题型07 3 类导数综合问题解题技巧 （端点效应（必要性探索）、函数的凹凸性、洛必达法则） 技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧 知识迁移 端点效应的类型 1.如果函数 在区间 上, 恒成立,则 或 . 技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧 技法02 函数凹凸性解题技巧 技法03 洛必达法则解题技巧 导数压轴中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题 ，所以当 时， 成立； ③当 即 时， ，又由②可知 时， 成立，所以 时， 恒成立， 所以 时，满足题意. 综上， . 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究； 方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚 ， 故 即 对任意的 恒成立. 所以对任意的 ，有 ， 整理得到： ， 故 ， 故不等式成立. 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处 导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 技法02 函数凹凸性解题技巧 函数凹凸性是函数的一种特殊特征,近年来,以函数凹凸性为背景的题目屡见不鲜

题型07 3 类导数综合问题解题技巧 （端点效应（必要性探索）、函数的凹凸性、洛必达法则） 技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧 知识迁移 端点效应的类型 1.如果函数 在区间 上, 恒成立,则 或 . 技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧 技法02 函数凹凸性解题技巧 技法03 洛必达法则解题技巧 导数压轴中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题

题型09 8 类导数大题综合 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、 极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 技法05 技法05 利用导数研究方程的根 技法06 利用导数研究双变量问题 技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作 用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中 等，是高考中的常考考点，需强加练习 （2）设函数 ．证明: ． 同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 令 ，再令 ，则 ， ， 令 ， ， 当 时， ， 单减，故 ； 当 时， ， 单增，故 ； 综上所述， 在 恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令 ，因为 ，所以 在区间 内是增函数，在区间 内是减 函数，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）．故当 且 时， 且 ， ，即 ，所以 ． （ⅰ）当 时， ，所以 ，即

8 类导数大题综合 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、 极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； （2）设函数 ．证明: ． 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 利用导数研究函数的零点问题 技法05 利用导数研究方程的根 技法06 利用导数研究双变量问题 技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作 用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中 等，是高考中的常考考点，需强加练习 （1） 同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 令 ，再令 ，则 ， ， 令 ， ， 当 时， ， 单减，故 ； 当 时， ， 单增，故 ； 综上所述， 在 恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令 ，因为 ，所以 在区间 内是增函数，在区间 内是减 函数，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）．故当 且 时， 且 ， ，即 ，所以 ． （ⅰ）当 时， ，所以 ，即

题型27 5 类概率统计大题综合解题技巧 （分布列与数字特征、二项分布、超几何及正态分布、统计案例综合、 概率与数列、概率与导数综合） 技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧 知识迁移 1．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值xi(i＝1,2，…，n) 的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 分布列与数字特征应用及解题技巧 技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧 技法03 统计案例综合的应用及解题技巧 技法04 概率与数列的应用及解题技巧 技法05 概率与导数的应用及解题技巧 分布列与数字特征是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习. 的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b (1)求该同学开学第2 天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第 天选择米饭套餐的概率为 ， （i）证明： 为等比数列； （ii）证明：当 时， . 技法05 概率与导数的应用及解题技巧 概率与导数的综合是新高考卷的新命题内容，难度中等偏难，常在大题中考查，需重点复习. 所以 的最大值是 ． 1．（2024·全国·校联考模拟预测）公元1651 年，一个问题引发了数学家德梅赫、帕斯卡、费马和惠更斯

题型27 5 类概率统计大题综合解题技巧 （分布列与数字特征、二项分布、超几何及正态分布、统计案例综合、 概率与数列、概率与导数综合） 技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧 知识迁移 1．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值xi(i＝1,2，…，n) 的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 分布列与数字特征应用及解题技巧 技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧 技法03 统计案例综合的应用及解题技巧 技法04 概率与数列的应用及解题技巧 技法05 概率与导数的应用及解题技巧 分布列与数字特征是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习. 的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b （ii）由（i）可得 ， 当 为大于1 的奇数时， ； 当 为正偶数时， . 技法05 概率与导数的应用及解题技巧 例5．（2024·全国·模拟预测）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立．发送0 时，收到1 的概率 为 ，收到0 的概率为 ；发送1 时，收到0 的概率为 ，收到1 的概率为 ．考 概率与导数的综合是新高考卷的新命题内容，难度中等偏难，常在大题中考查，需重点复习. 虑两种传输

满分 知识板块 考查知识点 考查能力 难度值 1 5 一元函数的导数及其应用 导函数的计算 运算求解能力 0.9 2 5 计数原理 两个计数原理 运算求解能力 0.8 3 5 一元函数的导数及其应用 导数的概念 概念理解能力 0.7 4 5 计数原理 二项式系数的性质 运算求解能力 0.8 5 5 一元函数的导数及其应用 导数在函数性质的应用 应用能力 0.7 6 5 计数原理和条件概率 7 5 一元函数的导数及其应用 导数在函数图像的应用 应用能力 0.6 8 5 计数原理 排列与组合综合应用 综合应用能力 0.5 小计 40 9 5 一元函数的导数及其应用 函数极值的概念 概念理解能力 0.8 10 5 计数原理 排列组合 运算求解能力 0.7 11 5 计数原理 二项式定理的整除问题 运算求解能力 0.55 12 5 一元函数的导数及其应用 导数的综合应用 综合应用能力 13 5 一元函数的导数及其应用 导数概念的理解 概念理解能力 0.8 14 5 计数原理 排列组合基本应用 基本应用能力 0.7 15 5 计数原理 排列组合综合应用 运算求解能力 0.6 16 5 一元函数的导数及其应用 导数的综合应用 综合应用能力 0.5 小计 20 17 10 计数原理 排列组合在组数中的应用 运算求解能力 0.8 18 12 一元函数的导数及其应用 函数的切线方程

评分标准 1 单选题 5 导数概念 概念题 易 改编 客观题 2 单选题 5 排数 排数问题 易 改编 客观题 3 单选题 5 导数的几何意义 概念题 易 习题改编 客观题 4 单选题 5 数列 概念题 易 习题改编 客观题 5 单选题 5 排列组合 定序问题 中 改编 客观题 6 单选题 5 二项式系数 赋值 中 改编 客观题 7 单选题 5 导数的最值 导数应用 中 改编 客观题 8 8 单选题 5 导数的单调性 导数的综合 难 改编 客观题 9 多选题 5 圆锥曲线定义 概念题 易 移用 客观题 10 多选题 5 杨辉三角 二项式系数应用 易 改编 客观题 11 多选题 5 数列 定义概念题 中 自创 客观题 12 多选题 5 导数 导数的综合应用 难 改编 客观题 13 填空题 5 导数 计算 易 改编 14 填空题 5 抛物线 基本运算 中 改编 15 填空题 改编 16 填空题 5 导数 综合运用知识的 能力 难 改编 17 解答题 10 导数的简单应用 极值与最值 易 改编 18 解答题 12 组合概率 组合概率应用 易 改编 19 解答题 12 数列的综合 定义，裂项 中 移用 20 解答题 12 二项式应用 系数问题 中 改编 21 解答题 12 圆锥曲线的综合 计算能力 中 改编 22 解答题 12 导数的综合 极值点偏移 难 移用

评分标准 1 单选题 5 导数概念 概念题 易 改编 客观题 2 单选题 5 排数 排数问题 易 改编 客观题 3 单选题 5 导数的几何意义 概念题 易 习题改编 客观题 4 单选题 5 数列 概念题 易 习题改编 客观题 5 单选题 5 排列组合 定序问题 中 改编 客观题 6 单选题 5 二项式系数 赋值 中 改编 客观题 7 单选题 5 导数的最值 导数应用 中 改编 客观题 8 8 单选题 5 导数的单调性 导数的综合 难 改编 客观题 9 多选题 5 圆锥曲线定义 概念题 易 移用 客观题 10 多选题 5 杨辉三角 二项式系数应用 易 改编 客观题 11 多选题 5 数列 定义概念题 中 自创 客观题 12 多选题 5 导数 导数的综合应用 难 改编 客观题 13 填空题 5 导数 计算 易 改编 14 填空题 5 抛物线 基本运算 中 改编 15 填空题 改编 16 填空题 5 导数 综合运用知识的 能力 难 改编 17 解答题 10 导数的简单应用 极值与最值 易 改编 18 解答题 12 组合概率 组合概率应用 易 改编 19 解答题 12 数列的综合 定义，裂项 中 移用 20 解答题 12 二项式应用 系数问题 中 改编 21 解答题 12 圆锥曲线的综合 计算能力 中 改编 22 解答题 12 导数的综合 极值点偏移 难 移用

______． 15．已知函数 ，则 ______． 16．函数 （ ）在 处有极值，则曲线 在原点处的切线 方程是__________． 三、解答题：本题6 小题，共70 分。 17．求下列函数的导数： （1） ； （2） ． 18．设函数 ，已知 ，且曲线 在点 处的切线与直线 垂直. （1）判断函数 在区间 上的单调性； （2）若不等式 在 上恒成立，求m 的取值范围. 19．已知函数 根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果. 由 ，即 因为 ，所以 则 ，所以 故选：C 本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题. 4．A 根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断． 解：① ，故错误；② ，故正确； ③ ，故错误；④ ，故错误. 所以求导运算正确的个数为1. 故选：A. 5．B ，故选 . 6．B 根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可 数即可. . 故选：B. 7．C 根据导数的几何意义，先求出函数在 的导数值f′（0）＝1，即是该点处切线的斜率， 利用点斜式即可得出切线方程. ∵f（x）＝x2+x+1， ∴f′（x）＝2x+1， ∴根据导数的几何意义可得曲线f（x）＝x2+x+1 在（0，1）处的切线的斜率为f′（0）＝1 ∴曲线f（x）＝x2+x+1 在（0，1）处的切线方程为y 1 ﹣＝f′（0）（x 0