2022-2023学年度第一学期期中考试高二数学试卷-学生用卷

第1页，共4页 （北京）股份有限公司 2022-2023 学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分） 1. 在空间四边形OABC中， 等于( ) A. OA ⃗ B. AB ⃗ C. OC ⃗ D. AC ⃗ 2. 直线x−❑ √3 y−1=0的倾斜角α=¿( ) A. B. C. D. 3. 两条直线l1:2 x−y−1=0与l2: x+3 y−11=0的交点坐标为( ) A. (3,2) B. (2,3) C. (−2,−3) D. (−3,−2) 4. 直线x−y+4=0与圆x 2+ y 2=r 2相切，则r的值是 ( ) A. 2❑ √2 B. 2 C. ❑ √2 D. ❑ √2 2 5. 如图所示，空间四边形OABC中，OA ⃗ =a ⃗，OB ⃗ =b ⃗， OC ⃗ =c ⃗，点M在OA上，且OM ⃗ =2 MA ⃗，N为BC中点，则MN ⃗ 等于( ) A. 1 2 a ⃗ −2 3 b ⃗ + 1 2 c ⃗ B. −2 3 a ⃗ + 1 2 b ⃗ + 1 2 c ⃗ C. 1 2 a ⃗ + 1 2 b ⃗ −2 3 c ⃗ D. 2 3 a ⃗ + 2 3 b ⃗ −1 2 c ⃗ 6. 已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1)和(−2,3)，则圆C的方程是．( ) A. ( x+1) 2+( y+2) 2=10 B. ( x−1) 2+( y−2) 2=40 C. ( x−1) 2+( y−2) 2=10 D. ( x+1) 2+( y+2) 2=40 第2页，共4页 （北京）股份有限公司 7. 设x、y ∈R，向量a ⃗ =(x ,1,1)，b ⃗ =(1, y ,1)，c ⃗ =(3,−6,3)且a ⃗ ⊥c ⃗，b ⃗ /¿ c ⃗，则 |a ⃗ +b ⃗|=¿( ) A. 2❑ √2 B. 2❑ √3 C. 4 D. 3 8. 如图，在三棱锥A−BCD中，三条棱DA、DB、DC两两垂 直，且DA=DB=DC，M、N分别是棱BC、AD的中点，则 异面直线AM与BN所成角的余弦值为( ) A. 1 2 B. ❑ √6 4 C. ❑ √15 5 D. 2❑ √30 15 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有 选错的得0 分。共20 分） 9. 若平面α ⊥β，平面α的法向量为n ⃗ =(2,1,−4)，则平面β的一个法向量可以是( ) A. (2,0,1) B. (−2,−1,4) C. (1,2,1) D. (1, 1 2 ,−2) 10.已知直线l：x+ y−❑ √2=0与圆C：( x−1) 2+( y+1) 2=4，则( ) A. 直线l与圆C相离 B. 直线l与圆C相交 C. 圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D. 圆C上到直线l的距离为1的点共有3个 11.已知两条直线l1:(a−2)x+3 y+2a=0和l2: x+ay+6=0.则下列结论正确的是( ) A. 当a=1 2时，l1⊥l2 B. 若l1/¿l2，则a=−1或a=3 C. 当a=2时，l1与l2相交于点(−10 3 ,−4 3 ) D. 直线l1过定点(−2,−4 3 ) 第3页，共4页 （北京）股份有限公司 12.如图，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，A A1=1，AB=AD=❑ √3，E是侧面 A A1 D1 D的中心，F是底面ABCD的中心，以A为坐标原点，AB，AD，A A1所在直线分 别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则( ) A. EF ⃗是单位向量 B. n ⃗ =(1,0,❑ √3)是平面A1BC的一个法向量 C. 直线EF与A1C所成角的余弦值为 ❑ √21 7 D. 点E到平面A1BC的距离为 ❑ √3 4 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.过点P(1,2)，斜率为−3的直线的一般式方程为 14.已知A(3,5)，B(4,7)，C(−1, x)三点共线，则x=¿ 15.直线y=2 x+3被圆x 2+ y 2−6 x−8 y=0所截得的弦长等于 16.已知n ⃗ =(1,−1,1)是平面α的一个法向量，点A(1,1,0)在平面α内，则点P(2,2,2)到平 面α的距离为 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题10分) 已知向量a ⃗ =(1,2,2)，b ⃗ =(−2,1,−1)． 第4页，共4页 （北京）股份有限公司 (Ⅰ)求a ⃗ ⋅b ⃗； (Ⅱ)求¿2a ⃗ −b ⃗ ∨¿； 18.(本小题12分) 已知 的三个顶点分别是A(1,3), B(3,1), C(-1,0),求 的面积。 19.(本小题12分) 已知直线l：3 x−2 y−6=0． (1)若直线l1过点M (1,−2)，且l1⊥l，求直线l1的方程； (2)若直线l2/¿l，且直线l2与直线l之间的距离为❑ √13，求直线l2的方程． 20.(本小题12分) 已知圆C经过点A(0,1)且圆心为C(1,2)． (1)写出圆C的标准方程； (2)过点P(2,−1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长． 21.(本小题12分) 第5页，共4页 （北京）股份有限公司 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A A1⊥底面A1B1C1，AC ⊥AB，AC=AB=4， A A1=6，点E，F分别为C A1与AB的中点． (1)证明：EF/¿平面BC C1B1． (2)求B1 F与平面AEF所成角的正弦值． 22.(本小题12分) 如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，PA ⊥平面ABCD， ∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点． (1)求证：AE⊥PD； (2)若PA=4，求二面角E−AF−C的余弦值． 第6页，共4页 （北京）股份有限公司