兼顾难不妨忽略个别 南京 陈一平 在我多功能室里正进行着一周一次的常规性研活动，一位刚参加工作不久的青年师在组织 中班学习歌曲《小茶壶》。室的屏幕上展现出她精心制作的电脑课件的画面：各式“小茶 壶”，高的、矮的、胖的、瘦的，在电脑课件画面的感染下，专注地欣赏着歌曲。接下来 青年师安排的环节是让用动作来表现姿态各异的“小茶壶”。开始，她让个别表演，想好 动作的分别上台表演，小朋友们积极踊跃。当老师说“现在每个小朋友都来扮一个小茶壶

在德国有一个造纸工人在生产纸时，不小心弄错了配方，生产出了一批不能书写的废纸， 因而他被老板解雇，正在他灰心丧气愁眉不展时，他的一位朋友劝他，任何事情都有两面 性，你不妨换一种思路看看，也许从错误中找到有用的东西来。 于是他发现这批纸的薪水性能相当好，可以吸干家庭器具上的水分，接着他把纸切成小块， 取名吸水纸，拿到市场上去卖，竟然十分畅销，后来他申请了专利，独家生产，吸水纸发 了大财，

由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ， ①令 ， 则 ， 当 时， ， 在区间 内为减函数， ， 从而 ，所以 ， 由（1）得 即 ．① 令 ，则 ， 当 时， ， 在区间 内为增函数， ， 从而 ，所以 ． 又由 ，可得 ， 所以 ．② 由①②得 ． [方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ． 令 ．则上式变为 ， 于是命题转换为证明： ． 令 ，则有 ，不妨设 ． [方法三]：比值代换 证明 同证法2．以下证明 ． 不妨设 ，则 ， 由 得 ， ， 要证 ，只需证 ，两边取对数得 ， 即 ， 即证 ． 记 ，则 . 记 ，则 ， 所以， 在区间 内单调递减． ，则 ， 所以 在区间 内单调递减． 由 得 ，所以 ， 即 ． [方法四]：构造函数法 由已知得 ，令 ， 不妨设 ，所以 ． 由（Ⅰ）知， ，只需证 ． 证明 同证法2． 想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习 (1)若 ，求a 的取值范围； (2)证明：若 有两个零点 ，则 ． （2）[方法一]：构造函数 由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证 ,即证 因为 ,即证 又因为 ,故只需证 即证 即证 下面证明 时， 设 ， 则 设 所以 ,而 所以 ,所以 所以 在 单调递增 即 ,所以 令 所以 在 单调递减

(- 4,0). ∈ ……12 分 22．（1） ……4 分 （2）设 ，不妨设 ， 因为 ，所以 中元素个数大于等于7 个，……6 分 又 ， ，此时 中元素个数大于等于7 个， 所以生成集B 中元素个数的最小值为7. ……8 分 （3）不存在，理由如下： 假设存在4 个正实数构成的集合 ，使其生成集 ， 不妨设 ，则集合A 的生成集 则必有 ，其4 个正实数的乘积 ； 也有 ，其4

例如 ，可得 ；故A 错误； 对于选项B：不妨设 ， 可知 的中位数等于 的中位数均为 ，故B 正确； 对于选项C：因为 是最小值， 是最大值， 则 的波动性不大于 的波动性，即 的标准差不大于 的标准 差， 7/27 例如： ，则平均数 ，标准差 ， ，则平均数 ， 8/27 标准差 ， 显然 ，即 ；故C 错误； 对于选项D：不妨设 ， 则 ，当且仅当 时，等号成立，故D 因为 ， 10/27 对于A，令 ， ，故 正确. 对于B，令 ， ，则 ，故B 正确. 对于C，令 ， ，则 ， 令 ， 又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确， 对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误. 方法二： 因为 ， 对于A，令 ， ，故 正确. 对于B，令 ， ，则 ，故B 正确. 对于C，令 ， ，则 ， 令 ， 又函数 的定义域为 设矩形周长为 ,由对称性不妨设 ， ， 则 . ，易知 24/27 则令 , 令 ，解得 ， 当 时， ，此时 单调递减， 当 ， ，此时 单调递增， 则 ， 故 ,即 . 当 时, ,且 ，即 时等号成立，矛盾，故 , 得证.法二：不妨设 在 上，且 ， 依题意可设 ，易知直线 ， 的斜率均存在且不为0， 则设 , 的斜率分别为 和 ，由对称性，不妨设 ， 24/27

，由 知 在区间 内单调递减，从而 在 内单调递增，在区间 内单调递减． 所以 ，而 ，所以 恒成立，原命题得证． ［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式 ，结合 与 的图像，可知 有唯一实数解，不妨设 ，则 ．易知 在区间 内是减函数，在区间 内是增函数．所以 ． 由 ，得 ． ． 当且仅当 ，即 时， ，所以 ． ［方法五］：异构 要证明 ，即证 ， 即证明 ，再证明 即可． [方法二]：同构处理 由 得： 令 ，则 即 令 ，则 故 在区间 上是增函数 故 ，即 所以 的取值范围为 （2）[方法一]：构造函数 由题知, 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证 ,即证 因为 ,即证 又因为 ,故只需证 即证 即证 下面证明 时， 设 ， 则 设 所以 ,而 所以 ,所以 所以 在 单调递增 即 ,所以 令 所以 在 单调递减 . [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，故 只有1 个解 又因为 有两个零点 ，故 两边取对数得： ，即 又因为 ，故 ，即 下证 因为 不妨设 ，则只需证 构造 ，则 故 在 上单调递减 故 ，即 得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数

【详解】如图，底面 为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设 ， 分别取 的中点 ，连接 ， 则 ，且 ， 平面 ， 可知 平面 ，且 平面 ， 所以平面 平面 ， 过 作 的垂线，垂足为 ，即 ， 由平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 由题意可得： ，则 ，即 ， 则 ，可得 ， 4/20 所以四棱锥的高为 . 当相对的棱长相等时，不妨设 ， ，因为 ，此时不能 形成三角形 ，与题意不符，这样情况不存在 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ） A. B. 5/20 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可. 【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ， 对于选项AB：可得 ，即 ， 根据函数 是增函数，所以 ，故A 正确，B 错误； 对于选项C：例如 ，则 ， 可得 ，即 ，故C 错误； 对于选项D：例如 的奇偶性保持不 变，从而 和 都是偶数. 下面证明不存在 使得 . 18/20 假设存在，根据对称性，不妨设 ， ，即 . 情况1：若 ，则由 和 都 是偶数，知 . 对该数列连续作四次变换 后，新的 19/20 相比原来的 减少 ，这与 的最小性矛盾； 情况2：若 ，不妨设 . 情况2-1：如果 ，则对该数列连续作两次变换 后，新的 相比原来的 至少减少 ，这与 的最小性矛盾；

单调递增．又当 时 ，所以 不存在两个零点． 若 ，则 ，故当 时， ；当 时， ．因此 在 单调递减，在 单调递增．又当 时， ，所以 不存在两个零点． 综上， 的取值范围为 ． （Ⅱ）不妨设 ，由（Ⅰ）知 ， ， 在 单调递减，所以 等价于 ，即 ． 由于 ，而 ，所以 ． 设 ，则 ． 所以当 时， ，而 ，故当 时， ． 从而 ，故 ． 【考点】导数及其应用 【名 由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ， ①令 ， 则 ， 当 时， ， 在区间 内为减函数， ， 从而 ，所以 ， 由（1）得 即 ．① 令 ，则 ， 当 时， ， 在区间 内为增函数， ， 从而 ，所以 ． 又由 ，可得 ， 所以 ．② 由①②得 ． [方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ． 令 ．则上式变为 ， 于是命题转换为证明： ． 令 ，则有 ，不妨设 ． [方法三]：比值代换 证明 同证法2．以下证明 ． 不妨设 ，则 ， 由 得 ， ， 要证 ，只需证 ，两边取对数得 ， 即 ， 即证 ． 记 ，则 . 记 ，则 ， 所以， 在区间 内单调递减． ，则 ， 所以 在区间 内单调递减． 由 得 ，所以 ， 即 ． [方法四]：构造函数法 由已知得 ，令 ， 不妨设 ，所以 ． 由（Ⅰ）知， ，只需证 ． 证明 同证法2．

是抛物线上异于 的一点，过 作 5/21 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）． A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线 【答案】B 【解析】 【分析】 依据题意不妨作出焦点在 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定 义可知，线段 的垂直平分线经过点 ，即求解. 【详解】如图所示： ． 因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知， 【详解】（Ⅰ）因为 ，所以 ， 设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ， 由点斜式可得切线方程 ： ，即 . （Ⅱ）显然 ， 因为 在点 处的切线方程为： ， 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 ， 不妨设 时，结果一样， 则 ， 所以 ， 由 ，得 ，由 ，得 ， 所以 在 上递减，在 上递增，所以 时， 取得极小值， 为 16/21 也是最小值为 . 【点睛】本题考查了利用导数 成等比数列，之后证得 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证. 【详解】(Ⅰ) 不具有性质①； (Ⅱ) 具有性质①； 具有性质②； (Ⅲ)【解法一】 首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数： 显然 ，假设数列中存在负项，设 ， 第一种情况：若 ，即 ， 由①可知：存在 ，满足 ，存在 ，满足 ，由 可知 ，从而 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若 ，由①知存在实数

C. D. 【答案】D 5/22 【解析】 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由 ，则 ， 解得 ， 所以双曲线的一条渐近线不妨取 ， 则圆心 到渐近线的 距离 ， 所以弦长 . 故选：D 9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1 人连 续参加两天服务的选择种数为（ 续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为 ， 假设 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4 人抽取2 人各参加星期六与星期天的社区服务，共有 种方法， 同理： 连续参加了两天社区服务，也各有 种方法， 所以恰有1 人连续参加了两天社区服务的选择种数有 ，所以 的面积为 . 法二： 8/22 连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图， 因为底面 为正方形， ，所以 ， 在 中， ， 则由余弦定理可得 ，故 ， 所以 ，则 ， 不妨记 ， 因为 ，所以 ， 即 ， 则 ，整理得 ①， 又在 中， ，即 ，则 ②， 两式相加得 ，故 ， 8/22 故在 中， ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 的面积为 . 9/22