重庆市育才中学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题[36108333]

重庆市育才中学校高2025 届届2022-2023 学年（上）期中考试 数学试题 本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分+附加题10 分，考试时间 120 分钟。 注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3.考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.） 1.已知集合 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.已知命题 ： ， ，则 为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 3.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 5.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 6.若 ，则 的最小值为（ ） A.2 B.4 C.5 D.6 7.定义集合 ，若 ， ，且集合 有3 个元 素，则由实数 所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（ ） A.2 B.6 C.14 D.15 8.已知函数 ，且对于 ， ，都满足 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.） 9.下列命题为真命题的是（ ） A.若 ，则 B.若 ， ，则 C.若 ，则 D.若 ， ，则 10.下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11.下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 12.已知函数 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A.函数 的单增区间是 B.函数 在定义域上有最小值为0，无最大值 C.若方程 有三个不等实根，则实数的取值范围是 D.设函数 ，若方程 有四个不等实根，则实数 的取值范围是 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13.幂函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为__________. 14.已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为____ ______. 15.已知函数 的最大值为M，最小值为N，且 ，则实数t 的值为__________. 16.已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值为__________. 四、解答题（本题共7 小题，共70+10 分.17 题题10 分，18 题—22 题题12 分，附加题10 分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.设 ， ， . （1）求 ； （2）求 . 18.已知命题“ ，都有不等式 恒成立”是真命题. （1）求由实数 的所有取值组成的集合 ； （2）设 ，若 ，求实数 的取值范围. 19.为了加强“疫情防控”，并能更高效地处理校园内的疫情突发情况，重庆市育才中学校决定在学校门口右 侧搭建一间高为3 米，底面面积为20 平方米的长方体形状的临时隔离室，设临时隔离室的左右两侧的地面长 度均为 米 .现就该项目对外进行公开招标，其中甲公司给出的报价细目为：临时隔离室的左右两 侧墙面报价为每平方米200 元，前后两侧墙面报价为每平方米250 元，屋顶总报价为3400 元；而乙公司则直 接给出了工程的整体报价关于 的函数关系为 . （1）设公司甲整体报价为 元，试求 关于 的函数解析式； （2）若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由. 20.已知函数 （1）当 时，求关于 的不等式 的解集； （2）当 时，求关于 的不等式 的解集. 21.已知 （1）求函数 的解析式； （2）若 是定义在 上的奇函数，且 时， ，求函数 的解析式； （3）求关于 的不等式 . 22.已知 定义域为 ，对任意 都有 .当 时， ，且 . （1）求 的值； （2）判断函数 单调性，并证明； （3）若 ， 都有 恒成立，求实数 的取值 范围. 附加题（选做）：已知 ， ， 是正实数，证明： 重庆市育才中学校高2025 届2022-2023 学年（上）期中考试 数学试题-参考答案 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.） 1-4CBAD 5-8DBBC 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，至少有两 项是符合题目要求的.） 9.ABD 10.BC 11.AD 12.BCD 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13. ；14. ；15.6；16. 16.由题， ， 其中 , 当且仅当 时取等， 故 , 当且仅当 时取等. 四、解答题（共70+10 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解：（1）由 ，得 ，解得 ， 所以 ， 由 ，得 ，解得 ，所以 ， 所以 . （2）由（1）可知， ， 所以 ，所以 . 18.解：（1）因为 ，都有不等式 恒成立， 所以 ，解得 ，所以 ， （2）因为 ，所以 ，下面分类讨论： ①若 ，即 时，显然 成立； ②若 ，即 时，由 ，有 ，故 ， 综上，实数 的取值范围为 . 19.解：（1）因临时隔离室的左右两侧的长度均为 米，则隔离室前后面的地面长度为 米， 于是得 ， ， 所以y 关于x 的函数解析式是 . （2 ）由（1 ）知，对于公司甲， ，当且仅当 ，即 时取“=”，则当左右两侧墙的长度为5 米时，公司甲的最低报价为15400 元， 对于公司乙，函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 即乙公司最高报价为15380 元， 因 ，因此，无论 取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，所以公司乙能竞标成功. 20.解： ， （1）当 时，不等式等价于 ，则不等式解集 ； （2）当 时，不等式 等价于 ①当 时，令一元二次方程 的两个根为 ， ， 因为 ，所以恒有 ，则不等式解集 ； ②当 时，令一元二次方程 的两个根为 ， ， 1）当 ，即 时，不等式解集 ； 2）当 ，即 时，不等式解集 ； 3）当 ，即 时，不等式解集 . 综上所述：当 时，不等式解集 ； 当 时，不等式解集 ； 当 时，不等式解集 ； 当 时，不等式解集 . 21.解：（1） ，令 ， ， ∴ ，即函数 的解析式为： . （2）当 时， ，且 为 上的奇函数. ∴当 时， ， ∴函数 的解析式为： ， （3）由 ，且 在 上单调递减 ∴ ，∴ ∴ 且 ∴不等式的解集为 . 22.解：（1）令 ，则 ，∴ 令 ， ，则 ，又由 ，∴ （2）设 则 又∵ ，∴ ∴ ，∴ ∴ 是 上的单调递减函数. （3）若 ， 都有 恒成立 即 ∴ ， ， 恒成立 令 ， ，则 ∴ ， ， 恒成立 由 为 上的单减函数，∴ ， ， 恒成立 即 使得 成立，即 令 ，则 即可 ①当 时， 在 上单调递增，∴ ，∴ ②当 时， 在 上单调递减，∴ ，∴ ③当 时，∴ ，∴ ，∴ 综上所述：实数 的取值范围为 . 附加题： 证明：由均值不等式可知： 当且仅当 时取等， 又可利用均值不等式构造： 当且仅当 ，即 时取等，即 ， ， 时取等. 所以 .