河南省新乡市红旗区新乡市第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题

第1 页（共36 页） （北京）股份有限公司 河南省新乡 市第一中学学校2022-2023 高二下学期 数学3 月份月考试卷a 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的 相应位置上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷（选择题，共60 分） 一．选择题（共12 小题，满分60 分，每小题5 分） 1．已知数列{an}为等差数列，若a3+a4＝12，a4﹣a2＝4，则a9 ＝（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．在等差数列{an}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{an}的前17 项和为（ ） A．166 B．172 C．168 D．170 3．已知数列 … ， ，则5 是这个数列的（ ） A．第11 项 B．第12 项 C．第13 项 D．第14 项 4．已知{an}为递增等差数列，等比数列{bn}以a1，a2为前两项且公比为3，若b5＝am，则 m ＝（ ） A．13 B．41 C．57 D．86 5．已知数列{an}的通项公式为an＝2n，则a1﹣a2+a3﹣a4+ + ⋯a9﹣a10 的值为（ ） A．2（210 1 ﹣） B．2（210+1） C． D． 6．公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn＝n2a1，若a1，a2， ， ， 依次成等比数列，则k3 ＝（ ） A．81 B．63 C．41 D．32 7．数列{an}满足 ，且a1＝2，则a2023 的值为（ ） 第2 页（共36 页） （北京）股份有限公司 A．2 B．1 C． D．﹣1 第2 页（共36 页） （北京）股份有限公司 8．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日 施2 子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以 一个月31 天计算，记此人第n 日布施了an子安贝（其中1≤n≤31，n∈N*），数列{an}的 前n 项和为Sn．若关于n 的不等式 恒成立，则实数t 的取值范围 为（ ） A ∞ ．（﹣ ，7） B ∞ ．（﹣ ，15） C ∞ ．（﹣ ，16） D ∞ ．（﹣ ，32） 9．已知数列{an}满足a1+2a2+ +2 ⋅⋅⋅ n﹣1an＝n•2n，记数列{an﹣tn}的前n 项和为Sn，若Sn≤S10 对任意的n∈N*恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10 ．设等比数列{an} 的首项为1 ，公比为q ，Sn 是数列{an} 的前n “ 项和，则 q ＞ 0” “ 是∀n∈N*，Sn＞0 ” 恒成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知数列{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，在a1，a2之间插入1 个数，使这3 个数成等差数列，记公差为d1，在a2，a3之间插入2 个数，使这4 个数成等差数列，公 差为d2 ⋯ ， ，在an，an+1之间插入n 个数，使这n+2 个数成等差数列，公差为dn，则（ ） A．当0＜q＜1 时，数列{dn}单调递减 B．当q＞1 时，数列{dn}单调递增 C．当d1＞d2时，数列{dn}单调递减 D．当d1＜d2时，数列{dn}单调递增 12．已知数列{an}满足a1＝1，（2an+1）an+1＝an，令bn＝anan+1，则数列{bn}的前2022 项 和S2022 ＝（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题,共90 分） 二．填空题（共4 小题，满分20 分，每小题5 分） 第3 页（共36 页） （北京）股份有限公司 13．已知各项不为0 的等差数列{an}满足a6﹣a7 2+a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7， 则b3b8b10＝ ． 14．已知数列{an}满足a1＝1， ，则数列 第3 页（共36 页） （北京）股份有限公司 的前n 项和 ． 15．已知数列{an}的前n 项和为Sn，点（an，Sn）在直线3x﹣2y﹣2＝0 上，则数列{an}的首 项a1＝ ，数列{an}的通项公式an＝ ． 16 ．已知函数y ＝f （x ）满足f （x ）+f （1﹣x ）＝1 ，若数列{an} 满足 ，则数列{an}的前16 项的和为 ． 三．解答题（共6 小题，满分70 分） 17．已知数列{an}满足a1＝3，且an+1＝ （1）设bn＝a2n+a2n﹣1，证明：{bn﹣3}是等比数列； （2）设数列{an}的前n 项和为Sn，求使得不等式Sn＞2022 成立的n 的最小值． 18．已知数列{an}是公比为q（q＞0）的等比数列，Sn 为{an}的前n 项和，S4＝30，a2a6＝ 4a3 2． （1）求数列{an}通项公式； （2）若bn＝ ，Tn为数列{bn}的前n 项和，求数列{Tn}的前n 项和Mn． 19．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+a2＝4，9a3 2＝a2a6． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝an+log3an，求数列{bn}的前n 项和． 20．已知数列{an}满足 ． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 ，数列{bn}的前n 项和为Tn，若 ，求m． 21．已知数列{an}满足：a1＝1，且nan+1＝（n+1）an+1，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； 第4 页（共36 页） （北京）股份有限公司 （2）求数列{an•2n}的前n 项和Sn． 22．已知数列{an}满足a1＝1，且an+1＝3an+3n（n∈N*）． 第4 页（共36 页） （北京）股份有限公司 （1）求证：数列 是等差数列，并求出数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n 项和Sn． 第5 页（共36 页） （北京）股份有限公司 河南省新乡 市第一中学学校2022-2023 高二下学期 数学3 月份月考试卷a 参考答案与试题解析 一．选择题（共12 小题） 1．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由a4﹣a2＝4，得2d＝4，d＝2， 又a3+a4＝12 ∴ ，2a1+5d＝12，即2a1+10＝12， 得a1＝1． ∴a9＝a1+8d＝1+8×2＝17． 故选：C． 2．【解答】解：在等差数列{an} ∵ 中，a3+a4+a9+a16＝4a8＝28 ∴ ，a8＝7， 又a10＝13， ∴S17＝ ． 故选：D． 3．【解答】解：根据题意，数列 … ， ，则通项公式an ＝ ， 若an＝ ＝5 ，解可得n＝12， 即5 是这个数列的第12 项， 故选：B． 4．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 由题意可得 ， 所以a2＝3a1，即a1+d＝3a1，所以d＝2a1， 第6 页（共36 页） （北京）股份有限公司 所以an＝a1+（n﹣1）d＝（2n﹣1）a1， 又因为{bn}为公比为3 的等比数列， 所以 ， 第6 页（共36 页） （北京）股份有限公司 解得m＝41， 故选：B． 5．【解答】解：依题意， ， ， 数列{（﹣1）n﹣1an}是首项为2，公比为﹣2 的等比数列， 所以 ． 故选：D． 6．【解答】解：因为 ， 所以S1＝a1，S2＝4a1，故a2＝3a1， 设等差数列{an}的公差为d，则d＝2a1， 所以an＝（2n﹣1）a1， 因为a1，a2，， ， 依次成等比数列， ， 所以 ， 所以（2k3﹣1）a1＝81a1， 所以k3＝41， 故选：C． 7．【解答】 ∵ 解：数列{an}满足 ，且a1＝2， ∴a2＝1﹣ ＝1﹣ ＝ ， a3＝1﹣ ＝1﹣ ＝﹣1， a4＝1﹣ ＝1﹣ ＝2， 第7 页（共36 页） （北京）股份有限公司 a5＝1﹣ ＝1﹣ ＝ ， ......， ∴数列{an}是周期为3 的周期数列， 2023 ∵ ＝674×3+1， ∴a2023＝a1＝2． 第7 页（共36 页） （北京）股份有限公司 故选：A． 8．【解答】解：由题意可知，数列{an}是以2 为首项，2 为公比的等比数列， 故 （1≤n≤31，n∈N*）， 所以 ． 由 ，得2n+1﹣64＜22n+2﹣t 2 ⋅n+1， 整理得 对任意1≤n≤31，且n∈N*恒成立， 又 ，当且仅当2n+1＝8，即n＝2 时等号成立， 所以t＜15， 即实数t ∞ 的取值范围是（﹣ ，15） 故选：B． 9．【解答】解：由 ①， 当n＝1 时，a1＝2， 当n≥2 时， ②， ①﹣②可得an＝n+1（n≥2），又a1也符合上式， ∴an＝n+1， 令bn＝an﹣tn＝n+1﹣tn＝（1﹣t）n+1， ∴bn+1﹣bn＝（1﹣t）（n+1）+1﹣[（1﹣t）n+1]＝1﹣t 为常数， ∴数列{bn}是等差数列，首项b1＝2﹣t， ∴ ， 其对称轴为 ， ∵Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立， 第8 页（共36 页） （北京）股份有限公司 ∴ ，解得 ， 第8 页（共36 页） （北京）股份有限公司 ∴t 的取值范围是 ． 故选：A． 10．【解答】解：因为等比数列{an}的首项为1，公比为q， 所以an＝qn﹣1， 当q＞0 时，an＞0，所以Sn＞0， “ 即q＞0” “ 是∀n∈N*，Sn＞0 ” 恒成立的充分条件； 取 ，则 ， 若n 为偶数，则 ； 若n 为奇数，则 ， 所以，当 时，∀n∈N*，Sn＞0 恒成立，即必要性不成立， “ 综上，q＞0” “ 是∀n∈N*，Sn＞0 ” 恒成立的充分不必要条件． 故选：A． 11．【解答】解：数列{an}是各项为正数的等比数列，公比为q， 由题意an+1＝an+（n+1）dn ∴ ，dn＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ • ＝ •q， 对于 ，n∈N*，这个数列是单调递增的数列，最小的一项即第一项为 ， 则 是否大于1，不确定，A，B 错误， 当 ＝ q＞1 时，q＞ ，则此时必有 ＝ •q＞ • ＝1，则数列{dn}单调递 第9 页（共36 页） （北京）股份有限公司 增，则D 项正确，C 项错误． 故选：D． 12．【解答】 ∵ 解：a1＝1，（2an+1）an+1＝an， 第9 页（共36 页） （北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ，又 ， { ∴ }是以首项为1，公差为2 的等差数列， ∴ ＝2n﹣1， ∴ ， ∴令bn＝anan+1＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， 故选：B． 二．填空题（共4 小题） 13．【解答】解：各项不为0 的等差数列{an}满足a6﹣ +a8＝0， 由a6+a8＝2a7， 可得2a7＝a7 2， 即有a7＝2（0 舍去）， 数列{bn}是公比为q 的等比数列，且b7＝a7＝2， 则b3b8b10＝b1q2•b1q7•b1q9＝b1 3q18＝（b1q6）3＝b7 3＝23＝8． 故答案是：8． 14．【解答】解：由题意可得a2＝a1+2＝3，a2n＝a2n﹣1+2＝a2n﹣2+3，n≥2， { ∴a2n}是以3 为首项，3 为公差的等差数列， ∴a2n＝3+3（n﹣1）＝3n， ∴ ； 第10 页（共36 页） （北京）股份有限公司 设数列 的前n 项和为Sn， 则 ． 故答案为： ． 15．【解答】解：由题意，点（an，Sn）在直线3x﹣2y﹣2＝0 上， 则3an﹣2Sn﹣2＝0， 第10 页（共36 页） （北京）股份有限公司 整理，得Sn＝ an﹣1， 当n＝1 时，a1＝S1＝ a1﹣1，解得a1＝2， 当n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝ an﹣1﹣ an﹣1+1， 化简整理，得an＝3an﹣1， ∴数列{an}是以2 为首项，3 为公比的等比数列， ∴an＝2•3n﹣1，n∈N*． 故答案为：2；2•3n﹣1，n∈N*． 16．【解答】解：y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1， 若数列{an}满足 ，① an＝f（1）+f（ ）+f（ ）+...+f（ ）+f（0），② ①+②可得2an＝[f（0）+f（1）]+[f（ ）+f（ ）]+...+[f（1）+f（0）]＝1+1+...+1＝ n+1， 即an＝ ， 则数列{an}的前16 项的和为 ×16×（1+ ）＝76． 故答案为：76． 三．解答题（共6 小题） 17．【解答】（1）证明：因为a2n＝a2n﹣1﹣1，所以bn+1＝2a2n+1﹣1，bn＝2a2n+1， 又a2n+1＝2a2n，所以 ，所以bn+1﹣3＝2（bn﹣3）， 又b1﹣3＝a1+a2﹣3＝a2＝2≠0，所以bn﹣3≠0，所以 ， 所以数列{bn﹣3}是以2 为首项，2 为公比的等比数列； （2）解：由（1）可知 ，则 ， 第11 页（共36 页） （北京）股份有限公司 所以 ，易知S2n+2＞S2n， 又 ，有a19+a20 ＝2076﹣ 1049＝1027， 第11 页（共36 页） （北京）股份有限公司 又由a20＝a19﹣1，有2a19﹣1＝1027，得a19＝514， 所以S19＝1049+514＝1563＜2022，所以满足题意的n 的最小值是20． 18．【解答】解：（1 ∵ ）a2a6＝4a3 2 ∴ ， ， 解得q＝2 或﹣2（舍去）， 又 ＝30， 解得a1＝2， ∴an＝2•2n﹣1＝2n； （2 ∵ ） ， ∴ ． 19．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 则 ， 化简整理，得 ， 解得 ， ∴an＝1•3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*． （2）由（1），可得bn＝an+log3an＝3n﹣1+log33n﹣1＝3n﹣1+n﹣1， 设数列{bn}的前n 项和为Tn， 则Tn＝b1+b2+b3+•••+bn ＝（30+0）+（31+1）+（32+2）+•••+[3n﹣1+（n﹣1）] ＝（30+31+32+•••+3n﹣1）+[0+1+2+•••+（n﹣1）] 第12 页（共36 页） （北京）股份有限公司 ＝ + ＝ ． 第12 页（共36 页） （北京）股份有限公司 20．【解答】解：（1）因为 ， 所以 + + +…+ ＝2（n﹣1）2+（n﹣1）（n≥2，且n∈N*）， 两式相减得， ＝4n﹣1， 所以an＝ （n≥2）， 当n＝1 时，有 ＝2×1+1，所以a1＝1，满足上式， 所以an＝ （n∈N*）． （2） ＝ ＝ ＝ （ ﹣ ）， 所以Tn＝ [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]＝ （ ﹣ ）＝ ， 因为 ，所以 ＝ ，解得m＝9． 21．【解答】解：（1）数列{an}满足：a1＝1，且nan+1＝（n+1）an+1，n∈N*， 则（n﹣1）an＝nan﹣1+1，n＝2，3 ••• ， ，n， 两式相减可得，nan+1﹣（n﹣1）an＝（n+1）an﹣nan﹣1，即nan+1+nan﹣1＝（n+1）an+（n﹣ 1）an＝2nan， 则an+1+an﹣1＝2an， 所以{an}为等差数列， 因为a1＝1， 所以a2＝2a1+1＝3， 第13 页（共36 页） （北京）股份有限公司 故数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1； （2 ∵ ） ， ∴ +（2n﹣1 • ）2n， 2Sn＝1•22+3•22+5•24+•••+（2n﹣1 • ）2n+1， 第13 页（共36 页） （北京）股份有限公司 两 式 作 差 可 得 ， （ 2n﹣1 • ） 2n+1 ＝ ， 故 ． 22 ．【解答】解：（1 ∵ ）证明： ，两边同时除以3n+1 ，可得 ， 整理得 ，又 ∴ ，数列 是等差数列， 首项为 ，公差 ， ∴ ， 解得 ． ，① ∴ ，② ①﹣② ， 得 ＝ ， ∴ ． 第14 页（共36 页） （北京）股份有限公司 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/3 8:40:33；用户：刘闪；邮箱：18739020952；学号：38915037