四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学答案

绵阳南山中学2021 年秋季高2020 级12 月月考 数学试题（文科）解析 一、选择题： CDDCD BBABB AC 二、填空题 13.7 14. 5 3 15. 5 16 16. 3 4 17.（1）由直线的点斜式方程可得直线l：y+3   4 2 1 1     （x﹣2） ， 即直线l 的方程为x﹣y﹣5＝0； （2）设B（1，4）关于直线l 的对称点B'（m，n） ， 所以 4 1 n m    1， 1 2 （m+1） 1 2  （n+4）﹣5＝0， 解得 9 4 m n     ，所以B'（9，﹣4） ， kB'A   4 2 3 9 1 5     ，由点斜式方程可得y﹣2 3 5  （x+1） ， 整理可得3x+5y﹣7＝0， 所以反射光线所在的直线方程为3x+5y﹣7＝0． 18.解： （1）根据频率分布直方图得：(0.005 0.01 2 0.045) 10 1 a      0.02 a   根据频率分布直方图得： (55 0.01 65 0.02 75 0.045 85 0.02 95 0.005) 10 74 x             ， （2）由于[50,60) ，[60,70) 和[80,90)的频率之比为：1∶2∶2， 故抽取的5 人中[50,60) ，[60,70) 和[80,90) 分别为：1 人，2 人，2 人， 记[50,60) 的1 人为a ，[60,70) 的2 人为b ，c ，[80,90)的2 人为A ，B 故随机抽取2 人共有( , ) a b ，( , ) a c ，( , ) a A ，( , ) a B ，( , ) b c ，( , ) b A ， ( , ) b B ，( , ) c A ，( , ) c B ，( , ) A B 10 种， 其中至少有1 人每天阅读时间位于[80,90)的包含7 种， 故概率 7 10 P  ． 19.（1）设圆C 的方程为    2 2 2 0 x a y a a     ，因为C 到直线 0 x y   距离为 2 a ， 所以 2 2 2 2 2 2 a a                ，解得 1 a ，所以圆C 的方程为  2 2 1 1 x y   ； （2） 因为 , PA PB 是圆C 的切线， 所以 2 PAC PBC     ， 所以 , , , P A B C 在以PC 为直径的 圆上. PC 中点坐标为 1 2, 2      ，     2 2 3 1 1 0 5 PC      ， 所以以   3,1 P 与   1,0 C 为直径端点圆的方程为  2 2 1 5 2 2 4 x y           . 联立方程组    2 2 2 2 4 1 1 1 5 2 2 x x y y                   ，两式相减得2 3 0 x y    . 所以直线AB 的方程为2 3 0 x y    . 20.（1）对于模型①， 对应的 15 22 27 40 48 54 60 =38 7 y        ， 故对应的   12 2 2 2 1 1 12 7 1750 i i i i y y y y         ， 故对应的相关指数 2 1 79.13 1 0.955 1750 R   ， 对于模型②，同理对应的相关指数 2 2 20.2 1 0.988 1750 R   ， 故模型②拟合精度更高、更可靠. 故对A 型材料进行应用改造的投入为17 亿元时的直接收益为ˆ 21.3 17 14.4 72.93    y . （2）当 17 x  时， 后五组的 21 22 23 24 25 23 5 x       ， 68.5 68 67.5+66+65 67 5 y     ， 由最小二乘法可得   ˆ 67 0.7 23 83.1 a     ， 故当投入20 亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为： 0.7 20 83.1+5 74.1 72.93      ， 故投入17 亿元比投入20 亿元时收益小. 21 解： （1）抛物线的方程为 2 4 y x  ． （2）证明：    0 0 1, 0 P y y  ，   1,2 P ，设直线MN 的方程为x my n   ， 2 1 1 1 , 4 M y y       ， 2 2 2 1 , 4 N y y       ， 联立 2 4 x my n y x       ，得 2 4 4 0 y my n    ， 所以 1 2 4 y y m   ， 1 2 4 y y n  ， 所以 1 2 1 1 2 4 1 2 1 4 PM y k y y      ， 同理可得 2 4 2 PN k y   ， 因 1 2 PM PN k k   ， 所以   1 2 16 1 2 2 2 y y    ， 所以   1 2 1 2 2 36 0 y y y y     ， 所以 2 9 0 n m    ，即 2 9 n m   （满足 0  ） ， 直线MN 的方程为   2 9 2 9 x my m m y       ， 所以直线MN 过定点  9, 2  ． 22.（1）   2 2 2 2 BD DA BD DC BC AB        D ∴ 点轨迹是以A、B 为焦点椭圆. 2 2 a   ， 2 1 c ， 2 1 b  ， 2 2 1 2 x y   . （2）当MN 斜率存在时，设 : MN y kx m   2 2 2 2 x y y kx m          2 2 2 1 2 4 2 2 0 k x mkx m      ，令两根为 1 x ， 2 x . 由 0 OM ON OP          .   1 2 2 4 1 2 p mk x x x k     ，     1 2 1 2 2 2 2 1 2 p m y y y k x x m k        . 代入 2 2 1 2 x y  ，    2 2 2 2 2 8 4 1 1 2 1 2 m k m k k     ， 即 2 2 4 1 2 m k  . 故     2 2 2 8 1 2 6 1 2 0 k m k      . 2 1 2 1 MN k x x       2 2 2 6 1 1 1 2 k k k      ， 2 2 1 6 1 2 k k     ， 2 1 3 1 1 2k     3, 6   . 当MN x  轴时，易求 3 MN  ， MN  范围是 3, 6    .