｆ ｘ ( ) 的最小正周期ꎻ (２) 求不等式ｆ ｘ ( ) ≥１在０􀆯π [ ] 上的解集􀆰 ２１. (１２分) ２０２１年１０月２６日下午ꎬ习近平总书记参观国家“十三五” 科技成就展强调ꎬ坚定创新自 信紧抓创新机遇ꎬ加快实现高水平科技自立自强􀆰面向人民生命健康ꎬ重点展示一体化 全身正电子发射磁共振成像装备ꎬ在红色“健康中国” 四个大字衬托下ꎬ更显科技创新 为人民健康“保驾护航” 的意义􀆰为促进科技创新ꎬ某医学影像设备设计公司决定将在 ２０２２年对研发新产品团队进行奖励ꎬ奖励方案如下: 奖金ｙ(单位: 万元) 随收益ｘ(单 位: 万元) 的增加而增加ꎬ且奖金不超过９０万元ꎬ同时奖金不超过收益的２０％ꎬ预计收 益ｘ∈ ３６ꎬ９００ [ ] 􀆰 (１) 分别判断以下三个函数模型: ｙ＝１􀆰００６ｘꎬｙ＝３ｌｎｘ＋４ꎬｙ＝ｘꎬ能否符合公司奖励 方案的要求ꎬ并说明理由ꎻ (参考数据: １􀆰００６７５０≈８８􀆰８１ꎬ１􀆰００６７６０≈９４􀆰２９ꎬｌｎ３６≈３􀆰５８ꎬｌｎ９００≈６􀆰８０) (２) 已知函数模型ｙ＝ａｘ－１０符合公司奖励方案的要求ꎬ求实数ａ的取值范围􀆰 ２２􀆰(１２分) 已知函数ｆ ｘ ( ) ＝ｅｘ－ｅ －ｘ(其中ｅ＝２􀆰７１８２８􀆺)􀆰 (１)∀ｘ∈０􀆯＋¥ ( ) ꎬ不等式ｆ ｘ２－ａｘ＋９ ( ) ≥０恒成立ꎬ求实数ａ的最大值ꎻ (２) 若∀ｘ１∈[０􀆯１]ꎬ∃ｘ２∈[ｍ􀆯＋¥)ꎬ使ｅ － ｘ１－ｍ≥ｆ ｘ２ ( ) 成立ꎬ求实数ｍ的取值范围􀆰 高一数学试题 第４页(共４页) 漳州市２０２０－２０２１学年(上) 期末高中教学质量检测 高一数学参考答案 评分说明: １􀆰本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ如果考生的解法与本解答不同ꎬ可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则ꎮ ２􀆰对计算题ꎬ当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度ꎬ可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半ꎻ如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ就不再给分ꎮ ３􀆰解答右端所注分数ꎬ表示考生正确做到这一步应得的累加分数ꎮ ４􀆰只给整数分数ꎮ选择题和填空题不给中间分ꎮ 一、单项选择题: 本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ 项是符合题目要求的ꎮ １. Ｃ ２. Ａ ３. Ｂ ４. Ａ ５. Ｂ ６. Ｄ ７. Ｃ ８. Ｄ 二、多项选择题: 本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ 有多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得５分ꎬ选对但不全的得２分ꎬ有选错的得０分ꎮ ９. ＢＤ １０. ＢＣ １１. ＡＢＤ １２. ＡＣＤ 三、填空题: 本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎮ １３. ( －３􀆯４) １４. [０􀆯ｍ ４]ꎬ[ ｍ ４􀆯ｍ ２]ꎬ[ ｍ ２􀆯３ｍ ４]ꎬ[３ｍ ４􀆯ｍ]􀆰 (写出满足条件的一个区间即可ꎬ写开区间也给分) １５. ２π １６. －３ ２ꎬ ± １(本题第一空２分ꎬ第二空３分) 四、解答题: 本大题共６小题ꎬ共７０分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤ꎮ １７. (１０分) 【解析】(１) 因为２< ２ｘ< ８ꎬ所以１< ｘ< ３ꎬＡ＝ ｘ１< ｘ< ３ { } 􀆰 ２分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为Ｂ＝ ｘｘ> ２ { } ꎬ所以Ａ∩Ｂ＝ ｘ２< ｘ< ３ { } 􀆰 ４分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ＣＲＢ＝ ｘｘ≤２ { } ꎬ ５分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以ＣＲＢ ( ) ∪Ａ＝ ｘｘ< ３ { } 􀆰 ６分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 由(１) 知ꎬＡ＝ ｘ１< ｘ< ３ { } ꎬＣ＝ ｘ１< ｘ< ａ { } ꎬ 因为Ｃ≠∅ꎬ所以ａ> １ꎬ ７分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为Ｃ⊆Ａꎬ所以ａ≤３ꎬ ９分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 解得１< ａ≤３ꎬ所以ａ的取值范围为ａ１< ａ≤３ { } . １０分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 高一数学参考答案 第１页(共４页) １８. (１２分) 【解析】(１) 设点Ｂ坐标为Ｂｘ􀆯ｙ ( ) ꎬ则ｙ＝ｓｉｎα ＝３ ５ꎬ ２分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为点Ｂ在第二象限ꎬ所以ｘ＝ｃｏｓα ＝－ １－ｓｉｎ２α ＝－ １－ ３ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝－４ ５ꎬ ５分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 点Ｂ坐标为Ｂ－４ ５􀆯３ ５ æ è ç ö ø ÷ 􀆰 ６分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 由诱导公式可得 ｓｉｎπ ＋α ( ) ＋ｓｉｎπ ２－α æ è ç ö ø ÷ ４ｔａｎπ －α ( ) ＝－ｓｉｎα ＋ｃｏｓα －４ｔａｎα ９分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由(１) 知ｓｉｎα ＝３ ５ꎬｃｏｓα ＝－４ ５ꎬ所以ｔａｎα ＝ｓｉｎα ｃｏｓα ＝－３ ４ꎬ １０分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以 ｓｉｎπ ＋α ( ) ＋ｓｉｎπ ２－α æ è ç ö ø ÷ ４ｔａｎπ －α ( ) ＝－ｓｉｎα ＋ｃｏｓα －４ｔａｎα ＝ －７ ５ ４× ３ ４ ＝－７ １５ １２分 􀆺􀆺􀆺􀆺 １９. (１２分) 【解析】(１) 因为ｘ＋３ ｘ－３> ０ꎬ即ｘ－３ ( ) ｘ＋３ ( ) > ０ꎬ解得ｘ< －３或ｘ> ３ꎬ 所以函数ｆ ｘ ( ) 的定义域为－¥􀆯－３ ( ) ∪３􀆯＋¥ ( ) ꎬ定义域关于原点对称ꎬ ２分 􀆺 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ｆ( －ｘ) ＝ｌｏｇ３ －ｘ＋３ －ｘ－３＝ｌｏｇ３ ｘ－３ ｘ＋３ ３分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ＝ｌｏｇ３ ｘ＋３ ｘ－３ æ è ç ö ø ÷ －１ ＝－ｌｏｇ３ ｘ＋３ ｘ－３ æ è ç ö ø ÷ ＝－ｆ ｘ ( ) ꎬ ５分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为ｆ( －ｘ) ＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以ｙ＝ｆ ｘ ( ) 为奇函数􀆰 ６分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)ｆ ｘ＋３ ( ) ＝ｌｏｇ３ ｘ＋６ ｘ ꎬｆ ｘ＋３ ( ) 在区间０ꎬ＋¥ ( ) 上单调递减ꎬ ７分 􀆺􀆺􀆺 证明: 任取ｘ１􀆯ｘ２∈０􀆯＋¥ ( ) 且ｘ１< ｘ２ꎬ ｆ ｘ１＋３ ( ) －ｆ ｘ２＋３ ( ) ＝ｌｏｇ３ ｘ１＋６ ｘ１ －ｌｏｇ３ ｘ２＋６ ｘ２ ＝ｌｏｇ３ ｘ２ｘ１＋６ ( ) ｘ１ｘ２＋６ ( ) ꎬ ９分 􀆺􀆺 因为０< ｘ１< ｘ２ꎬ所以０< ６ｘ１< ６ｘ２ꎬｘ１ｘ２＋６ｘ２> ｘ１ｘ２＋６ｘ１> ０ꎬ 可得 ｘ２ｘ１＋６ ( ) ｘ１ｘ２＋６ ( ) > １ꎬ所以ｌｏｇ３ ｘ２ｘ１＋６ ( ) ｘ１ｘ２＋６ ( ) > ０ꎬ １１分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以ｆ ｘ１＋３ ( ) > ｆ ｘ２＋３ ( ) ꎬ 所以ｆ ｘ＋３ ( ) 在区间０􀆯＋¥ ( ) 上单调递减􀆰 １２分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 高一数学参考答案 第２页(共４页) ２０. (１２分) 【解析】(１)ｆ ｘ ( ) ＝２ｓｉｎｘ􀅰ｃｏｓｘ＋２３ｃｏｓ２ｘ－ ３ ＝ｓｉｎ２ｘ＋２３× １＋ｃｏｓ２ｘ ２ － ３ ２分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ＝ｓｉｎ２ｘ＋ ３ｃｏｓ２ｘ ＝２× １ ２􀅰ｓｉｎ２ｘ＋ ３ ２􀅰ｃｏｓ２ｘ æ è ç ö ø ÷ ３分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ＝２ｓｉｎ２ｘ＋π ３ æ è ç ö ø ÷ ４分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以函数ｆ ｘ ( ) 的最小正周期为Ｔ＝２π ２ ＝π ６分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 由(１) 可知ꎬｆ ｘ ( ) ＝２ｓｉｎ２ｘ＋π ３ æ è ç ö ø ÷ ꎬｆ ｘ ( ) ≥１即ｓｉｎ２ｘ＋π ３ æ è ç ö ø ÷ ≥１ ２ꎬ 可得π ６＋２ｋπ ≤２ｘ＋π ３≤５π ６＋２ｋπꎬｋ∈Ｚ ８分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 即－π １２＋ｋπ ≤ｘ≤π ４＋ｋπꎬｋ∈Ｚ ９分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 当ｋ＝０时ꎬ －π １２􀆯π ４ é ë ê ê ù û ú ú ∩ ０􀆯π [ ] ＝ ０􀆯π ４ é ë ê ê ù û ú ú ꎬ １０分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 当ｋ＝１时ꎬ １１π １２􀆯５π ４ é ë ê ê ù û ú ú ∩ ０􀆯π [ ] ＝ １１π １２􀆯π é ë ê ê ù û ú ú ꎬ １１分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 综上所述ꎬ不等式ｆ ｘ ( ) ≥１在０􀆯π [ ] 上的解集为０􀆯π ４ é ë ê ê ù û ú ú ∪ １１π １２􀆯π é ë ê ê ù û ú ú 􀆰 １２分 􀆺􀆺􀆺 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ２１. (１２分) 【解析】函数模型ｙ＝１􀆰００６ｘꎬ满足奖金ｙ随收益ｘ增加而增加ꎬ 因为１􀆰００６７６０≈９４􀆰２９ꎬ 所以当ｘ＝７６０时ꎬｙ> ９０ꎬ即奖金超过９０万ꎬ不满足要求ꎻ ２分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 函数模型ｙ＝３ｌｎｘ＋４ꎬ当ｘ＝３６时ꎬ３ｌｎ３６＋４≈３􀆰５８× ３＋４＝１４􀆰７４> ３６× ２０％＝７􀆰２ꎬ此时奖金超过收益的２０％ꎬ不满足要求ꎻ ４分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 函数模型ｙ＝ｘꎬ满足奖金ｙ随收益ｘ增加而增加ꎬ 当ｘ∈ ３６􀆯９００ [ ] 时ꎬｙ≤ ９００＝３０ꎬ满足奖金不超过９０万元ꎬ ５分 􀆺􀆺􀆺􀆺 又ｘ∈３６􀆯９００ [ ] 时ꎬ ｘ－ｘ ５＝ｘ５－ ｘ ( ) ５ < ０ꎬ ｘ< ｘ ５ꎬ满足奖金不超过收益 的２０％ꎬ函数模型ｙ＝ｘ能符合公司的要求􀆰 ６分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 函数模型ｙ＝ａｘ－１０􀆯 因为奖金ｙ随收益ｘ增加而增加􀆯所以ａ> ０ꎬ ７分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 当ｘ＝３６时ꎬａ ３６－１０≥０ꎬ解得ａ≥５ ３ꎬ ８分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 高一数学参考答案 第３页(共４页) 当ｘ＝９００时ꎬａ ９００－１０≤９０ꎬ解得ａ≤１０ ３ꎬ ９分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 当ｘ∈ ３６􀆯９００ [ ] 时ꎬａｘ－１０≤ｘ ５恒成立ꎬ即ａ≤ｘ ５＋１０ ｘ ꎬ １０分 􀆺􀆺􀆺􀆺 又ｘ ５＋１０ ｘ ≥２２ꎬ当且仅当ｘ＝５０时等号成立ꎬ所以ａ≤２２ꎬ １１分 􀆺􀆺􀆺 综上所述ꎬ实数ａ的取值范围是ａ ５ ３≤ａ≤２２ { } 􀆰 １２分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ２２􀆰(１２分) 【解析】(１) 因为ｙ＝ｅｘ在Ｒ上单调递增ꎬｙ＝ｅ －ｘ在Ｒ上单调递减ꎬ 所以函数ｆ ｘ ( ) ＝ｅｘ－ｅ －ｘ在Ｒ上单调递增ꎬ １分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 又ｆ ０ ( ) ＝０ꎬｆ(ｘ２－ａｘ＋９) ≥０ꎬ即ｆ ｘ２－ａｘ＋９ ( ) ≥ｆ ０ ( ) ꎬ ２分 􀆺􀆺􀆺􀆺 所以ｘ２－ａｘ＋９≥０在０􀆯＋¥ ( ) 上恒成立ꎬ ３分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 即ａ≤ｘ＋９ ｘ在０􀆯＋¥ ( ) 上恒成立ꎬａ≤ｘ＋９ ｘ æ è ç ö ø ÷ ｍｉｎ ꎬ ４分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为ｘ＋９ ｘ≥２ ｘ× ９ ｘ＝６ꎬ当且仅当ｘ＝９ ｘꎬ即ｘ＝３时取等号ꎬ ５分 􀆺􀆺 所以ａ≤６ꎬ实数ａ的最大值为６􀆰 ６分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 设ｈｘ ( ) ＝ｅ －｜ｘ－ｍ｜ꎬｆ ｘ ( ) 在[ｍ􀆯＋¥) 上的最小值为ｆ ｘ ( ) [ ] ｍｉｎꎬｈｘ ( ) 在[０􀆯１] 上的最小值为ｈｘ ( ) [ ] ｍｉｎꎬ由题意ꎬ只需ｆ ｘ ( ) [ ] ｍｉｎ≤ ｈｘ ( ) [ ] ｍｉｎ ７分 􀆺􀆺􀆺􀆺 因为函数ｆ ｘ ( ) ＝ｅｘ－ｅ －ｘ在[ｍ􀆯＋¥) 上单调递增ꎬ所以ｆ ｘ ( ) [ ] ｍｉｎ＝ｅｍ－ｅ －ｍ ８分 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为ｈｘ ( ) 在－¥􀆯ｍ ( ) 单调递增ꎬ在ｍ􀆯＋¥ ( ) 单调递减ꎬ且ｘ∈ ０􀆯１ [ ] ꎬ 当ｍ≥１ ２时ꎬ ｈｘ ( ) [ ] ｍｉｎ＝ｈ０ ( ) ＝ｅ －｜ｍ｜＝ｅ －ｍꎬ 所以ｅ －ｍ≥ｅｍ－ｅ －ｍꎬ得ｅｍ≤２ｅ －ｍꎬ即ｅ２ｍ≤２ꎬ解得ｍ≤１ ２ｌ