湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题

2022 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联 考 高一数学试卷 一､选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数 ，则下列结论正确的是（） A. z 的 虚部为i B. 2 z  C. z 的共轭复数 1 i z   D. 2 z 为纯虚数 2. 若集合     2 ln 2 , { | 1} A x y x x B x x      ∣ ，则   A B  R ð （） A.   0,2 B.   0,1 C.   1,2 D.   1,2 3. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆合体，而无所失矣".这可视为中国古代极限思想的佳作.割圆术可以视为将 一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之 和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 2 的近似值为（） A. 0.035 B. 0.026 C. 0.018 D. 0.033 4. 若非零向量a 、b  满足 = 5 a b b    ，且  a b b    ，则a 与b  的夹角为() A. 6  B. 4  C. 3 4  D. 5 6  5. 如图， A B C  V 是斜二测画法画出的水平放置的ABC  的直观图，D¢是B C   的中点，且   A D // y 轴，   B C // x 轴， 2 A D ， 2 B C ，那么（） A. AD 的长度大于AC 的长度 B. BC 的长度等于AD 的长度 C. ABC  的面积为4 D. ABC  的面积为2 6. 在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的 上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭 1 1 1 1 ABCD A B C D  中， 1 1 2 4 AB A B  ，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为12 2 ， 则该方亭的体积为（） A. 28 2 3 B. 28 3 C. 14 2 3 D. 14 3 7. 如图，在ABC  中，点M 是AB 上的点且满足 3 AM MB  � ，N 是AC 上的点且满足 AN NC  � ，CM 与BN 交于P 点，设AB a  �  ，AC b  �  ，则AP  � （） A. 3 1 5 5 a b    B. 3 2 5 5 a b    C. 1 2 5 5 a b    D. 2 3 5 5 a b    8. 在锐角ABC  中，角A，B，C 所对的边为a，b，c，若 sin sin cos cos 3sin B C A C A a c   ，且 2 2 2 sin sin sin sin sin A B C A B     ，则 2 c a b  的取值范围是（） A. [ 3,2 3) B. (6,4 3] C. [2 3,6) D. [ 3,2) 二､多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9. 在ABC  中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中使得ABC  有唯一一解的是（） A. 3 a ， 4 b ， 30 A   B. 3 a ， 4 b ， 3 cos 5 B  C. 3 a  ， 4 b  ， 30 C   D. 3 a  ， 4 b  ， 30 B   10. 已知 0 x  ， 0 y  且3 2 10 x y   ，则下列结论正确的是（） A.   0 y 5 B. 3 2 x y  的最大值为2 5 C. xy 的最大值为 6 25 D. 2 2 x y  的最小值为 100 13 11. 已知函数 ( ) cos 1( 0) 3 f x x              ， 0 3 f        ，且 ( ) f x 在 5 , 2 6        单调递增，则 下列说法正确的是（） A. 3  B. 将函数 ( ) f x 的图象向左平移3  个单位所得图像关于y 轴对称 C. ( ) f x 的对称中心是 5 ,1 ( ) 2 12         k k   Z D. 若 1 2 2 3 x x    ，则   1 2 0 f x f x   12. 已知点O 为ABC  所在平面内一点，且3 2 4 0    �  OA OB OC ，则下列选项正确的是（） A. 1 2 3 9   � AO AB AC B. 直线AO 不过BC 边的中点 C. : 2:1  △ △ AOB AOC S S D. 若| | | | | | 1 OA OB OC    � ，则 3 16 OC AB   � 三､填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 若不等式| | x a  的一个充分条件为2 0 x    ，则实数a 的最小值是___________. 14. 边长为5 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离 为________. 15. 已知向量 ( ,1) a m   ， (4 ,2)    b n ， 0 m  ， 0 n  ，若 // a b   ，则 1 1 3 1 2    m m n 的最小 值为___________. 16. 如图，在扇形AOB 中， 120 AOB    ，半径 4 OA  ，P 为弧AB 上异于A､B 的一动点，则 PA PB  � 的取值范围是___________. 四､解答题（本共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17. 已知复数    2 2 6 8 3 2 i       z m m m m ，其中i 是虚数单位，m 为实数. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的 值； （2）当复数z 在复平面内对应的点位于第二象限时，求m 的取值范围. 19. 已知长方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  ， 3 AB ，其外接球的表面积为17，过 1 A ､ 1 C ､B 三点的平 面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 1 1 1 ABCD AC D  ，且这个几何体的体积为10. （1）求棱 1 AA 的长： （2）求几何体 1 1 1 ABCD AC D  的表面积. 21. 已知向量 (cos , 1)    a x ， ( 3sin ,1)   b x ，函数 1 ( ) ( ) 2      f x a b a . （1）求函数 ( ) f x 的单调增区间； （2）当 0, 2 x       时，求函数 ( ) f x 的 值域. 23. 在ABC  中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且sin sin 2 (1 cos )(1 cos2 )   A A A A . （1）求角A； （2）若ABC  的面积   2 2 3 8 9 12 S b a   ，求cosC . 25. 在ABC  中， 2 AB ， 1 AC ， 120 BAC   ，点E，F 在BC 边上且BE BC   � ， BF BC   � . （1）若 1 3  ，求AE 的长； （2）若 1 2  ， 2 3  ，求cos EAF  的值. 27. 已知O 为坐标原点，对于函数 ( ) sin cos f x a x b x   ，称向量 ( , ) OM a b  � 为函数 ( ) f x 的 相伴特征向量，同时称函数 ( ) f x 为向量OM � 的相伴函数. （1）记向量 (1, 3) ON  � 的相伴函数为 ( ) f x ，若当 8 ( ) 5 f x  且 , 3 6 x        时，求sin x 的 值； （2）已知 ( 2,3) A  ， (2,6) B ， ( 3,1) OT  � 为( ) sin 6 h x m x         的相伴特征向量， ( ) 2 3 x x h          ，请问在 ( ) y x   的图象上是否存在一点P，使得AP BP  � .若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由. （3）记向量 (1, 3) ON  � 的相伴函数为 ( ) f x ，若当 11 0, 12 x       时不等式 ( ) 0 2          f x kf x  恒成立，求实数k 的取值范围. 2022 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联 考 高一数学试卷 一､选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 【1 题答案】 【答案】D 【2 题答案】 【答案】B 【3 题答案】 【答案】A 【4 题答案】 【答案】B 【5 题答案】 【答案】C 【6 题答案】 【答案】B 【7 题答案】 【答案】A 【8 题答案】 【答案】D 二､多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 【9 题答案】 【答案】BCD 【10 题答案】 【答案】ABD 【11 题答案】 【答案】BC 【12 题答案】 【答案】BCD 三､填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 【13 题答案】 【答案】2 【14 题答案】 【答案】 2 5 4 2 + 【15 题答案】 【答案】 4 9 【16 题答案】 【答案】[ 8,0) - 四､解答题（本共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 【17 题答案】 【答案】（1） 4 m  （2）  2,4 【18 题答案】 【答案】（1）2；（2）24 22  . 【19 题答案】 【答案】（1） , 3 6 k k k Z              （2） 1 ,1 2        【20 题答案】 【答案】（1）3  （2） 5 7 14 【21 题答案】 【答案】（1） 13 3 （2） 3 2 【22 题答案】 【答案】（1） 4 3 3 10  （2）存在，点 (0,2) P （3）( 3, 1)  