1 托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和． 翻译：在四边形BD 中，若、B、、D 四点共圆，则 ． D C B A 证明：在线段BD 上取点E，使得∠BE=∠D， 易证△EB∽△D，∴ ，即 ， α α D C B A E E A B C D 当∠BE=∠D 时，可得：∠B=∠ED， 易证△B∽△ED，∴ 易证△B∽△ED，∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． 2（托勒密不等式）：对于任意凸四边形BD，有 模型介绍 A B C D 证明：如图1，在平面中取点E 使得∠BE=∠D，∠BE=∠D， 易证△BE∽△D，∴ ，即 ①， 图1 图2 A B C D E E D C B A 连接DE，如图2， ∵ ，∴ ， 又∠B=∠BE+∠E=∠D+∠E=∠DE， ∴△B∽△ED，∴ ∴△B∽△ED，∴ ，即 ②， 将①+②得： ， ∴ 即 ，当且仅当、B、、D 共圆时取到等号． 3 托勒密定理在中考题中的应用 （1）当△B 是等边三角形时， 如图1，当点D 在弧上时，根据托勒密定理有： ， 又等边△B 有B==B， 故有结论： ． 图1 O A B C D 证明：在BD 上取点E 使得DE=D， 易证△EB∽△D，△ED∽△B，利用对应边成比例，可得： ． E

1 托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和． 翻译：在四边形BD 中，若、B、、D 四点共圆，则 ． D C B A 证明：在线段BD 上取点E，使得∠BE=∠D， 易证△EB∽△D，∴ ，即 ， α α D C B A E E A B C D 当∠BE=∠D 时，可得：∠B=∠ED， 易证△B∽△ED，∴ 易证△B∽△ED，∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． 2（托勒密不等式）：对于任意凸四边形BD，有 模型介绍 A B C D 证明：如图1，在平面中取点E 使得∠BE=∠D，∠BE=∠D， 易证△BE∽△D，∴ ，即 ①， 图1 图2 A B C D E E D C B A 连接DE，如图2， ∵ ，∴ ， 又∠B=∠BE+∠E=∠D+∠E=∠DE， ∴△B∽△ED，∴ ∴△B∽△ED，∴ ，即 ②， 将①+②得： ， ∴ 即 ，当且仅当、B、、D 共圆时取到等号． 3 托勒密定理在中考题中的应用 （1）当△B 是等边三角形时， 如图1，当点D 在弧上时，根据托勒密定理有： ， 又等边△B 有B==B， 故有结论： ． 图1 O A B C D 证明：在BD 上取点E 使得DE=D， 易证△EB∽△D，△ED∽△B，利用对应边成比例，可得： ． E

1 托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和． 翻译：在四边形BD 中，若、B、、D 四点共圆，则 ． D C B A 证明：在线段BD 上取点E，使得∠BE=∠D， 易证△EB∽△D，∴ ，即 ， α α D C B A E E A B C D 当∠BE=∠D 时，可得：∠B=∠ED， 易证△B∽△ED，∴ 易证△B∽△ED，∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． 2（托勒密不等式）：对于任意凸四边形BD，有 模型介绍 A B C D 证明：如图1，在平面中取点E 使得∠BE=∠D，∠BE=∠D， 易证△BE∽△D，∴ ，即 ①， 图1 图2 A B C D E E D C B A 连接DE，如图2， ∵ ，∴ ， 又∠B=∠BE+∠E=∠D+∠E=∠DE， ∴△B∽△ED，∴ ∴△B∽△ED，∴ ，即 ②， 将①+②得： ， ∴ 即 ，当且仅当、B、、D 共圆时取到等号． 3 托勒密定理在中考题中的应用 （1）当△B 是等边三角形时， 如图1，当点D 在弧上时，根据托勒密定理有： ， 又等边△B 有B==B， 故有结论： ． 图1 O A B C D 证明：在BD 上取点E 使得DE=D， 易证△EB∽△D，△ED∽△B，利用对应边成比例，可得： ． E

1 托勒密定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和． 翻译：在四边形BD 中，若、B、、D 四点共圆，则 ． D C B A 证明：在线段BD 上取点E，使得∠BE=∠D， 易证△EB∽△D，∴ ，即 ， α α D C B A E E A B C D 当∠BE=∠D 时，可得：∠B=∠ED， 易证△B∽△ED，∴ 易证△B∽△ED，∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． 2（托勒密不等式）：对于任意凸四边形BD，有 模型介绍 A B C D 证明：如图1，在平面中取点E 使得∠BE=∠D，∠BE=∠D， 易证△BE∽△D，∴ ，即 ①， 图1 图2 A B C D E E D C B A 连接DE，如图2， ∵ ，∴ ， 又∠B=∠BE+∠E=∠D+∠E=∠DE， ∴△B∽△ED，∴ ∴△B∽△ED，∴ ，即 ②， 将①+②得： ， ∴ 即 ，当且仅当、B、、D 共圆时取到等号． 3 托勒密定理在中考题中的应用 （1）当△B 是等边三角形时， 如图1，当点D 在弧上时，根据托勒密定理有： ， 又等边△B 有B==B， 故有结论： ． 图1 O A B C D 证明：在BD 上取点E 使得DE=D， 易证△EB∽△D，△ED∽△B，利用对应边成比例，可得： ． E

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理 以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steer）或者法国数学家普朗克雷 （Pelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1 相交弦模型 条件：在圆中，弦B 与弦D 交于点E，点E 模型5 托勒密定理模型 条件：如图，B、D 是圆的两条弦； 结论： 例1．（2023·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptlemy）（公元90 年～公元168 年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒 密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理． 托勒密定理：圆内 (1)阅读理解：①如图，在 所在平面上存在一点P，若它到 三个顶点的距离之和最小，则称点P 为 的费马点，此时 的值为 的费马距离． ②如图B，若四边形 的四个顶点在同一个圆上，则有 ，此为托勒密定理． 知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图，已知点P 为等边 外接圆的 上任意一点． 求证： ；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻 （其中 均小于 ）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图D，在

一、非连续性文本阅读 阅读下面的文字，完成下面小题。 材料一： 托勒密体系认为，地球是宇宙的中心，天球分若干层，最近的是月球，向外是水 星、金星、太阳、火星、木星、土星，再外是恒星天，恒星天外还有一层天，是“九 重天”。张衡提出的日月五星的排列顺序和托勒密《至大论》中的顺序一致，关于 “近天则迟，远天则速”的观点也与托勒密的一致，但是张衡的关于宇宙无穷的思想， 要比古希腊的层层叠套的水晶球体系先进得多。 进步的，有的可以和托勒密的思想相媲美，有的甚至超过了托勒密，从这一点来看， 张衡的《灵宪》及其《浑天仪图注》所阐述的天文学思想，的确代表了当时世界天文 学的最高水平。张衡著作中的天文学内容吸收了古代文化的精髓，杂糅各家学说综合 而成，是东汉时期天文学的代表性成果。但是浑天说理论在后来没有得到进一步的发 展，没有和传统数理天文学理论建立起联系，没有被进一步“数学化”。 托勒密的《至大论》提出 托勒密的《至大论》提出了地心说的宇宙论，托勒密利用了大量古代测量数据和 当时比较先进的数学和天文学，进一步发展了这个理论，对这个理论进行了数量化。 关于上述张衡的许多天文学思想，托勒密都建立了各自的数理模型，具有现代意义下 的天文学含义。 张衡是一位承前启后的重要人物，中国古代的数理天文学在他的思想基础上得到 发展。例如，九道术理论是历代探讨月球运动所必然面对的课题，在张衡之后的很长 时间内，它主要用于解决

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理 以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steer）或者法国数学家普朗克雷 （Pelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1 相交弦模型 条件：在圆中，弦B 与弦D 交于点E，点E 模型5 托勒密定理模型 条件：如图，B、D 是圆的两条弦； 结论： 例1．（2023·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptlemy）（公元90 年～公元168 年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒 密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理． 托勒密定理：圆内 ，点D 为 的中点， 求 的长． 【答】（1）同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形相似；（2） 【分析】（1）根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题． （2）首先证明 ，由托勒密定理，构建方程求出 即可． 【详解】解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等． “依据2”是两角对应相等的两个三角形相似． 故答为：同弧所对的圆周角相等；两角对应相等的两个三角形相似．

年，马其顿国王亚历山大率军东征，灭亡了波斯帝国，征服了从小亚细亚到印 度河流域的地区。 2. 前323 年，亚历山大去世，帝国逐渐分裂为托勒密埃及、塞琉古王国和马其顿王国3 个主要国家。这些区域被统称为“希腊化世界”。 3. 希腊化时代，指从亚历山大远征到前30 年罗马最终征服托勒密埃及之间的大约300 年 的时期。 4. 希腊化的表现： (1)亚历山大试图以希腊文化(欧洲文化起源)为主导，融合埃及文化(非洲)和西亚文化(主 (2)希腊人和马其顿人逐渐融合。他们基本垄断了高级官职，成为希腊化各国的统治阶级。 4. 希腊化的影响：促进了希腊文化的研究与传播。 (1)文化中心逐渐东移，亚历山大城、安条克和帕加马等成为新的中心。 (2)托勒密王朝时期，亚历山大城的缪斯宫收藏了大量的文化典籍。 (3)被征服地区的本土文化与希腊文化的碰撞与交流，促进了文学、科学的发展。表现： a. 卡利马库斯等人整理和研究了《荷马史诗》和古典希腊的悲剧、史学、地理学作品。

大古墓稀世珍宝之一，排除C 项；伊斯坦布尔古城是东罗马、奥斯曼两大帝国的首都，排除D 项。故选B 项。 13. 托勒密埃及（公元前305—前30 年）重视市区市政和文化建设，修建有许多公共花园、剧场、神庙、 图书馆、博物馆等建筑，亚历山大里亚城博学园中的 缪斯神庙被公认为是人类历史上最早的博物馆。这主 要反映了托勒密埃及（ ） A. 注重文化的传承与保护 B. 生活方式深受希腊的影响 C. 文化建设成就领先世界 推动希腊文化中心的西移 【答案】A 【解析】 【详解】根据材料并结合所学可知，托勒密埃及为亚历山大的部下建立，十分注重对希腊文化的传承与保 护，市区市政和文化建设均彰显了希腊特色，A 项正确；材料反映的不仅仅是生活方式深受希腊的影响， 而是托勒密埃及注重文化的传承与保护，排除B 项；材料无法体现托勒密埃及文化建设成就领先世界，排 除C 项；在“希腊化时代”，希腊文化中心逐渐东移，不是西移，排除D

认为行 星公转轨道应该是椭圆，然后通过数学推理，发现了行星运动三大定律，揭示了行星运动的 规律．观测记录行星公转的大量数据以及发现行星运动三大定律的科学家分别是（ ） A．托勒密、第谷 B．第谷、开普勒 C．哥白尼、托勒密 D．哥白尼、开普勒 2．人造地球卫星的轨道可近似为圆轨道,下列说法正确的是（ ） A.周期是24 小时的卫星都是地球同步卫星 B.地球同步卫星的角速度大小比地球自转的角速度小