湖北省沙市中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题

1 （北京）股份有限公司 2022—2023 学年度上学期2021 级 第一次月考数学试卷 考试时间：2022 年9 月22 日 一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.） 1．“幸福感指数”是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间 [0,10] 内的一个数来表示，该数越接近10 表示满意度越高.现随机抽取10 位湖州市居民，他 们的幸福感指数为5，6，6，6，7，7，8，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（ ） A.7.5 B.8 C.8.5 D.9 2．已知是虚数单位，则复数 对应的点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知 ， ，若 ，则 等于（ ） A. 2 B. C. D. 4．已知m，n 是不重合的直线， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. ，则 C. 若 ，则 D. ，则 5．在△ABC 中，若2 acosB＝c，则该三角形一定是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 6．在 区域 病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认 为：疫情被控制的指标是“连续7 天每天新增感染人数不超过5 人”，记连续7 天每天记录的 新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得 到结果如下：①平均数 ；②平均数 ，且标准差 ；③平均数 ，且极差 ；④众数等于1，且极差 ．其中符合疫情被控制的指标的预报簇为（ ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 7．在等腰梯形 中， ， ， ， 为 的中点， 为线 2 （北京）股份有限公司 段 上的点，则 的最小值是（ ） A．0 B． C． D．1 2 （北京）股份有限公司 8．在棱长为1 的正方体ABCD－A1B1C1D1 中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP＝xAB＋ yAD＋zAA1，且 . 则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( ) A．1 B. C. D. 二、多选题(本大题共4 小题，每个小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多 项是符合题目要求的.) 9．下列命题中正确的是（ ） A．已知平面向量 ， ，则 与 共线 B．已知平面向量 ， 满足 ， 在 上的投影向量为 ，则 的值为2 C．已知复数满足 ，则 D．已知复数 ， 满足 ，则 10．给出下列命题，其中正确的是（ ） A．任意向量 ， ，满足 B．在空间直角坐标系中，点 关于坐标平面yOz 的对称点是 C．若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 D．若 为正四面体，G 为 的重心，则 11．以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）. A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是 B．每个大于2 的偶数都可以表示为两个素数的和，例如 ，在不超过14 的素数中随机 选取两个不同的数，其和等于14 的概率为 C．抛掷一枚骰子1 次,事件A=“向上的点数是1,2”,事件B=“向上的点数是1,3”,则事件A 与事 件B 不是相互独立事件 D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 12．将边长为 的正方形 沿对角线 折成直二面角 ， 如图所示，点 ， 分别为线段 ， 的中点，则（ ） A． B．四面体 的表面积为 3 （北京）股份有限公司 C．四面体 的外接球的体积为 D．过 且与 平行的平面截四面体 所得截面的面积为 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13．已知空间向量 ＝（1，1，0）， ＝（﹣1，0，2），则 在 方向上的投影向量为________． 3 （北京）股份有限公司 14．从1，2，3，4 四个数字中，随机地选取两个不同的数字，则两个数字的和为偶数的概率为_ __． 15．已知复数 满足 ，若 （为虚数单位），则 ___. 16．在正三棱柱 中， ，点P 满足 ，其中 ，则三角形 周长最小值是___________. 四、解答题（本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水， 居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准 ，用水量不超过 的部分按平价收 费，超出 的部分按议价收费，下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图. （1）求直方图中 的值： （2）试估计该市居民月均用水量的众数、平均数： （3）如果希望 的居民月均用水量不超过标准 ，那么标 准 定为多少比较合理？ 18．在 中,内角 所对的边分别为 ,且满足 ． （1）求 的值； （2）已知 的面积为 ，求a 的值． 19．如图，在多面体 中， 为等边三角形， . （1）求证:平面 平面 ； 4 （北京）股份有限公司 （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20． 4 （北京）股份有限公司 为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须 参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都胜出，则视为该选手赢得比赛．现已知甲、乙两位选手， 在第一轮胜出的概率分别为 ，在第二轮胜出的概率分别为 ， ，甲、乙两位选手在一 轮二轮比赛中是否胜出互不影响． （1）在甲、乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人都参加比赛，求至少一人赢得比赛的概率． 21．如图，在三棱锥 中， . （1）若 ,求证： ； （2）若 分别在棱 上，且 ，问在 棱 上是否存在一点 ，使得 .若存在，则求 出 的值；若不存在.请说明理由. 22．如图所示，某镇有一块空地 ，其中 km， km， .当地镇政 府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 ，其中M、N 都在 边AB 上，且 ，挖出的泥土堆放在 地带上形成假山，剩下的 地 5 （北京）股份有限公司 带开设儿童游乐场.为安全起见，需在 的一周安装防护网． （1）当 km 时，求OM 长度； （2）若要求挖人工湖用地 的面积是堆假山用地 的面积的 倍，试确定 的大小； 5 （北京）股份有限公司 （3）为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？最小面积是多少？ 高二年级数学答案 1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.【答案】C 【详解】①错，举反倒：0，0，0, 0，2， 6，6；其平均数 ，不符合题意; ②错，举反倒： ；其平均数 且 ,不符合题意; ③对，若7 天中某一天新增感染人数x 超过5 人，即x≥6, 则极差大于 故假设不成立，故一定符合上述指标； ④对，若7 天中某一天新增感染人数x 超过5 人,即x≥6, 则极差不小于 ,与极差小于或等于 4 相矛盾,故假设不成立,故一定符合上述指标. 故选：C 7.【答案】B 【详解】由题意等腰梯形 的高为 ， 如图，以 为 轴， 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，则 ， ， ，设 ，则 ， ， ， 所以 时， 取得最小值 ． 故选：B． 8.D 【解析】 根据向量加法的几何意义和空间向量 基本定理，满足0≤x≤y≤1 的点P 在三棱柱ACD－ 6 （北京）股份有限公司 A1C1D1 内，满足0≤y≤z≤1 的点P 在三棱柱AA1D1 －BB1C1 内，故同时满足0≤x≤y≤1 和 0≤y≤z≤1 的点P 在这两个三棱柱的公共部分，即图中的三棱锥A－A1C1D1 内，其体积是 ××1×1×1＝. 9.BC 10.CD 6 （北京）股份有限公司 【详解】 A：因为 与 是一个标量，设 ， ， 若要 ，则需要向量 方向相同，但 不一定相同， 所以 不一定成立，故A 错误； B：点 关于坐标平面 的对称点为 ，故B 错误； C：因为 是空间的一个基底，所以 不共面， 假设 共面，则存在实数 使得 ， 即 ，所以 ，方程组无解， 所以 不共面，所以 也是空间的一个基底，故C 正确； D： ， 则 ，又 为 的重心， 所以 ，故 ，故D 正确. 故选：CD 11.【答案】BCD 【解析】对于A，画树形图如下： 从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9 种，这些结果出现的可能性相等，P（甲获胜） ，P（乙获胜） ，故玩一局甲不输的概率是 ，故A 错误； 对于B，不超过14 的素数有2，3，5，7，11，13 共6 个，从这6 个素数中任取2 个，有2 与 3，2 与5，2 与7，2 与11，2 与13，3 与5，3 与7，3 与11，3 与13，5 与7，5 与11，5 与13，7 与11，7 与13，11 与13 共15 种结果，其中和等于14 的只有一组3 与11，所以在 不超过14 的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14 的概率为 ，故B 正确； 7 （北京）股份有限公司 对于C，由相互独立事件的定义可知，故C 正确； 对于D，记三件正品为 ， ， ，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为 ， ， ， ， ， ，共6 种，其中两件都是正品的有 ， ， 7 （北京）股份有限公司 ，共3 种，则所求概率为 ，故D 正确.故选BCD. 12.【答案】BCD 【详解】设 是 的中点，则 两两相互垂直， 二面角 为之二面角， 平面 ， A 选项，连接 ， ， ，所以三角形 不 是等腰三角形，而 是 的中点，所以 与 不垂直，A 选项错误. B 选项， ，所以三角形 和三角形 是等边三角形，所以四面体 的表面积为 ，B 选项正确. C 选项，由于 ，所以 是四面体 外接球的球心，外接球的半径为 ， 体积为 ，C 选项正确. D 选项，设 是 中点， 是 中点，画出图象如下图所示， ， 四点共面. 由于 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， ， 由于 ，所以 平面 ，所以 ，而 ，所 8 （北京）股份有限公司 以 ，所以截面面积为 .D 选项正确. 8 （北京）股份有限公司 故选：BCD 13.答案： . 14.【答案】 15.【答案】1 16． 【详解】 根据题意，因为 ，其中 ， 所以点 在线段 上. 如图所示，沿 展开正三棱柱 的侧面， 故三角形 周长为 ， 当 、 、 三点共线时，取等号. 9 （北京）股份有限公司 故答案为： . 17．（1） ； （2）众数为 吨，平均数为 吨； （3）月均用水量低于3 吨的居民人数所占的百分比为0.73+0.5×0.3=0.88,所以，x ( 2.5.3) ∈ ， 由题意可得0.73+(x-2.5)×0.3=0.85，解得x=2.9. 18．(1)2; (2)1 或 【解析】 (1)由正弦定理得： , ， , ，因为A，C 是三角形内角， ， 所以 ，而由正弦定理得 ，∴ ，即 ； (2)由第一问可知，b=2a，设AB 边上的高为h， 则三角形ABC 的面积 ， 作下图： 10 （北京）股份有限公司 过点C 作AB 的垂线，垂足为D，则CD=h， 设AD=x ，则由勾股定理得到下列方程组： 10 （北京）股份有限公司 ，解得 ， 由公式法得 ， ，a=1； 19．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ） . 【详解】 (1)取 中点 ,连结 ， 是平行四边形， 平面 ， 平面 , 平面 . ， 又 平面 平面 ， 又 为等边三角形， 为边 的中点， 平面 又 平面 ， 平面 平面 平面 ． (2) 取 中点 ,连结 ， 所以直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角, 过 作 ,垂足为 ,连接 . 平面 平面 , 平面 ， 平面 . 为斜线 在面 内的射影， 为直线 与平面 所成角， 在 中， 直线 与平面 所成角的正弦值为 . 11 （北京）股份有限公司 20.解：（Ⅰ）设事件A 表示“甲赢得比赛”，事件B 表示“乙赢得比赛”， P（A）＝ ＝ ， P（B）＝ ＝ ， ， ∴甲、乙二人中选派一人参加比赛，甲赢得比赛的概率更大． 11 （北京）股份有限公司 （Ⅱ）甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的对立事件是两个人都没有赢得比赛， ∴甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的概率为： P＝1 [1 ﹣ ﹣P（A）][1﹣P（B）] ＝1﹣ ＝ ． 21.【答案】 （1）证明：∵ PC ⊥ 平面 ABC ， AB? 平面 ABC ， ∴ PC ⊥AB ， 又∵ AB⊥BC ， PC ∩BC=C ，∴ AB⊥ 平面 PBC ， CD? 平面 PBC ，∴ AB⊥CD ， ∵CD⊥PB ， AB∩PB=B ，∴ CD⊥ 平面 PAB ， ∵PA ? 平面 PAB ， ∴CD⊥PA . （2）存在，且 ， 理由如下： 如图，作 PA 的中点 M ，连接 CM ， DM ， 由 PF=3 AF 得 PM=2 FM ，又∵ PD=2 DB ， ∴DM // BF ， DM ? 平面 BEF ， BF ? 平面 BEF ， ∴DM // 平面 BEF ， 又∵ E ， F 分别为 AC ， AM 的中点， ∴EF // CM ， CM ? 平面 BEF ， EF ? 平面 BEF ，∴ CM // 平面 BEF ， ∵CM ∩DM=M ， CM ? 平面 CDM ， DM ? 平面 CDM ， ∴平面 BEF // 平面 CDM ， ∵CD? 平面 CDM ， ∴ CD // 平面 BEF . 12 （北京）股份有限公司 22．(1) ； (2) ； (3) ， ﹒ 【解析】 (1)在Rt△OAB 中，tan∠OAB＝ ，∴∠OAB＝60°， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ＝ ； (2)设 ，∵ ， ∴ ，即 ， 在 中，由正弦定理得， ， 即 ，即 ，即 ， 由 ，得 ，∴ ，即 ； (3)设 ，由(2)知 ， 又在 中，由 ，得 ， ∴ ， ∴当且仅当 ，即 时， 的面积取最小值为 ﹒