山东省德州市第一中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题（解析版）

德州一中2021-2022 学年第二学期高一月考 数学试题 本试卷满分150 分，考试时间120 分钟. 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解. 【详解】解： ， 故选：C 2. 已知向量 ， ，且 ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量 ， ，得到 ，再根据向量的数量积的运算，列 出方程，即可求解， 【详解】由题意，向量 ， ，∴ ， 又 ，可得 ，解得 ，故选D. 【点睛】 本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及向量 的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 如图，已知等腰直角三角形 ， 是一个平面图形的 直观图，斜边 ，则这个 平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直观图可确定平面图形是以 和 为直角边的直角三角形，由此可求得结果. 【详解】 ， ， ， ， 由此可知平面图形是如下图所示的 ， 其中 ， ， ， . 故选：D. 4. 在 ABC 中，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由 ，两边平方得到 ，再求得 ，联立求解. 【详解】因为在 ABC 中， ， 两边平方得； ，即 ， 所以 ， ， 即 ， 解得 ， 所以 ， 故选：D 5. 已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向左平移 个单位长度，再把得 到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，得到函数 的图象，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 的图象关于点 对称 C. 的图象关于 对称 D. 在 上的最大值是1 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数的周期和图象变换得到 ，再依次判断选项即可. 【详解】因为 ，所以 ， . 将 的图象向左平移 个单位长度，得到 ， 再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，得到 . 对选项A， ，故A 正确. 对选项B， ，所以 的图象关于点 对称，故B 正确. 对选项C， ，所以 的图象关于 对称.故C 正确. 对选项D， ， ，所以 ， 所以 ，故 在 上的最大值是 ，故D 错误. 故选：D 6. 设 、 、 为三个平面，l、m、n 为三条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ， ，则 ； B. 若l 上有两点到 的距离相等，则 ； C. 、 、 两两相交于三条直线l、m、n，若 ，则 ； D. 若 ， ， ， ，则 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与平面平行的判定定理判定A；由直线与平面的位置关系判定B；由直线与平面平行的判 定与性质判断C；由平面与平面平行的判定判断D． 【详解】解：若 ， ，则 或 ，故A 错误； 若上有两点到 的距离相等，则 或 或与 相交，故B 错误； ， ， 两两相交于三条直线， ， ，不妨设 ， ， ， 若 ，则 ，又 ， ， ，则 ，故C 正确； 若 ， ， ， ，且 与 相交，则 ，当 与 不相交时，不一定有 ，故 D 错误． 故选：C． 7. 已知 ．在 内的 值域为 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出余弦函数图象，分析值域为 时对应的定义域，由此得到关于 的不等式并 求解出结果. 【详解】因为 ，所以 ， 又因为 的值域为 ，结合余弦函数图象（如下图）： 可知 ，所以解得 ， 故选：D. 8. 小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像 一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图）， 由线段AB，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖 直高度之比为 ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设优弧BC 的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为 ，竖直高度为 ，根据题意求得 ，由切线的性质和正弦函数的定义可得 ，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果. 【详解】设优弧BC 的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示 易知“水滴”的水平宽度为 ，竖直高度为 ， 则由题意知 ，解得 ， AB 与圆弧相切于点B，则 ， ∴在 中， ， 由对称性可知， ，则 ， ∴ ， 故选：A． 二、多项选择题：本题共4 小题，共20 分.在每小题给出的四个选项中有多个选项符合题目要 求.全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数值即可求解. 【详解】 ； . 故选：AC. 10. 已知向量 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，则（ ） A. B. C. 在 上的投影向量为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先求出 ， ，再根据向量数量积、模及夹角的坐标表示一一计算可得； 【详解】解：因为 ， ，所以 ， ， 所以 ， ，故A 错误； ，所以 ，故B 正确； ， 所以 ，因为 ，所以 ，故D 正确； 又 ，故 在 上的投影向量为 ，故C 错误； 故选：BD 11. 在 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 ， ，则下 列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. C. 周长为 D. 的外接圆面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理可得三边，然后利用余弦定理，正弦定理逐项判断即得. 【详解】因为 ， 所以 ，又 ， ∴ ， ∴ ，故 ， ， 所以B 为锐角，故 为锐角三角形，故A 错误； 由 ， ，可得 ，故B 正确； 由上可知 周长为 ，故C 正确； 由正弦定理可得 的外接圆直径为 ，即 ， 的外接圆面积为 ，故D 错误. 故选：BC. 12. 在圆锥SO 中，C 是母线SA 上靠近点S 的三等分点， ，底面圆的半径为r，圆锥SO 的侧面积为 3π，则（ ） A. 当 时，从点A 到点C 绕圆锥侧面一周的最小长度为 B. 当 时，过顶点S 和两母线的截面三角形的最大面积为 C. 当 时，圆锥SO 的外接球表面积为 D. 当 时，棱长为 的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆锥母线l 与底面圆半径r 的关系，利用圆锥侧面展开图判断A；求出圆锥轴截面顶角的大小， 计算判断B；求出圆锥外接球半径判断C；求出圆锥内切球半径，棱长为 的正四面体外接球半径判断 D 作答. 【详解】依题意， ， 对于A，当 时， ， ，圆锥的侧面展开图，如图， 侧面展开图扇形弧长即为圆锥的底面圆周长 ，则 ，在 中，由余弦定理得： ，即 ，A 正确； 对于B，当 时，有 ，令圆锥SO 的轴截面等腰三角形顶角为 ， ， 为钝角，令P，Q 是圆锥SO 的 底面圆周上任意的不同两点，则 ， 则有 的面积 ，当且仅当 时取“=”，B 不正确； 对于C，当 时， ，圆锥SO 的外接球球心在直线SO 上，圆锥的底面圆是球的截面小圆，而圆锥 的高 ， 设外接球半径为R，则有 ，即 ，解得 ，其表面积为 ，C 正确； 对于D，棱长为 的正四面体 可以补形成正方体 ，如图， 则正方体棱长 ，其外接球即正四面体 的外接球直径为 ，球半径 ， 当 时， ，圆锥SO 的内切球球心在线段SO 上，圆锥的轴截面截内切球得大圆，是圆锥轴截面等 腰三角形内切圆， 设其半径为 ，由三角形面积得： ，解得 ， ， 因此，半径为 的球在圆锥SO 内可以任意转动， 而棱长为 的正四面体的外接球的半径为 ， 故棱长为 的正四面体在半径为 的球内可以任意转动， 所以当 时，棱长为 的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动，D 正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 第II 卷（非选择题） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 设 （是虚数单位， ， ），则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】复数相等即可求出 值和 值，表达出 即可求出模长. 【详解】因为 ，所以 ，即 ， ，所以 ，所以 ， 故答案为： . 14. 已知 为单位向量，若 ，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】先由 求得 ，再求得 即可求解. 【详解】由 可得 ，则 ， 又 ，则 . 故答案为： . 15. 在 中，若 ，则角 的最大值为__________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，再结合余弦定理以及基本不等式求得 ，即可求得答案. 【详解】由 根据正弦定理，得 ， 由余弦定理，得 ， 当且仅当 时取等号， 因为 在 上单调递减， 所以 的最大值为 ， 故答案为： 16. 边长为2 的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取球心 ，若 且 为底面中心， 为 中点，由正四面体的性质确定球心的位置且 为球的半径，根据三角形相似求 ，由球的体积公式求体积即可. 【详解】结合正四面体的性质：球心在正四面体的体高上，且为外接球的球心，如下图： 取球心 ，若 ，则 即为球的半径，而 为底面中心， ∴ 面 ，若 为 中点，则 ， ∴ ， ， ， 由 ，则 ，故 ， ∴球的体积为 . 故答案为： 四、解答题：共6 小题，总分70 分. 17. 已知 ，i 为虚数单位，复数 ． （1）若 ，求m 的值； （2）若复数z 对应的点在第二象限，求m 的取值范围． 【答案】（1）-3 或1 （2） 【解析】 【分析】（1）列出方程，求出m 的值；（2）根据复数对应的点所在象限列出不等式组，求出m 的取值范 围. 【小问1 详解】 由题意得： ，解得： 或1， 经检验，均满足题意，故m 的值为-3 或1 【小问2 详解】 由题意得： ， 解得： 或 故m 的取值范围是 18. 已知平面内的三个向量 ， ， . （1）若 ，求 的值； （2）若向量 与向量 共线，求实数k 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用向量的线性运算以及平面向量基本定理列方程组可解得; (2)根据共线向量定理列式可解得. 【详解】解析（1）∵ ， ， ∴ ，又 ，所以 ， 解得 ，∴ . （2） ， ，∵ 与 共线， ∴ ，解得 . 【点睛】本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,属于基础题. 19. 如图，在底面半径为2，母线长为4 的圆锥中，挖去一个高为 的内接圆柱. （1）求圆柱的体积； （2）求挖去圆柱后剩余部分的表面积. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】（1）由题设求得圆锥体高为 ，进而确定圆柱底面半径，应用柱体的体积公式求体积. （2）由挖去圆柱后的表面积是圆锥表面积加上圆柱的侧面积，应用圆锥、圆柱表面积公式求表面积. 【小问1 详解】 由题设，圆锥体高为 ，而圆柱的高为 ， 所以圆柱底面半径 ，故圆柱体体积为 . 【小问2 详解】 由题意，圆锥表面积为 ，圆柱侧面积为 ， 挖去圆柱后的表面积是圆锥表面积加上圆柱的侧面积， 所以剩余部分的表面积为 . 20. 在 中， ． （1）求 ； （2）再从条件①､条件②､条件③这三组条件中选择一组作为已知，使 存在且唯一确定，求 的 长． 条件①： ； 条件②： ； 条件③： 的面积为 ． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件②， 的长为 . 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和、诱导公式、二倍角的余弦公式对原始进行化简即可求解. （2）对三个条件逐项分析，利用正弦定理、余弦定理求解边 的长度，注意题干中 有唯一解，条件 ①无解，条件③有多个解，只有用条件②， 有唯一解. 【小问1 详解】 解：因为 ，则 ， 故 ，又 . 所以： . 【小问2 详解】 解：选条件①： ，即 ， 由余弦定理得 ，即 ， 整理得 ， ， 故 无解. 选条件②： ，即 ， 则 ，由正弦定理得 ，即 ，解得 ， 所以 ，解得： ，则 . 又 ， 由正弦定理得 ，解得 . 条件③： 的面积为 ， 因为 ,且 ，故 或 . 故对于条件③， 有2 种可能，只要经过缩放就能使 的面积为 ，故 不唯一. 综上，选条件②， 的长为 . 21. 如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，G 为FC 的中点，平面ABFE∩平面 CDEF=EF （1）证明:AF//平面BDG （2）证明:AB//EF 【答案】（1）证明见解析. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O,连接OG.利用三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可证 明AF//平面BDG； （2）利用线面平行的性质定理即可证明出AB//EF. 【小问1 详解】 连接AC 交BD 于O,连接OG. 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC、BD 互相平分. 又G 为FC 的中点，所以OG 为三角形ACF 的中位线，所以 . 因为 面 , 面 ,所以AF//平面BDG. 【小问2 详解】 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB//CD. 因为 面 , 面 ,所以AB//平面 . 因为 面 ,面 面 =EF. 所以AB//EF. 22. 某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB＝50 米， ，为了便于居民平时休闲散步，该 小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE，EF 和OF，考虑到小区整体规划，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且 ,如图所示. （Ⅰ）设 ，试将 的周长l 表示成 的函数关系式，并求出此函数的定义域； （Ⅱ）经核算，三条路每米铺设费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总 费用． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据三角函数定义及勾股定理，即可表示出EF 长度，进而用α 表示出周长．根据点E、 F 的极限位置，判断出角的大小范围得到定义域． （Ⅱ）利用三角函数换元 ，将周长转化为关于t 的函数，结合角α 的范围求得t 的范围， 进而得到l 的范围，即为费用最低时的长度． 【详解】（Ⅰ）∵在 中， ,∴ 在 中， ，∴ 又 ， ∴ 即 . 当点F 在点D 时，这时角 最小，求得此时 ； 点E 在C 点时，这时角 最大，求得此时 .故此函数的定义域为 （Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求 的周长l 最小值即可. 由（Ⅰ）得， ， 设 ，则 ，∴ 由 ，得 ，∴ ， 从而 ，当 ，即BE＝25 时， 所以当 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 元 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值及在实际问题中的简单应用，属于基础题．