山西省太原市2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题Word版含解析

2021~2022 学年第二学期高一年级期中质量监测 数学试卷 一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置） 1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先化复数为代数形式，再根据几何意义确定点所在象限. 【详解】 对应点为 所以复数 在复平面内对应的点位于第三象限， 故选：C 【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析计算能力，属基础题. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加法法则求解 【详解】 故选：A 3. 下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项分析旋转图形可得旋转体的立体图，分析即可得答案. 【详解】解： A 是上面一个圆锥，下面一个圆台，不符合； B 是上下两个圆锥，中间一个圆柱，不符合； C 是上面一个圆柱，下面一个圆锥，符合上图； D 是两个圆锥，不符合. 故选：C 4. 下列结论不正确的是（ ） A. 长方体是平行六面体 B. 正方体是平行六面体 C. 平行六面体是四棱柱 D. 直四棱柱是长方体 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行六面体及直棱柱的概念判断即可； 【详解】解：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，故长方体、正方体是平行六面体， 平行六面体是四棱柱，侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱，当直四棱柱的底面不是矩形时直四棱柱不是长方体， 故D 错误； 故选：D 5. 给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义对结论逐一判断 【详解】由数量积的定义知 ， 对于①，若 ，则 或 ， 不一定成立，①错误 对于②， 成立，②正确 对于③， 与 共线， 与 共线，两向量不一定相等，③错误 对于④， ，④正确 故选：B 6. 已知复数i 关于x 的方程 的一个根，则实数p，q 的值分别为（ ） A. 0，1 B. 0，-1 C. 1，0 D. ，0 【答案】A 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出. 【详解】复数i 关于x 的方程 的一个根， 则复数 也是关于 的方程 的一个根， ∴ ，即 ； ∴ ． 故选：A. 7. 已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若 ，则点O 是△ABC 的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】C 【解析】 【分析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD 与BC 相交于点G,可得 ， 又 =- ，则有 =- ，即AG 是BC 边上的中线，同理，BO，CO 也在△ABC 的中线上,即 可得出结果. 【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD 与BC 相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)， ∴ ， 又 ，可得 =- ，∴ =- ， ∴A，O，G 在一条直线上，可得AG 是BC 边上的中线，同理，BO，CO 也在△ABC 的中线上.∴点O 为三 角形ABC 的重心. 故选：C. 8. 已知 ， ， ，若 ，则下列结论正确的是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解． 【详解】∵ ， ∴ ， ． 故选：B． 9. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的母线以及圆柱的高，由圆锥的体积公式求解即可. 【详解】因为圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆， 所以圆锥的底面周长为 ，则圆锥的母线长为2， 故圆锥的高为 ， 所以圆锥的体积为 ， 故选：A． 10. 在 中， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理与两角和的正弦公式求解 【详解】 ，故 为锐角， ， 则 ， 由正弦定理得 ，故 ． 故选：A 11. 已知等边 的直观图 的面积为 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由原图和直观图面积之间的关系 即可得结果. 【详解】因为直观图 的面积为 ， 所以 ，解得 ， 故选：D. 12. 在 中，点D 在BC 上，且 ，过D 的直线分别交直线AB，AC 于点M，N，记 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平面向量线性运算法则得到 ，从而得到 ，再 根据 、 、 三点共线及平面向量共线定理的推论得到方程，解得即可； 【详解】解：依题意 ， 又 ，即 ， 即 ， 所以 ，因为 、 、 三点共线，所以 ，解 得 ； 故选：C 二、填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分，把答案写在题中横线上） 13. 已知复数 ,则 _______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意知，复数 ，则 ， 故答案为5. 【点睛】本题主要考查了复数的模的计算，其中解答中熟记复数的模的计算公式是解答的关键，着重考查 了运算与求解能力，属于容易题. 14. 已知球O 的表面积是其体积的3 倍，则球O 的半径为______． 【答案】1 【解析】 【分析】设出球的半径，根据球的表面积公式与体积的等量关系，列方程即可求得半径． 【详解】设球的半径为 ， 球 的表面积是其体积的3 倍， 则 ，解得 ， 故答案为：1． 15. 已知 ， ， ，则 在 上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出 ， 的坐标，即可得到 ， ，再根据 求出 在 上的投影向量； 【详解】解：因为 ， ， ，所以 ， ， 所以 ， ， 所以 在 上的投影为 ， 所以 在 上的投影向量为 ， 故答案为： 16. 如图甲，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上， 再将容器慢慢倾斜．给出下面几个结论： ①水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ②图乙中四边形ADHE 的面积为定值； ③图丙中 为定值； ④若 ， ，记 、 分别是将四边形ABCD 和 水平放在地面上时的水面高度，则 ； 其中正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①②③注意到水的 体积和EF 保持不变即可判断；④根据棱柱的体积计算公式即可计算． 【详解】①由题图可知水面 的边 的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知①错 误； ②当容器倾斜如图乙所示时，∵水的体积是不变的，∴棱柱 的体积 为定值，又 ，高 不变，∴ 也不变，即四边形ADHE 的面积为定值，故②正确； ③当容器倾斜如图丙所示时，∵水的体积是不变的，∴棱柱 的体积 为定值，又 ，高 不变，∴ 也不变，即 为定值，故③正确； ④当将四边形ABCD 水平放在地面上时，即图甲所示时，设水的体积为V，则 ，∴ ； 当将四边形 水平放在地面上时，水的体积任然为V，则 ，∴ ； ∴ ，故④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共5 小题，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知复数z 满足 ． （1）求z 及 ； （2）求 的 值． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）由复数及共轭复数的运算求解即可； （2）由复数的运算求解即可. 【小问1 详解】 解：由题意得： ， 【小问2 详解】 18. 已知 ， ， ． （1）当 时，求 的值； （2）若 ，求实数 的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的运算法则和数量积运算法则进行计算；（2）由向量垂直得到等量关系，求 出实数 的值. 【小问1 详解】 当 时， ， 故 ， 【小问2 详解】 ， ， 因为 ， 所以 ， 解得： . 所以实数 的值为 . 19. 如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，记 ， ． （1）用 ， 表示 ， ； （2）求 的余弦值． 【答案】（1） ， . （2） 【解析】 【分析】(1)根据题意，利用向量的加法的线性运算，直接计算即可. (2)根据题意，得 ， ，且 ，由(1)得， ， ，所以，可以分别求出 ，然后，直接利用余弦定理即可求 出 的余弦值 【小问1 详解】 因为 是 的中点， ，所以， ， . . 【小问2 详解】 在 中， ， ， ， 所以， ， ，且 ， 所以， ， ， 是 的中点，所以， . 因此，在 中， ， ， ，利用余弦定理得， . 说明：请同学们在20、21 两个小题中任选一题作答． 20. 在 中， ， ， ，分别以AB，AC，BC 所在直线为轴，其余各边旋转 一周形成的曲面围成3 个几何体，其体积分别记为 ， ， ． （1）求 ， ， 的值； （2）求以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积． 【答案】（1） ， ， ； （2） . 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的体积公式进行求解即可； （2）根据内切球的性质，结合球的体积公式进行求解即可. 【小问1 详解】 以AB 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是圆锥，它的底面半径为 ，它的高为 ， 所以 ； 以AC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是圆锥，它的底面半径为 ，它的高为 ， 所以 ； 以BC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的图形是有公共的底面的两个圆锥， 因为 ， ， ，所以 ， 边 上的高为 ，所以有 ，所以底面半径为 ， 因此 ； 【小问2 详解】 设以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的半径为 ，所以有： ， 所以以BC 所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积为 . 21. 在 中， 、 、 分别为内角 、 、 的对边，且 ，分别以 、 、 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成 个几何体，其体积分别记为 、 、 ． （1）求证： ； （2）求以 所在直线为轴旋转所形成几何体的 内切球的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点 作 ，计算出 ，计算出 、 、 ，验证 成立即 可； （2）取旋转体的轴截面，利用等面积法可求得内切球的半径，再利用球体体积公式可求得结果. 【小问1 详解】 证明：过点 作 ，如下图所示： 由已知可得 ，由等面积法可得 ， 以 为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为圆锥，且该圆锥的底面半径为 ， 高为 ，所以， ，同理 ， 以 为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个共底面的圆锥拼接而成， 且两个圆锥的底面半径均为 ，高分别为 、 ， 所以， ， 所以， . 【小问2 详解】 解：以 为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个共底面的圆锥拼接而成， 取该几何体的轴截面如下图所示： 设内切球球心为点 ，则 在线段 上，设球 的半径为 ， 由等面积法可得 ，即 ，解得 . 所以，球 的体积为 . 说明：请同学们在22、23 两个小题中任选一题作答． 22. 在 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边， ， ， 且 ． （1）求角B 的值； （2）若 ，求 面积的最大值． 【答案】（1） ； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的充要条件及正弦定理角化边，再用余弦定理可 求出角B 的余弦值及角B 的范围即可求解； （2）根据余弦定理找到边 的范围，然后代入三角形的面积公式即可求解. 【小问1 详解】 由 ， ，且 ，得 及正弦定理，得 ，即 . 由余弦定理，可得 ， 【小问2 详解】 由（1）知， ，由余弦定理，得 ， ，即 ， 当且仅当 时，等号成立. 当 时， 取的最大值为 . . 所以 面积的最大值为 . 23. 在 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边， ， ， 且 ． （1）求角B 的值； （2）若 ，求 周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用向量共线基本定理建立三角函数的关系式，利用正弦余弦定理进一步求出 的值； （2）利用（1）的结论和余弦定理求出关系式 ，再利用基本不等式求解即可. 【小问1 详解】 解：由题意得： ， ，且 ，根据正弦定理可得 ，即 又 【小问2 详解】 若 ，由余弦定理可得： ，当且仅当 时取等号 所以三角形 周长的取值范围