河南省新乡市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题[35360039]

（北京）股份有限公司 新乡市一中2022-2023 学年上期高二年级第一次月考 数学 时长：120 分钟 满分：150 分 一、单选题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1．若椭圆 与椭圆 ，则两椭圆必定（ ）． A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距 C．有相等的短轴长 D．有相等的离心率 2．己知向量 ，若 三向量共面，则实数 （ ） A． B．2 C． D．3 3．已知两点 ，直线l 过点 且与线段 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知空间三点 ，则C 到直线 的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．如图，在平行六面体 中，底面是边长为2 的正方形．若 ，且 ，则 的长为（ ） （北京）股份有限公司 A． B． C． D．5 6．若直线 与曲线 有两个交点，则实数b 的取值范围是（ ） A． B． C． D． （北京）股份有限公司 7 ．如图，在平行六面体 中，E ，F 分别在棱 和 ，且 ．记 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．设椭圆 的左、右焦点分别为 ，点M，N 在C 上（M 位于第一象限），且 点M，N 关于原点O 对称，若 ，则C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．阅读材料：空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面 的方程 为 ，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为 ，直线l 是两平面 与 的交线，则直线l 与平面 所成角的 正弦值为（ ） A． B． C． D． 10．设 ，过定点A 的动直线 和过定点B 的动直线 交于点 ，则 的最大值是（ ） A．4 B．10 C．5 D． （北京）股份有限公司 11．若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 为圆 （北京）股份有限公司 与此双曲线的一个公共点，则 的面积（ ） A．有最大值4 B．有最小值2 C．为m D．为 12 ．己知圆 和两点 ．若圆C 上存在点P ，使得 ，则m 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．经过点 ，并且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍的直线方程为_______________． 14． 的三个顶点分别是 ，则 的外接圆的方程为_______________． 15．如图，二面角 的棱上有两个点A，B，线段 和 分别在这个二面角的两个面内，并且都 垂直于棱l．若 ，则平面 与平面 夹角的余弦值为_______________． 16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过 研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大 小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一 点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于C ，B ，由球和圆的几何性质，可以知道， ，于是 ．由B，C 的产生方法可知，它们之间的距离 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F 为焦点的椭圆． 如图②，一个半径为3 的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知 是椭圆的长轴， 垂直于桌面且与球相切， ，则椭圆的离心率为_______________． （北京）股份有限公司 三、解答题（本题共6 小题，共70 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10 分）已知正方体 ，求证： （1）平面 平面 ； （2） 平面 ． 18．（12 分）已知 的顶点 ，边 上的中线 所在直线方程为 ，边 上 的高 所在直线方程为 ．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线 的方程． 19．（12 分）已知点 在双曲线 上． （1）求双曲线的方程； （2）是否存在过点 的直线l 与双曲线相交于A，B 两点，且满足P 是线段 的中点？若存在，求 （北京）股份有限公司 出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 20．（12 分）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F 分别为 和 的中点，D 为棱 上的点． （北京）股份有限公司 （1）证明： ； （2）当D 为 中点时，求面 与面 所成的二面角的正弦值． 21．（12 分）已知圆 ． （1）若圆 的圆心为 ，且圆 与圆C 公共弦所在直线经过点 ，求圆 的方程； （2）O 为坐标原点，在x 轴上是否存在定点A（不同于点O），满足对于圆C 上任一点P 都有 为一常 数？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12 分）已知圆 ，圆 ，动圆P 与圆 内切，与圆 外切．O 为坐标原点．（当两圆相切时，规定切点为同时与两圆相切的点圆．） （1）若求圆心P 的轨迹C 的方程． （2）已知点 ，直线l 过点 且与曲线C 交于A、B 两点，求 面积的最大值，以及取 得最大值时直线的方程． 参考答案 选择：BBCBAC BCACCA 填空：13． 或 14． ． 15． 16． ．