太原五中2021-2022学年度第一学期阶段性检测高二数学-纯答案用卷

第1 页，共4 页 太原五中2021-2022 学年度第一学期阶段性检测 高二数学答案 【答案】 1. 𝐵 2. 𝐴 3. 𝐷 4. 𝐴 5. 𝐶 6. 𝐵 7. 𝐷 8. 𝐵 9. 𝐴 10. 𝐶 11. 16 3 12. 2√3 3 13. [−2,2] 14. ①②③④ 15.（1）对称轴为− 11 2×(−2) = 11 4 ,因为𝑛∈𝑁 ∗，将𝑛= 2, 𝑛= 3代入得………2 分 𝑆2 = 14，𝑆3 = 15 𝑆2 < 𝑆3 所以当𝑛= 3时，𝑆𝑛取得最大值15 ……………………5 分 （2）当𝑛= 1时，𝑎1 = 𝑆1 = −2 + 11 = 9； ……………………6 分 当𝑛≥2时，𝑎𝑛= 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 = (−2𝑛2 + 11𝑛) −[−2(𝑛−1)2 + 11(𝑛−1)] = −4𝑛+ 13． ……………………8 分 当𝑛= 1时，−4 + 13 = 9 = 𝑎1， ……………………9 分 所以𝑎𝑛= −4𝑛+ 13． ……………………10 分 16. （1）设点𝑀的坐标为(𝑥, 𝑦)，因为点𝐴的坐标是(−2√2, 0)，所以直线𝐴𝑀的斜率 𝑘𝐴𝑀= 𝑦 𝑥+ 2√2 (𝑥≠−2√2) 同理，直线𝐵𝑀的斜率 𝑘𝐵𝑀= 𝑦 𝑥−2√2 (𝑥≠2√2) ……………………2 分 由已知，有 𝑦 𝑥+ 2√2 × 𝑦 𝑥−2√2 = −1 2 (𝑥≠±2√2) 化简，得点𝑀的轨迹方程为 𝑥2 8 + 𝑦2 4 = 1(𝑥≠±2√2) ……………………5 分 （𝑥的范围占1 分） （2）设直线𝑙与曲线𝐶交于𝑃(𝑥1, 𝑦1)，𝑄(𝑥2, 𝑦2) 第2 页，共4 页 由题意得{ 𝑥12 8 + 𝑦12 2 = 1 𝑥22 8 + 𝑦22 2 = 1 两式相减，得 𝑥12−𝑥22 8 + 𝑦12−𝑦22 2 = 0，即 (𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2) 8 + (𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2) 2 = 0 …………7 分 所以直线𝑙的斜率𝑘= 𝑦1−𝑦2 𝑥1−𝑥2 = − 1(𝑥1+𝑥2) 2(𝑦1+𝑦2) 因为点𝑃 0(−2,1)是线段𝑃𝑄的中点，所以𝑥1 + 𝑥2 = −4，𝑦1 + 𝑦2 = 2，所以𝑘= 1. …………9 分 所以直线𝑙的方程为𝑦−1 = 𝑥+ 2，即𝑦= 𝑥+ 3 ……………………10 分 17. (1)证明：因为平面PAD ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面PAD ∩平面ABCD = AD， AB ⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，AB ⊥AD，所以AB ⊥平面𝑃𝐴𝐷， ∵PD ⊂平面𝑃𝐴𝐷，所以AB ⊥PD； ……………………4 分 (2)取𝐴𝐷的中点𝑂，因为PA = PD，所以AD ⊥OP， 因为平面PAD ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面PAD ∩平面ABCD = AD，AD ⊥OP，OP ⊂平面𝑃𝐴𝐷， ∴OP ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，∵AC = CD = √5，∴OC ⊥AD， 以𝑂为坐标原点，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为𝑥轴、𝑦轴、𝑧轴的正方向建立空间直角坐标 系， ……………………6 分 𝐴(0,1,0)、𝑃(0,0,1)、𝐶(2,0,0)、𝐷(0, −1,0)，PC ⃗⃗⃗⃗ = (2,0, −1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2, −1,0)， 设平面𝑃𝐷𝐶的法向量为𝑛 ⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧)， 由{𝑛 ⃗ ⃗ · PC ⃗⃗⃗⃗ = 0 𝑛 ⃗ ⃗ · CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ，得{ 2𝑥−𝑧= 0 −2𝑥−𝑦= 0，令𝑥= 1，得𝑛 ⃗ ⃗ = (1, −2,2)， ……………………8 分 第3 页，共4 页 因为平面𝐴𝐶𝐷的一个法向量为𝑚 ⃗ ⃗⃗ = (0,0,1)， ……………………9 分 则cos < 𝑚 ⃗ ⃗⃗ , 𝑛 ⃗ ⃗ > = 𝑛 ⃗ ⃗ ⋅𝑚 ⃗⃗⃗ |𝑛 ⃗ ⃗ |⋅|𝑚 ⃗⃗⃗ | = 2 3． ……………………11 分 因为二面角𝑃−CD −𝐴的平面角为锐角，所以二面角𝑃−CD −𝐴的余弦值为 2 3 ……………………12 分 18. 解：(1)抛物线𝐸：𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)的焦点𝐹( 𝑝 2 , 0)，准线方程为𝑥= − 𝑝 2， 因为抛物线上一点𝑆(4, 𝑦0)(𝑦0 > 0)到焦点𝐹的距离|𝑆𝐹| = 5， 由抛物线的定义得4 + 𝑝 2 = 5，所以𝑝= 2. 所以抛物线𝐸的标准方程是𝑦2 = 4𝑥； ……………………4 分 (2)将𝑥= 4代入𝑦2 = 4𝑥可得𝑦0 = 4或𝑦0 = −4(舍)， 所以点𝑆坐标为(4,4)， ……………………5 分 因为直线𝑙的斜率不等于0，设直线𝑙的方程是𝑥= 𝑚𝑦+ 𝑛，𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)， 联立{ 𝑦2 = 4𝑥 𝑥= 𝑚𝑦+ 𝑛，得𝑦2 −4𝑚𝑦−4𝑛= 0， 因为直线𝑙与𝐸有两个交点， 所以𝛥= 16𝑚2 + 16𝑛> 0，即𝑚2 + 𝑛> 0． 由韦达定理得{𝑦1 + 𝑦2 = 4𝑚 𝑦1𝑦2 = −4𝑛, ……………………7 分 因为直线𝐴𝑆，𝐵𝑆的斜率之和为2， 所以 𝑦1−4 𝑥1−4 + 𝑦2−4 𝑥2−4 = 𝑦1−4 𝑦1 2 4 −4 + 𝑦2−4 𝑦2 2 4 −4 = 4( 1 𝑦1+4 + 1 𝑦2+4) = 4(𝑦1+𝑦2+8) 𝑦1𝑦2+4(𝑦1+𝑦2)+16 = 2， ……………………9 分 所以2𝑦1𝑦2 + 4(𝑦1 + 𝑦2) = 0， 将{𝑦1 + 𝑦2 = 4𝑚 𝑦1𝑦2 = −4𝑛代入上式可得：−8𝑛+ 16𝑚= 0，即𝑛= 2𝑚，……………………11 分 第4 页，共4 页 所以直线𝑙的方程是𝑥= 𝑚𝑦+ 𝑛= 𝑚(𝑦+ 2)， 它过定点(0, −2)． ……………………12 分