四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学理科答案

绵阳南山中学2021 年秋季高2019 级12 月月考数学试题答案(理 科) 一、选择题 1——6 DBABBC7——12DACBDD 二、填空题 13. 8 3 14. 1 5 15.x2+( y−1)2=2 16. 1 4 三、解答题 17.解：（1）¯ x=5,¯ y=6.5 r= ∑ i=1 n ( xi−¯ x)( yi−¯ y) √∑ i=1 n ( xi−¯ x)2⋅∑ i=1 n ( yi−¯ y)2 22 √500≈0.98>0.8 所以，x 与y 高度线性相关 ……5 分 （2）根据最小二乘法 所以，回归方程 当x=10 时，y=12 ……………………………………10 分 18.解：（1）由题可知，以BA,BC 为邻边的平行四边ABCD 满足AD // BC ,CD // AB 所以，k AD=kBC ,kCD=k AB ，设D(x , y)，则可得 y−4 x−1 =1 3 且y−1 x−2 =2 解得：x=4 , y=5 所以D(4,5)…………………………6 分 （2）要使SΔ ABE=2SΔ ACE ，则需B,C 到直线l 的距离d1,d2之比为2 当斜率存在时，设l 的方程为y−4=k( x−1)，即kx−y−k+4=0 ^ y=1.1x+1 所以由 d1=2d2 得|−2k+4| √k2+1 =2|k+3| √k2+1 ，所以， k=1 2 所以，直线l 的方程为x−2 y+7=0………………………………9 分 当直线斜率不存在时，l 的方程为x=1，此时，仍符合题意。 …………11 分 综上：l 的方程为x=1和x−2 y+7=0 ……………………12 分 19.解：（1）该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为： ¯ m ＝ 65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03 ＝103.2≈103．……………………………………3 分 因为成绩在[60，100)的频率为0.4，设中位数n ，则0.024(n−100)=0.1 所以，n=104 …………………………………………6 分 （2）设成绩在[130，140)的5 位同学位A1, A2, A3, A4, A5，成绩在[140，150]的3 位同学为 B1,B2,B3.从中选出2 位同学，基本事件为 A1 A2, A1 A3, A1 A4, A1 A5, A2 A3, A2 A4, A2 A5, A3 A4, A3 A5, A4 A5, A1B1, A1B2, A1B3, A2B1 A2B2, A2B3, A3B1, A3B2, A3B3, A4B1, A4B2, A4B3, A5B1, A5B2, A5B3,B1B2,B1B3,B2B3 共28 个，而2 位同学成绩恰在[140，150]内的事件有3 个， …………11 分 所以8 人中随机选出2 人交流发言，恰好抽到2 人成绩在(140，150]的概率为 3 28 ……12 分 20.解：（1）设D(x , y),E(x0, y0) 由⃗ HE=√3 2 ⃗ HD 得， x0=x , y0=√3 2 y ，所以 x2 4 + 3 4 y2 3 =1 所以，点D 的轨迹方程为x2+ y2=4 ………………………………6 分 （2）由圆的切线性质知，切线长PM=PN ,OM ⊥PM 所以，四边形面积S=OM⋅PM=2PM=2√OP2−4 ， 所以，当OP 最小时，面积最小. 而OP 的最小值即为O 到直线的距离d=√5 ，此时Smin=2 又因为 S=1 2 MN⋅OP ,所以 MN= 2S OP= 4√5 5 ……………………12 分 21.解:（1）因为椭圆E: 2 2 2 2 1 x y a b   （a,b>0）过M（2， 2 ） ，N( 6 ,1)两点, 所以 2 2 2 2 4 2 1 6 1 1 a b a b            解得 2 2 1 1 8 1 1 4 a b          所以 2 2 8 4 a b      椭圆E 的方程为 2 2 1 8 4 x y   ……5 分 （2）由（1）知D(2√2,0)，设A(x1, y1),B(x2, y2) 由|⃗ DA+⃗ DB|=|⃗ DA−⃗ DB| 可知，⃗ DA⊥⃗ DB ,所以，⃗ DA⋅⃗ DB=0 …………6 分 即： ( x1−2√2)( x2−2√2)+ y1 y2=0 所以 (1+k2)x1 x2+(km−2√2)( x1+x2)+m2+8=0 （※） 联立直线和椭圆方程，消去y，得： (1+2k2)x2+4 kmx+2m2−8=0 由Δ>0, m 得 2<8k2+4 所以 x1+x2=−4 km 1+2k2 , x1 x2=2m2−8 1+2k2 …………8 分 代入方程※，可得 3m2+8√2km+8k2 1+2k2 =0 ，即得 3m2+8√2km+8k2=0 所以， (m+2√2k)(3m+2√2k)=0 所以， m=−2√2k m 或=−2√2 3 k ……10 分 所以，直线l 的方程为 y=kx−2√2k y 或=kx−2√2 3 k 所以，过定点 (2√2,0) 或 ( 2√2 3 ,0) ，根据题意，舍去 (2√2,0) …………11 分 所以，直线过定点 ( 2√2 3 ,0) ………………………………………………12 分 22.(1)解：设点 ，由题意得，{ 2 p x0=16 x0+ p 2 = 5 4 x0 ，解之得，p=2. 所以，抛物线的方程为y 2=4 x . ………………………………4 分 (2)解：∵F(1,0)，设A( x1, y1),B( x2, y2),C( x3, y3), D( x4, y4)， 直线l的方程为x=ty+1.由{x=ty+1 y 2=4 x 得y 2−4 ty−4=0，显然，Δ>0， 所以，y1+ y2=4 t , y1 y2=−4， |AB|=√1+t2|y1−y2|=√1+t2√16t2+16=4(1+t2) 所以，AB的中点M (2t 2+1,2t ). 所以，线段AB的垂直平分线为y−2t=−t( x−2t 2−1)， 将抛物线方程x= 1 4 y 2代入得，t y 2+4 y−8t 3−12t=0， 所以，y3+ y4=−4 t ，y3 y4=−8t 2−12， 所以，¿CD∨¿ ❑ √ 1+ 1 t 2∨y3−y4∨¿ ❑ √ 1+ 1 t 2 ❑ √ 16 t 2 +4(8t 2+12)= 4(1+t 2) t 2 ❑ √2t 2+1. CD的中点N (2t 2+3+ 2 t 2 ,−2 t )， …………………………8 分 ∵A ,B ,C , D四点共圆，所以N为圆心，¿ AM ¿ 2+¿ MN ¿ 2=¿ AN ¿ 2 ………………10 分 即4(1+t 2) 2+ 4(1+t 2) 2 t 4 + 4(1+t 2) 2 t 2 = 4(1+t 2) 2 t 4 (2t 2+1)，解之得，t=±1， 故直线l的方程为x=± y+1. ……………………………………………………12 分 方法2:设A( x1, y1),B( x2, y2),C( x3, y3), D( x4, y4)， ∵CD垂直平分AB，且A ,B ,C , D四点共圆， ∴∠CAD=∠CBD=90 ∘，由点差法得， k AB= 4 y1+ y2 ，k AC= 4 y1+ y3 ，k AD= 4 y1+ y4 ，k BC= 4 y2+ y3 ，k BD= 4 y2+ y4 ，………………8 分 于是， 4 y1+ y3 ⋅ 4 y1+ y4 = 4 y2+ y3 ⋅ 4 y2+ y4 =−1，∴−( y1+ y2)= y3+ y4， ∴k AB⋅kCD= 4 y1+ y2 ⋅ 4 y3+ y4 = −16 ( y1+ y2)2=−1 , ∴y1+ y2=±4 ∴k AB=±1 ∴直线l的方程为x=± y+1. …………………………………12 分