重庆市长寿中学校2022-2023学年高二下学期4月期中考试+数学+Word版含答案

重庆市长寿中学校2024 届高二下•半期考试 数学试题 一、单项选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 二、多项选择题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求的。全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分） 三、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分) 四、解答题(本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. 10 分从 这 个数字取出个数字，试问： （1）有多少个没有重复数字的排列方法 （2）能组成多少个没有重复数字的三位数？ （3）能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？ 注：要有适当的文字说明，最终结果用数字表示 18. 12 分已知函数 ． （1）设 为偶函数，当 时， ，求曲线 在点 处的切线方 程；（2）设 ，求函数 的极值； 19. 12 分已知函数 在 处有极值 ． （1）求 ，的值； （2）求 在 上的最小值． 20. 12 分某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌” 系列进行市 场销售量调研，通过对该品牌的 系列一个阶段的调研得知，发现 系列每日的销售量 单位：千克 与销售价格 元千克近似满足关系式 ，其中 ， 为常数。已知 销售价格为元千克时，每日可售出 系列 千克． （1）求函数 的解析式； （2）若 系列的成本为 元 千克，试确定销售价格 的值，使该商场每日销售 系列所获得的利润 最大． 21. 12 分已知函数 ， ，其中 为常数． （1）当 时，试判断 的单调性； （2）若 在其定义域内为增函数，求实数 的取值范围； （3）设函数 ，当 时，若存在 ，对任意的 ，总有 成立，求实数 的取值范围． 22.（12 分）已知函数 ，其中 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）当 时，判断 的零点个数，并加以证明； （3）当 时，证明：存在实数 ，使 恒成立． 重庆市长寿中学校2024 届高二下•半期考试数学参考答案 1-5、BBBCD 1-8、BAA 9、AC 10、ABD 11、ACD 12、ABD 13、7 14、696 15、135° 16、4 17、解： 任取个数字，然后再排列，故有 个． 第一位数字不能为，故有种取法，其它个位置任意，故有 ， 个位从，，，，这五个数中任选个，有种取法； 百位从除和个位数外个数中任选一个，有种取法， 十位从其他个数中任选一个，有种取法， 共有 个， 18、解： 时， ， 是偶函数， 故 ， ， ，故 ， 故切线方程是： ， 即 ； ， ， ， 时， ， 在 递增，函数无极值， 时，令 ，解得： ，令 ，解得： ， 故 在 递增，在 递减， 故 的最大值是 ；无极小值； 19、解： 因为 在 处有极值 ， 所以 即 ， 解得： 或 ， 当 时 ，满足题意， 当 时 ，不合题意， 所以 ； ， 令 得 ， ， 列表如下： 递增 递减 递增 因为 ， ， 所以最小值为 ． 20、解： 有题意可知，当 时， 即 ，解得 ， 所以 ， ． 设该商场每日销售 系列所获得的利润为 ， 则 ， ，令 ， 得 或 舍去， 所以当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减． 故 ． 所以当销售价格为元千克时， 系列每日所获得的利润最大． 21、解： 当 时， ，定义域为 ， 因为 在定义域上恒成立， 所以 在 上是单调递增函数； 的定义域为 ， 因为 在 上为增函数， 所以 对 恒成立， 即 对 恒成立， 由基本不等式，当且仅当 时， 的最小值为， 所以 的最大值为 ， 所以 ，即实数 的取值范围 ； 由题意，等价条件为 ， 当 时， ， ， 令 ，得 ， 令 ，得 ， 易得 在 上递增，在 上递减， 在 上， ， 由二次函数 的图象知， ， 所以 ， 所以 ， 综上所述，实数 的取值范围为 22、解：Ⅰ 时， ， ， 故 ， ，故切线方程为： ， 即 ； Ⅱ存在一个零点，理由： ， ， 显然 恒成立，故 在 上是增函数， 又 时， ， 时， ， 故存在唯一的零点 ，使得 ； Ⅲ ， ， ，故 是增函数， 而当 时， ， 时， ， 故存在 ，使得 ， 且 时， ， 时， ， 故 是 的极小值点，也是最小值点， 存在实数 ，使 恒成立．