山西省太原市2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题Word版含解析

2021~2022 学年第二学期高二年级期中质量监测 数学试卷 一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置） 1. 在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ） A. 散点图和残差图 B. 残差图和列联表 C. 散点图和等高堆积条形图 D. 等高堆积条形图和列联表 【答案】D 【解析】 【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断 【详解】散点图是研究两个变量间的关系， 列联表是研究两个分类变量的， 残差图是体现预报变量与实际值间的差距， 等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系， 故选：D 2. 若 ，则 （ ） A. 2 B. 4 C. 2 或4 D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的性质求解． 【详解】因为 ，所以 或 ，即 或 ． 故选：C． 3. 从5 件不同的礼物中选出2 件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】用分步计数原理计算． 【详解】从5 件不同的礼物中选出2 件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲， 有5 种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4 种不同方法， 总方法为 ． 故选：B． 4. 下列关于 独立性检验的说法正确的是（ ） A. 用 独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误 B. 用 独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误 C. 独立性检验的方法适用普查数据 D. 对于不同的小概率值 ，用 独立性检验推断的结论相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立性检验的思想判断． 【详解】A．独立性检验取决于样本， 来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，样本不同，所得 结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A 错； B．用 独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B 正确 C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，不需要用 独立性检验，依据小概率值推断 两个分类变量的关联性，所以 独立性检验的方法不适用普查数据，C 错； D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，有时有把握，有时无把握，把握率不同，D 错误． 故选：B． 5. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可； 【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以 ， ， ， ， 又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高， 图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即 与 比较大， 与 比较小， 所以 ； 故选：A 6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1 张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】五张人民币可以组成的不同币值的种数分一张，两张，三张，四张，五张共五种情况，将五种情 况的种数加和即可. 【详解】根据题意，五张人民币可以组成的不同币值的种数为： , 故选：A. 7. 以下说法错误的是（ ） A. 用样本相关系数r 来刻画成对样本数据的相关程度时，若 越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 B. 经验回归方程 一定经过点 C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 D. 用相关指数 来刻画模型的拟合效果时，若 越小，则相应模型的拟合效果越好 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，样本相关系数r 来刻画成对样本数据的相关程度，当 越大，则成对样本数据 的线性相关程度越强，故A 正确； 对于B 选项，经验回归方程 一定经过样本中心点 ，故B 正确； 对于C 选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C 正确； 对于D 选项，相关指数 来刻画模型的拟合效果时，若 越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误. 故选：D 8. 已知随机变量X 的期望 ，方差 ，随机变量 ，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据期望与方差的性质计算可得； 【详解】解：因为随机变量X 的期望 ，方差 ，又 ， 所以 ， ； 故选：C 9. 除以8 的余数为（ ） A. B. 1 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理求解，即 ，展开后观察各项值可得． 【详解】 ， 展开式中除最后一项外其他项都是8 的整数倍， 又 ，所以所求余数为7． 故选：D． 10. 某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩 ，规定成绩大于或等于85 分为A 等级， 已知该年级有考生500 名，则这次考试成绩为A 等级的考生数约为（ ） （附： ， ， ） A. 11 B. 79 C. 91 D. 159 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布求得 等级学生的概率，从而可得样本容量． 【详解】由题意 ， ， 人数为 ． 故选：B． 11. 有编号为1，2，3，4，5 的5 支竹签，从中任取3 支，设X 表示这3 支竹签的最小编号，则 （ ） A. 4.5 B. 2.5 C. 1.5 D. 0.45 【答案】D 【解析】 【分析】由题意 可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得； 【详解】解：由题意 可能取得数值为：1，2，3， 所以 ， ， 所以 ． 所以 故选：D． 12. 某校高二年级一班星期一上午有4 节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6 门学科中任选 4 门排在上午的课表中，若前2 节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4 节，体育只能排在第4 节， 则不同的排法种数为（ ） A. 18 B. 48 C. 50 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可. 【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有 种排法； 当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有 种； 当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有 种； 所以不同的排法共有： 种， 故选：C. 二、填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分，把答案写在题中横线上） 13. 已知随机变量 ，则 ______． 【答案】3 【解析】 【分析】若X~B(n，p)，则E(X)＝np． 【详解】∵ ，∴E(X)＝10×0.3＝3． 故答案为：3． 14. 已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为 ，当 父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______． 【答案】0.81 cm 【解析】 【分析】根据线性回归方程的意义作答． 【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm． 故答案为：0.81 cm． 15. 长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时 间超过20 年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20 年的市民中随机抽取1 名市民，则他患 肺癌的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算． 【详解】事件 为患肺癌， ， 事件 为吸烟时间不超过20 年， ，则 ， ， 所以 ， ， ． 故答案为： ． 16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给 另外三人中的任何一人，则经过6 次传球后，球在甲手中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设 表示经过第 次传球后，球在甲手中，设 次传球后球在甲手中的概率为 ，依题意利用 条件概率的概率公式得到 ，即可得到 是以 为首项， 为公比的等比数列， 从而求出 ，再将 代入计算可得； 【详解】解：设 表示经过第 次传球后，球在甲手中，设 次传球后球在甲手中的概率为 ， ，则有 ， ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ，即 ， 当 时 ； 故答案为： 三、解答题（本大题共5 小题，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）求 的展开式的常数项； （2）求 的展开式中的x 的系数． 【答案】（1）60；（2）－15. 【解析】 【分析】（1）求二项式的通项，令通项x 的次数为零即可求解； （2） 的展开式中的x 的系数为 . 【详解】（1） 的展开式的通项公式为 ， 令 ，解得 ， 则 的展开式的常数项为 ； （2） 的展开式的通项公式为 则 的展开式中的 的系数为 18. 已知甲袋中装有4 个白球，6 个黑球，乙袋中装有4 个白球，5 个黑球．先从甲袋中随机取出1 个球放 入乙袋，再从乙袋中随机取出1 个球． （1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率； （2）求从乙袋取出白球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5 个白球，5 个黑球，由此易求概率； （2 ）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑 球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得． 【小问1 详解】 在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5 个白球，5 个黑球，从乙袋取出白球的概率为 ； 【小问2 详解】 从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后 从乙袋取出白球， 所求概率为 ． 19. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如 下数据：抽到服用新药的患者55 名，其中45 名治愈，10 名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的 患者45 名，其中25 名治愈，20 名未治愈． （1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的 列联表； 疗法 疗效 合计 治愈 未治愈 服用新药 服用安慰剂 合计 （2）依据 的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论． 附： ； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析 （2）可以认为新药对治疗该种疾病有效 【解析】 【分析】（1）依题意完成列联表； （2）根据（1）中的列联表计算出 ，由独立性检验的思想判断即可； 【小问1 详解】 解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的 列联表如下： 疗法 疗效 合计 治愈 未治愈 服用新药 45 10 55 服用安慰剂 25 20 45 合计 70 30 100 【小问2 详解】解：零假设 ：假设新药对治疗该种疾病无效， 根据列联表中的数据，可得 ， 根据小概率值的独立性检验，推断出 不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超 过 ， 服用新药中治愈和未治愈的频率分别为 和 ，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为 和 ， 根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大； 说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答． 20. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10 个小球，其中有6 个红球和4 个白球， 从中随机摸出5 个球，至少有4 个红球则中奖． （1）若有放回地每次摸出1 个球，连续摸5 次，求中奖的概率； （2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5 个球．若小明要进 行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？ 【答案】（1） （2）选择方案一 【解析】 【分析】（1）有放回地摸球，求出每次摸到红球概率为 ，然后由独立重复试验的概率公式计算概 率； （2）由概率公式求得方案二的概率，比较可得． 【小问1 详解】 有放回地摸球，每次摸到红球的概率都是 ， 摸5 次球，至少有4 次是红球，含有恰好4 次红球与5 次都是红球， 概率为 ； 【小问2 详解】 无放回地一次摸出5 个球，则得奖概率为 , 显然 ， 所以选择方案一中奖概率大． 21. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10 个小球，其中有6 个红球和4 个白球， 从中随机摸出5 个球，至少有3 个红球则中奖． （1）若有放回地每次摸出1 个球，连续摸5 次，求中奖的概率； （2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5 个球．若小明要进 行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？ 【答案】（1） （2）方案二 【解析】 【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为： ，则连续摸5 次中奖的情况包括3 次红球， 4 次红球和5 次红球，把三种情况的概率加和即可； （2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择. 【小问1 详解】 根据题意，每一次摸出红球的概率为： ， 所以连续摸5 次中奖的概率为： ； 【小问2 详解】 若无放回地一次摸出5 个球，则中奖的概率为： , 因为 ，所以小明应该选择方案二. 说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答． 22. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统 计，整理后得到如下统计表1 和散点图． 表1： x 1 2 3 4 5 y 0.5 1 1.5 3 5.5 （1）求年销售量y 关于年投资额x 的线性经验回归方程； （2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用 作为年销售量y 关于年投资额x 的非线性经验回归方程，请根据表2 的数据，求出此方程； 表2： x 1 2 3 4 5 0 0.4 1.1 1.7 （3）根据 ， 及表3 数据，请用残差平方和 比较（1）和（2）中经 验回归方程的拟合效果哪个更好？ 表3： n 2 3 4 5 的近似值 3.2 5.8 10. 5 18.9 参考公式： ， ． 【答案】（1） （2） （3）第二种非线性回归方程拟合效果更好． 【解析】 【分析】（1）求出 ， ，根据公式计算出 ， 得线性回归方程； （2）求出 ，再求得系数 ，代入得非线性回归方程； （3）根据（1）（2）回归方程分别求得 ，然后计算残差平方和比较可得． 【小问1 详解】 由题意 ， ， ＝1.2， ， 所以线性回归方程为 ； 【小问2 详解】 ，则 ，记 ，即 ， ， ， ， ， 所以 ．即 ； 【小问3 详解】 按（1）可得： x 1 2 3 4 5 y 0.5 1 1.5 3 5.5 －0. 1 0.9 2.3 3.5 4.7 按（2）可得： x 1 2 3 4 5 y 0.5 1 1. 5 3 5.5 0.54 0.96 1.74 3.15 5.67 ， 显然 ，第二种非线性回归方程拟合效果更好． 23. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统 计，整理后得到如下统计表1 和散点图． 表1： x 1 2 3 4 5 y 0.5 1 1.5 3 5.5 （1）求年销售量y 关于年投资额x 的线性回归方程； （2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用 作为年销售量y 关于年投资额x 的非线性回归方程，请根据表2 的数据，求出此方程； 表2： x 1 2 3 4 5 0 0. 4 1.1 1.7 （3）根据 ， 及表3 数据，请用决定系数 比较（1）和（2）中回归方程的拟合效 果哪个更好？ 表3： n 2 3 4 5 的近似值 3.2 5.8 10.5 18.9 参考公式： ， ， ． 【答案】（1） （2） （3）第二种非线性回归方程拟合效果更好． 【解析】 【分析】（1）求出 ， ，根据公式计算出 ， 得线性回归方程； （2）求出 ，再求得系数 ，代入得非线性回归方程； （3）根据（1）（2）回归方程分别求得 ，然后计算 比较可得． 【小问1 详解】 由题意 ， ， ＝1.2， ， 所以线性回归方程为 ； 【小问2 详解】 ，则 ，记 ，即 ， ， ， ， ， 所以 ．即 ； 【小问3 详解】 按（1）可得： x 1 2 3 4 5 y 0.5 1 1.5 3 5.5 －0.1 1.1 2.3 3.5 4.7 按（2）可得： x 1 2 3 4 5 y 0.5 1 1.5 3 5.5 0.54 0.96 1.74 3.15 5.67 ， 显然 ，第二种非线性回归方程拟合效果更好．