太原五中2021-2022学年度第一学期阶段性检测高二数学-学生用卷

第1 页，共2 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 太原五中2021-2022 学年度第一学期阶段性检测 高二数学 命题：禹海青、郭红红； 校对：李小丽； 时间： 2021.12.02 一、单选题（本大题共10 小题，共40.0 分） 1. 在数列{𝑎𝑛}中，𝑎 1 = 1，𝑎𝑛= 1 + 1 𝑎𝑛−1 (𝑛≥2)，则𝑎 4 = ( ) ． A. 3 2 B. 5 3 C. 7 4 D. 8 5 2. 双曲线 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎> 0，𝑏> 0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( ) ． A. 𝑦= ±√2𝑥 B. 𝑦= ±√3𝑥 C. 𝑦= ± √2 2 𝑥 D. 𝑦= ± √3 2 𝑥 3. 过点𝑃(1,3)，且垂直于直线𝑥−2𝑦+ 3 = 0的直线方程为( ) A. 2𝑥+ 𝑦−1 = 0 B. 𝑥+ 2𝑦+ 7 = 0 C. 𝑥+ 2𝑦−5 = 0 D. 2𝑥+ 𝑦−5 = 0 4. 已知向量𝑎 ⃗ ⃗ = (−1,2,1), 𝑏 ⃗ = (3, 𝑥, 𝑦)，且𝑎 ⃗ ⃗ //𝑏 ⃗ ，那么| 𝑏 ⃗ | = ( ) ． A. 3√6 B. 6 C. 9 D. 18 5. 已知等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎7 + 𝑎9 = 16，𝑎4 = 1，则𝑎12的值是( ) ． A. 31 B. 30 C. 15 D. 64 6. 长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵= 𝐴𝐴 1 = 2，𝐴𝐷= 1，𝐸为𝐶𝐶 1的中点，则异面直线𝐵𝐶 1与𝐴𝐸所成角 的余弦值为( ) ． A. √10 10 B. √30 10 C. 2√15 10 D. 3√10 10 7. 设双曲线𝑚𝑥2 + 𝑛𝑦2 = 1的一个焦点与抛物线𝑦= 1 8 𝑥2的焦点相同， 离心率为2． 则抛物线的焦点到双曲 线的一条渐近线的距离为( ) ． A. 2 B. √2 C. 3 D. √3 8. 在空间四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ · 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ · 𝐷𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) ． A. −1 B. 0 C. 1 D. 不确定 9. 已知直线𝑦= 𝑘(𝑥+ 2)(𝑘> 0)与抛物线𝐶：𝑦2 = 8𝑥(𝑝> 0)相交于𝐴、𝐵两点，𝐹为𝐶的焦点．若 |𝐹𝐴| = 3|FB|，则𝑘的值为( ) ． A. √3 2 B. √2 3 C. 2 3 D. 2√2 3 10. 已知点𝑃为双曲线𝐶： 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎> 0, 𝑏> 0)右支上一点，𝐹 1，𝐹 2分别为𝐶的左、右焦点，直线𝑃𝐹 1与 𝐶的一条渐近线垂直，垂足为𝐻，若|𝑃𝐹 1| = 4|𝐻𝐹 1|，则该双曲线的离心率为( ) ． A. √15 3 B. √21 3 C. 5 3 D. 7 3 二、单空题（本大题共4 小题，共16.0 分） 11. 斜率为√3的直线过抛物线𝐶: 𝑦2 = 4𝑥的焦点，且与𝐶交于𝐴，𝐵两点，则|𝐴𝐵| = ． 12. 正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1，则点𝐵1到平面𝐴𝐶𝐷1的距离是 ． 13. 已知圆𝑂： 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1， 圆𝑀： (𝑥−𝑎)2 + (𝑦−2)2 = 2．若圆𝑀上存在点𝑃， 过点𝑃作圆𝑂的两条切线， 切点为𝐴，𝐵，使得𝑃𝐴⊥𝑃𝐵，则实数𝑎的取值范围为 ． 14. 已知椭圆𝐶: 𝑥2 8 + 𝑦2 4 = 1上有一点𝑃，𝐹 1、𝐹 2分别为其左右焦点，∠𝐹 1𝑃𝐹 2 = 𝜃，△𝐹 1𝑃𝐹 2的面积为𝑆，则下 列说法正确的有 ． ①若𝑆= 2，则满足题意的点𝑃有4个； ②若𝜃= 60∘，则𝑆= 4√3 3 ； ③𝜃的最大值为90∘ ； ④若△𝐹 1𝑃𝐹 2是钝角三角形，则𝑆的取值范围是(0,2√2) ． 三、解答题（本大题共4 小题，共44.0 分） 15. 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛= −2𝑛2 + 11𝑛． (1)求𝑆𝑛的最大值； (2)求数列{𝑎𝑛}的通项公式． 16. 设𝐴，𝐵两点的坐标分别为(−2√2, 0)，(2√2, 0).直线AM，BM相交于点𝑀，且它们的斜率之积是− 1 2，记 动点𝑀的轨迹为𝐶． (1)求𝐶的方程； (2)设以𝑃 0(−2,1)为中点的弦所在直线为𝑙，求直线𝑙的方程． 第2 页，共2 页 … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 17. 如图， 在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中， 平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷， 𝑃𝐴⊥𝑃𝐷， 𝑃𝐴= 𝑃𝐷， 𝐴𝐵⊥𝐴𝐷， 𝐴𝐵= 1， 𝐴𝐷= 2， 𝐴𝐶= 𝐶𝐷= √5． (1)证明：𝐴𝐵⊥𝑃𝐷； (2)求二面角𝑃−𝐶𝐷−𝐴的余弦值． 18. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝐸：𝑦2 = 2𝑝𝑥(𝑝> 0)上一点𝑆(4, 𝑦0)(𝑦0 > 0)到焦点𝐹的距离|𝑆𝐹| = 5. 不经过点𝑆的直线𝑙与𝐸交于𝐴，𝐵． (1)求抛物线𝐸的标准方程； (2)若直线𝐴𝑆，𝐵𝑆的斜率之和为2，证明：直线𝑙过定点．