专题4.2 几何体的展开图【九大题型】（解析版）

专题42 几何体的展开图【九大题型】 【人版】 【题型1 判断正方体展开图的相对面或相邻面】..................................................................................................1 【题型2 展开图折叠成正方体】.............................................................................................................................4 【题型3 正方体的平面展开图】.............................................................................................................................6 【题型4 视图与小正方体的个数问题】................................................................................................................. 8 【题型5 根据视图确定组成几何体的正方体的个数】........................................................................................10 【题型6 根据视图确定正方体最多或最少的个数】............................................................................................12 【题型7 棱柱的展开与折叠】...............................................................................................................................14 【题型8 圆柱的展开与折叠】...............................................................................................................................17 【题型9 圆锥、棱锥的展开与折叠】...................................................................................................................19 【题型1 判断正方体展开图的相对面或相邻面】 【例1】（2022•盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那 么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ） ．强 B．富 ．美 D．高 【分析】正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点进行作 答． 【解答】解：正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形， “盐”与“高”是相对面， “城”与“富”是相对面， “强”与“美”是相对面， 故选：D． 【变式1-1】（2022•佛山校级三模）如图为正方体的展开图，将 标在①②③④的 任意一面上，使得还原后的正方体中 与 是相邻面，则 不能标在（ ） 1 ．① B．② ．③ D．④ 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：因为正方体中 与 是相邻面， 与③是对面， 所以 不能标在③． 故选：． 【变式1-2】（2022•南京期末）如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、 美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子 的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据立方体的平面展开图规律解决问题即可． 【解答】解：由图可得，“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子 的展开图可能是，B，选项， 而D 选项中，“更”与“祝”的位置互换后则符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（2022•揭阳月考）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于 粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． （1）共有 4 种弥补方法； 1 （2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； （3）在你帮忙设计成功的图中，要把﹣6，8，10，﹣10，﹣8，6 这些数字分别填入六 个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上） 【分析】（1）根据正方体展开图特点：中间4 联方，上下各一个，中间3 联方，上下 各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一 个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法； （2）利用（1）的分析画出图形即可； （3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答不唯一． 【解答】解：（1）根据正方体展开图特点：中间4 联方，上下各一个，中间3 联方， 上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上 面一个，下面有四个位置，所以共有4 种弥补方法， 故答为：4； （2）如图所示： ； （3）如图所示： ． 【题型2 展开图折叠成正方体】 【例2】（2022•简阳市 期末）正方体是由六个平面图形围成的立体图形，设想沿着正方体 的一些棱将它剪开，就可以把正方体剪成一个平面图形，但同一个正方体，按不同的方 式展开所得的平面展开图是不一样的，下面的图形是由6 个大小一样的正方形，拼接而 成的，请问这些图形中哪些可以折成正方体？试试看． 1 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【解答】解：由图示可知：图1，图2，图3，图4，图6，图10，图11，图12 均可以 折成正方体． 【变式2-1】（2022•秦都区期中）如图所示，用标有数字1、2、3、4 的四块正方形，以 及标有字母、B、、D、E、F、的七块正方形中任意一块，用这5 块连在一起的正方形 折叠成一个无盖的正方体盒子，一共有几种不同的方法？写出这些方法所用到正方形所 标有的数字和字母． 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．本题注意要用5 块（其中四块必须 用到数字1234，余下的一块用字母）连在一起的正方形折成一个无盖方盒的限定条件． 【解答】解：将4 个数字和1 个字母括起来的不同的方法有： （1、2、3、4、），（1、2、3、4、B），（1、2、3、4、），（1、2、3、4、D）， （1、2、3、4、E）． 故一共有5 种不同的方法． 【变式2-2】（2022•张家口一模）如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（ ） 1 ． B． ． D． 【分析】结合正方体的展开图中圆点所在面的位置，把展开图折叠再观察其位置，即可 得到这个正方体． 【解答】解：把展开图折叠后，只有B 选项符合图形， 故选：B． 【变式2-3】（2022•宁波模拟）请你插上想象的翅膀：如图是下列六个正方体中哪个的 侧面展开图？你的选择是 E 。 【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，然后结合图中 五个特殊表面的相对相邻关系对六个正方体分析即可解答。 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 有两个相对阴影三角形的面与正方形对角线的阴影直角三角形的面是对面， 有一个阴影三角形和三个空白三角形的面与空白面的三角形是对面， 有对角线的两个三角形的面是对面， 纵观六个正方体，可以；B 右面的两个阴影不对，应是前后两个，不可以；的右面在展 开图中没有，不可以；可以；D 的上面阴影三角形不对，应是另一条对角线的一个阴影 直角三角形，不可以；E 可以；F 的上面对角线不对，应画另一条对角线，不可以。 所以此图是正方体、E 的侧面展开图。 故答为：E。 【题型3 正方体的平面展开图】 【例3】（2022•岳阳模拟）下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图的 正方体纸盒的是（ ） 1 ． B． ． D． 【分析】四个选项中的图都是正方体展开图的“1 4 1” ﹣﹣ 结构．由正方体可以看出，有 图的三个面两两相邻．、、D 折成正方体后有图的面有两个相对，不符合题意；B 折成 正方体后，有图的三个面两两相邻． 【解答】解： 的展开图是 ． 故选：B． 【变式3-1】（2022•南关区校级二模）将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图 中表示棱的线段是（ ） ．B B．D ．DE D．F 【分析】将原图复原找出对应边． 【解答】解：三角形对应的面为DFE， 对应的边为DE． 故选：． 【变式3-2】图①中，为正方体的顶点，在另一顶点B 处有一昆虫．图②、图③是正方体的 两个不同展开图，根据、B 位置的特点，请你在图②、图③中分别标出昆虫B 的位置． 1 【分析】结合正方体的平面展开图，根据平面展开图的特征解题． 【解答】解： 【变式3-3】（2022•舞钢市期末）如图是一个正方体线段B，B，是它的三个面的对角线下 列图形中，是该正方体的表面展开图的是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据线段B，B，所在三个面交于一点，依此即可求解． 【解答】解：根据正方体展开图的特点分析，选项是它的展开图． 故选：． 【题型4 视图与小正方体的个数问题】 【例4】（2022•金水区校级期末）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体从上面 看到的图形，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体从左面看到的 图形是（ ） 1 ． B． ． D． 【分析】根据左视图的定义判断即可． 【解答】解：该几何体的左视图为： 故选：． 【变式4-1】（2022•泰山区期中）如图，是从上面看到的由几个大小相同的小正方体搭成 的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体从左 面看到的形状图是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据左视图的定义解答可得． 【解答】解：由俯视图知，该几何体共3 行2 列， 第1 行有1 个、第2 行有2 个、第3 行有2 个正方体， 其左视图如下所示 ， 故选：B． 【变式4-2】（2022•东港市期中）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的 几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画 出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 1 【分析】由已知条件可知，从正面看有3 列，每列小正方数形数目分别为1，2，3；从 左面看有3 列，每列小正方形数目分别为2，3，1．据此可画出图形． 【解答】解：如图所示： 【变式4-3】（2022•市南区模拟）如图，是由几个边长为1 的小立方体所组成的几何体的 俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的表面积为 46 ． 【分析】根据俯视图得出主视图、左视图的正方形的数目，表面积为三种视图的面积和 的2 倍． 【解答】解：这个几何体的主视图有三列，从左到右分别是3，4，1，左视图有三列， 从左到右分别是3，4，2， 表面积为：（8+9+6）×2＝46， 故答为：46． 【题型5 根据视图确定组成几何体的正方体的个数】 【例5】（2022•揭西县期末）如图所示是由一些大小相同的小正方体构成的三种视图，那 么构成这个立体图的小正方体的个数是（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 【分析】从上面看的视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从正面和侧面看的 1 视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【解答】解：从上面看的视图中可以看出最底层小正方体的个数为6， 从正面看的视图可以看出小正方体的层数为1、2、1 层， 从左面看的视图可以看出小正方体的层数为1、2、1 层， 所以该几何体的正中间是两个小正方体． 所以构成这个立体图形的小正方体的个数为6+1＝7（个） 故选：B． 【变式5-1】（2022 秋•沈阳期末）一个几何体由多个完全相同的小正方体组成，从它的正 面、左面上面看这个几何体的形状图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体的个数 为 5 ． 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层 小正方体的层数和个数，从左视图可看出每一行小正方体的层数和个数，从而算出总的 个数． 【解答】解：由俯视图易得最底层小正方体的个数为3，由其他视图可知第二次的两侧 各有一个正方体，那么共有3+2＝5 个正方体． 故答为：5． 【变式5-2】（2022•越秀区一模）如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从 三个不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 7 ． 【分析】在俯视图上摆小立方体，确定每个位置上摆小立方体的个数，得出答． 【解答】解：在俯视图标出相应位置摆放小立方体的个数，如图所示： 1 因此需要小立方体的个数为7， 故答为：7． 【变式5-3】（2022•秦都区期末）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体从上面看 得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数． （1）请在方格中画出从正面看、从左面看得到的几何体的形状图； （2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从 上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加 3 个小正方体． 【分析】（1）观察图形可知，主视图有3 列，每列小正方形数目分别为2，3，2；左视 图有3 列，每列小正方形数目分别为3，12．据此可画出图形； （2）根据俯视图的各个位置所摆放的小立方体的个数，在保持主视图，俯视图不变的 情况下，添加小立方体，直至最多． 【解答】解：（1）从正面看、从左面看得到的几何体的形状图如图所示： （2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从 上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加1+2＝3 个小正方体． 故答为：3． 【题型6 根据视图确定正方体最多或最少的个数】 【例6】（2022•皇姑区校级期中）下列图是由小正方体组成的几何体从左面和上面看得到 的形状图，则组成该几何体最少需要、最多需要小正方体的个数分别为（ ） ．5，6 B．5，7 ．5，8 D．6，7 【分析】利用俯视图，写出最少，最多的情形，可得结论． 【解答】解：如图，最少的情形有：2+1+1+1＝5 个，最多的情形有：2+2+2+1＝7 个． 1 故选：B． 【变式6-1】（2022•南川区期末）由m 个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分 别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m 的最小值是（ ） ．6 B．5 ．4 D．3 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层 小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高 两层； 由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能 是一行单层一行两层，也可能两行都是两层． 所以图中的小正方体最少4 块，最多5 块． 故选：． 【变式6-2】（2022•莱芜区期末）如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从 不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是 8 ． 【分析】利用俯视图，写出几何体中的小正方体最多时，小正方体的个数即可． 【解答】解：这个几何体小正方体的个数最多是3+3+1+1＝8（个）． 故答为：8． 1 【变式6-3】（2022•清镇市期中）一个立体图形，从正面看到的形状是 ，从左面 看到的形状图是 ．搭这样的立体图形，最少需要 4 个小正方体，最 多可以有 7 个正方体． 【分析】利用俯视图，分别写出最少，最多时，正方形的个数，可得结论． 【解答】解：最少的情形见俯视图，有0+2+0+1+10+1＝4（个）， 最多的情形见俯视图，有1+2+1+1+1+1＝7（个）， 故答为：4，7． 【题型7 棱柱的展开与折叠】 【例7】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是 三棱柱的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【分析】根据已知图形和多面体的特点分析各图的能围成的几何体，熟记三棱锥、三棱柱 的定义与区别解答． 【详解】从图中左边第一个是三棱锥； 第二个是三棱柱； 第三个是四棱锥； 第四个是三棱柱， 故选B． 【点睛】熟记常见立体图形的展开图的特征，是解决此类问题的关键． 1 【变式7-1】（2022·全国·九年级专题练习）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底 面是正三角形，那么这个立体图形是（ ） ．圆柱 B．圆锥 ．三棱柱 D．四棱柱 【答】 【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答． 【详解】解：选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意； B 选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意； 选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意； D 选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握n棱柱的底面是n边形是解题的关键． 【变式7-2】（2022·山东菏泽·七年级期末）下图中经过折叠能围成棱柱的是（ ） ．①②④ B．②③④ ．①②③ D．①③④ 【答】 【分析】根据展开图的特点逐项分析即可． 【详解】①②③能围成棱柱，④围成棱柱时，有两个面重合， 故选 【点睛】本题考查了棱柱的展开图，掌握棱柱的特点及展开图的特点是解题的关键． 【变式7-3】（2022·福建·厦门市逸夫中学七年级期末）小明在学习了《展开与折叠》这一 课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒， 可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识， 回答下列问题： 1 （1）小明总共剪开了 条棱．（直接写出答） （2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个 长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补 全． （3）据小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5 倍．现在已知这个 长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88m，求这个长方 体纸盒的体积． 【答】（1）8；（2）图见详解；（3）长方体纸盒的体积为200 立