题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通 常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练. 例1 ，所以球的表面积为： 例1-3．（全国·高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的 表面积为（ ） A． B． C． D． 正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高 上，记为O，PO=AO=R， ， =4-R， 在Rt△ 中， ，由勾股定理 得 ，∴球的表面积 1．（陕西·高考真题）已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的

题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，其外接球通 常可以直接求解，是高考的高频考点，常以小题形式考查，需强化训练. 正棱锥类型 ，所以球的表面积为： 例1-3．（全国·高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的 表面积为（ ） A． B． C． D． 正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高 上，记为O， PO=AO=R， ， =4-R， 在Rt△ 中， ， 由勾股定理 得 ，∴球的表面积 1．（陕西·高考真题）已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的

万有引力定律表达式：F＝G，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 2.万有引力定律公式适用的条件 (1)两个质点间的相互作用. (2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r 为球心到质点的距离. (3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r 为两球心间的距离. 关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( ) A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B.只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝计算 B. C. D. 答案 D 解析 两个匀质球体间的万有引力F＝G，r 是两球心间的距离，选D. (2019·江川二中高一期末)一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个 半径为r 的球形空穴，其表面与球面相切，如图3 所示.已知挖去小球的质量为m，在球心和 空穴中心连线上，距球心d＝6r 处有一质量为m2的质点，求： 图3 (1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？ 倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和 月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为 ( ) A.1∶9 B.9∶1 C.1∶10 D.10∶1 答案 C 解析 设月球质量为m，则地球质量为81m，月球球心距地球球心的距离为r，飞行器质量 为m0，当飞行器距月球球心的距离为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G＝ G，所以＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C

不正确； 对于C，当 时， ，圆锥SO 的外接球球心在直线SO 上，圆锥的底面圆是球的截面小圆，而圆锥 的高 ， 设外接球半径为R，则有 ，即 ，解得 ，其表面积为 ，C 正确； 对于D，棱长为 的正四面体 可以补形成正方体 ，如图， 则正方体棱长 ，其外接球即正四面体 的外接球直径为 ，球半径 ， 当 时， ，圆锥SO 的内切球球心在线段SO 上，圆锥的轴截面截内切球得大圆，是圆锥轴截面等 的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取球心 ，若 且 为底面中心， 为 中点，由正四面体的性质确定球心的位置且 为球的半径，根据三角形相似求 ，由球的体积公式求体积即可. 【详解】结合正四面体的性质：球心在正四面体的体高上，且为外接球的球心，如下图： 取球心 ，若 ，则 即为球的半径，而 为底面中心， ∴ 面 ，若 为 中点，则 ， ∴ ，

．先降低后升高 【答】D 【解析】当注满水时，球壳和水的重心均在球心，故它们共同的重心在球心．随着水的流出，球壳 的重心虽然仍在球心，但水的重心逐渐下降，开始一段时间内，球壳内剩余的水较多，随着 水的重心下降，球壳和水共同的重心也下降；后来一段时间内，球壳内剩余的水较少，随着 水的重心的下降，球壳和水共同的重心却升高；最后，水流完时，重心又回到球心．故球壳 和水的共同重心先降低后升高，选项D 正确． 例2、【答】D 【解析】当注满水时，球壳和水的重心均在球心，故它们共同的重心在球心．随着水的流 出，球壳的重心虽然仍在球心，但水的重心逐渐下降，开始一段时间内，球壳内剩 余的水较多，随着水的重心下降，球壳和水共同的重心也下降；后来一段时间内， 球壳内剩余的水较少，随着水的重心的下降，球壳和水共同的重心却升高；最后， 水流完时，重心又回到球心．故球壳和水的共同重心先降低后升高，选项D 正确．

B．在物体上只有重心受到重力的作用 C．一个球体的重心一定在球心处 D．一辆空载的货车装上货物后，重心会变化 答案 D 解析 重心是物体各部分所受重力的等效作用点，所以重心可以在物体上，也可以在物体外 (比如均匀圆环的重心在环心)，故A、B 错误．重心除了与几何形状有关外，还与密度分布 有关，因此一个球体的重心不一定在球心处，故C 错误．一辆空载的货车装上货物后，货 车上方的质量增加，重心会变化，故D 受到的支持力垂直于斜面向上； 题图丙中A、B 两点都是球面与平面相接触，P 受到的弹力应垂直于平面，且必过球心，所 以A 点处弹力F1方向水平向右，B 点处弹力F2方向垂直于斜面指向左上方； 题图丁中A 点属于点与球面相接触，在A 点P 受到的弹力应垂直于球面的切面斜向上，且 必过球心O；B 点属于点与面相接触，在B 点P 受到的弹力应垂直于杆向上． 它们所受弹力的示意图如图所示． 针对训练 将会( ) 图4 A．一直下降 B．一直上升 C．先升高后降低 D．先降低后升高 答案 D 解析 在注满水时，球壳和水的共同重心在球心，随着水的流出，球壳的重心不变，但是水 的重心下降，二者共同的重心在下降，当水流完时，重心又回到球心，故选项D 正确． 11．关于重力和重心的叙述，正确的是( ) A．质量为1 kg 的物体所受的重力一定等于9.8 N B．同一地点，物体的重力与物体的质量成正比

的体积为， 所以 ，解得 ， 设 外接圆的圆心为 ，三棱锥 外接球的球心为，连接 ， ， ， 则 ， ， 所以三棱锥 外接球的半径满足 ， 则三棱锥 的外接球的表面积为 ． 故答案为： ． 取 的中点，连接 ， ，过点作 ，垂足为，设 ，利用三角形的 边角关系求出 ，利用锥体的体积公式求出的值，确定三棱锥外接球的球心，求解外接 球的半径，由表面积公式求解即可． 本题考查了几何体的外 本题考查了几何体的外接球问题，棱锥的体积公式的理解与应用，解题的关键是确定外接 球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可 以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题． 17.【答案】解： 设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为， 由已知 ，得 ，而 ，则 ，解得 ． ； 由 ，得 ， 由 ，得 ， 联立以上两式解得 ，则 ． 和 的通项公式分别为

调节电磁铁的位置，使小钢球由静止释放后球心恰好能通过激光束ab。记录光电门细激光束与释放前小钢 球球心距离x. （1）若小钢球的直径为d（d 比x 小很多），则小钢球通过光电门过程的平均速度为______； （2）当地的重力加速度大小为______（用含d、t 或x 的物理量表示）； （3）在第（2）实验中，若测得重力加速度值比实际真实值大，可能的原因是______。 A．电磁铁断电后仍有磁性 B．球心没有在细激 B．球心没有在细激光束正上方，导致操作时小球的球心并没有通过细激光束 C．光电门轴线ab 不是处于水平状态 D．小球所受空气阻力偏大 三、解答题（本题共3 小题，共41 分.解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步 骤，只写出最后答案的不能得分） 14. 2022 年6 月17 日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水后，“福建舰”采用平直起飞甲板，并配备电 磁弹射系统，图为“福建舰”下水时情景。若

（2）求三角形面积 的最大值. 22. 如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图 形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两 个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意 两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球

．先降低后升高 【答】D 【解析】当注满水时，球壳和水的重心均在球心，故它们共同的重心在球心．随着水的流出，球壳 的重心虽然仍在球心，但水的重心逐渐下降，开始一段时间内，球壳内剩余的水较多，随着 水的重心下降，球壳和水共同的重心也下降；后来一段时间内，球壳内剩余的水较少，随着 水的重心的下降，球壳和水共同的重心却升高；最后，水流完时，重心又回到球心．故球壳 和水的共同重心先降低后升高，选项D 正确．