湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题

2022 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联 考 高二数学试卷 一、单项选择题:本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小瓶给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数  f x 的定义域为R，若    0 1 1 lim 1 2 x f x f x     △ △ ，则  1 f  （ ） A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 4 2. 已知随机变量     2 ~ 4, , 5 0.76 N P     ，则  3 P 的 值为（） A. 0.24 B. 0.26 C. 0.68 D. 0.76 3. 《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021 年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆 节的白天可以放映6 场，晚上可以放映4 场电影，一天内这两部影片各只放映一次，《长津湖》 必须在白天放映，《我和我的父辈》只能在晚上放映，则一天内放映这两部电影不同的安排方 式共有（ ） A. 10 种 B. 16 种 C. 24 种 D. 36 种 4. 甲乙两位游客慕名来到咸宁泡温泉，准备分别从三江森林温泉、太乙温泉、温泉谷和瑶池温 泉4 个温泉中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的温泉不同，事件B：甲和乙至少一人 选择三江森林温泉，则条件概率  | P B A （） A. 1 4 B. 3 4 C. 2 3 D. 1 2 5. 函数  f x 的图象如图所示，  f x  为函数  f x 的导函数，下列数值排序正确的是（） A.     0 2 3 3 2 f f f f       B.     0 3 3 2 2 f f f f       C.     0 3 2 3 2 f f f f       D.     0 3 2 2 3 f f f f       6. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详 解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654 年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年． 在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2 行的第3 个数字为 1 a ，第3 行的第3 个 数字为 2 a ，……，第  2 n n  行的第3 个数字为 1 n a 则 1 2 3 9 a a a a    （） A. 165 B. 120 C. 220 D. 96 7. 已知  0 1 2 2 1 2 n n n n n n n x H H x H x H x         ，其中 *, 2, i n n n H   N 为  1 2 n x  展开式中 i x 项的系数， 0,1,2, , i n   ．给出下列命题： ① 4 3 4 8 8 9 2 H H H   ② 9 9 9 1 3 i i H    ③ 6 9 H 是 0 1 9 9 9 9 , , , H H H  的最大项 其中正确命题是个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数  ln e x f x x x x k      恒有零点，则实数k 的取值范围是（） A.   , 1  B. 1 , 1 e        C. 1 1 , 1 e         D. 1 1 ,0 e         二、选择题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 若随机变量Ｘ服从两点分布，且  1 0 3 P X   ，则（ ） A.    1 P X E X   B.  2 9 D X  C.   7 4 1 3 E X   D.   32 4 1 9 D X   10. 现安排高二年级A，B，C 三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，每名同学 只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的 是（） A. 所有可能的方法有 5 3 种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61 种 C. 若同学A 必须去工厂甲，则不同的 安排方法有20 种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有60 种 11. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，也曾到过我市通城县进 行试验，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术 体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．袁老领衔的科研团队 成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100 公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为,  ） 均服从正态分布，其中，   2 1 1 ~ , N   ，   2 2 2 ~ , N   ．如图，已知 1 1160  ， 2 2 2 2 1 1140, 2500, 1600       ，两正态密度曲线在直线 2 x   左侧交于点   0 0 , M x y ，则 下列说法正确的是（） A.     1 2 P P        B.     1 2 P P        C.     0 0 P x P x      D.     1310 1020 P P      12. 已知e 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（） A. 2 ln 2 e  B. 2 ln 2 ln3 3  C. 9ln 2 4ln3  D. ln15 15 ln 2  三、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 已知函数  e sin x f x x x    ．则  f x 在    0, 0 f 处的切线方程为_________． 14. 已知随机变量X 的分布列为 X -1 0 1 P x 1 3 1 2 则随机变量X 的方差  D X 的值为_________． 15. 某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从6 篇古诗词中随机抽3 篇让学生背诵，规定至 少要背出其中2 篇才能过关，某同学只能背诵其中的4 篇，则该生他能过关的概率为__________ __． 16. 某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲 与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小 组投进的次数之和为4 次的称为“神投小组”，获得二次“神投小组”的队员可以结束训练．已知甲、 乙两名队员每次投进篮球的概率分别为 1 2 , p p ，若 1 2 1 p p  ，在游戏中，甲乙两名队员想结 束训练，理论上他们小组要进行________轮游戏才行． 四、解答题:本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）求函数    2 2 1 2ln f x x x    在 1 x 处的导数  1 f  ； （2）已知函数  f x 的导函数为  f x  ，且   2 3 2 ln f x x xf x     ，求  2 f  ． 18. 已知 3 1 2 n x x       展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等． （1）求n 的值； （2）求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）． 20. 如图所示，某风景区在一个直径AB 为400m 的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A 与圆 弧上一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿圆弧 BC 的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注:小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 BAC    （弧度），将绿化带总长度 S 表示为的函数； （2）试确定 的值，使得绿化带总长度最大，并求最大值． 22. “双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600 名学生，得到的数据统计如下表所示： 周末体育锻炼 时间  min t   30,40   40,50   50,60   60,70   70,80   80,90 频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05 （1）估计这600 名学生周末体育锻炼时间的平均数t ；（同一组中的数据用该组区间的中点值 代表） （2）在这调查的 600 人中，用分层抽样的方法从周末体育锻炼时间在  40,60 内的学生中已经 抽取了10 人．现在，从这10 人中随机抽取3 人，记这3 人中周末体育锻炼时间在  50,60 内的 人数为X，求X 的分布列以及数学期望 E X ． 24. 某中学小蔡老师在校“五一”表彰活动中，根据学生表现筛选出品学兼优的李好，张好，王 学，徐习四人，欲从此4 人中选择一人为“校优秀学生”，现进入最后一个互投环节，李好， 张好，王学，徐习四人每人一票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一 人的概率相同． （1）记李好的得票数为X，求X 的分布列和数学期望； （2）求最终仅李好一人获得最高票数的概率． 26. 已知函数   ln , ln 1 f x x x x g x x ax     ． （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）若当 0 x  时， 0 g x ，求实数a 的取值范围； （3）设0 m x n    ，证明： ( ) ( ) ( ) ( ) f x f m f x f n x m x n      ． 【1 题答案】 【答案】B 【2 题答案】 【答案】A 【3 题答案】 【答案】C 【4 题答案】 【答案】D 【5 题答案】 【答案】B 【6 题答案】 【答案】A 【7 题答案】 【答案】C 【8 题答案】 【答案】B 【9 题答案】 【答案】ABD 【10 题答案】 【答案】BD 【11 题答案】 【答案】BC 【12 题答案】 【答案】ABD 【13 题答案】 【答案】3 1 0 x y   【14 题答案】 【答案】 5 9 【15 题答案】 【答案】 4 5 ##0.8 【16 题答案】 【答案】32 【17 题答案】 【答案】（1）10；（2） 9 4  . 【详解】（1）函数    2 2 1 2ln f x x x    ，求导得：函数    2 4 1 f x x x     ， 所以  10 1 f   ； （2）因   2 3 2 ln f x x xf x     ，两边求导得：   1 2 3 2 f x x f x      ， 当 2 x 时，   1 2 4 3 2 2 f f     ，解得 9 (2) 4 f   ， 所以  9 2 4 f   . 【18 题答案】 【答案】（1）8；（2）2160 . 【小问1 详解】 由题意，二项式展开式的通项公式    4 1 3 3 1 2 2 k k n k n k k n k k n n T C x x C x       ． 所以第三项系数为 2 2 2n n C  ，第四项系数为 3 3 2n n C  ， 由 2 2 3 3 2 2 n n n n C C    ，解得 8 n ，即n 的值为8． 【小问2 详解】 由（1）知：   4 3 8 8 1 8 2 0,1,2,3, ,8 k k k k T C x k     L ． 当 0 k  ，3，6 时，对应的是有理项． 当 0 k 时，展开式中对应的有理项为 0 8 8 8 1 8 2 256 T C x x   ； 当 3 k 时，展开式中对应的有理项为 3 5 4 4 4 8 2 1792 T C x x   ； 当 6 k 时，展开式中对应的有理项为 6 2 0 7 8 2 112 T C x   ； 故展开式中有理项的系数之和为256 1792 112 2160    ． 【20 题答案】 【答案】（1） (800cos 400 )m S      ，0 2     ； （2） 6   ； 200 (400 3 )m 3   . 【小问1 详解】 连接OC，BC，如图， 由AB 是半圆直径得 90 ACB    ，而 400m AB  ， BAC    ，则 400cos AC   ， 2 2 COB BAC     ，则圆弧BC 长为400 ， 所以 800cos 400 S      (m)，0 2     . 【小问2 详解】 由（1）知， 800cos 400 S      ，0 2     ，求导得：  400(1 2sin ) S      ， 当0 6     时，  0 S    ，当6 2      时，  0 S    ，即 S 在(0, ) 6  上单调递增，在 ( , ) 6 2  上单调递减， 则当 6   时， max 200 ( ) ( ) 400 3 6 3 S S       (m)， 所以 6   时，绿化带总长度最大，最大值为 200 (400 3 )m 3   . 【22 题答案】 【小问1 详解】 解：由表中数据可得， 35 0.1 45 0.2 55 0.3 65 0.2 75 0.15 85 0.05 57.5 t              ， 故这600 名学生周末体育锻炼时间的平均数t 为 57.5min ． 【小问2 详解】 由题意可得，10 人中锻炼时间在  40,50 的人数为 0.2 10 4 0.2 0.3    人， 在  50,60 的人数为10 4 6  人， 则X 所有可能取值为0，1，2，3， 4 3 3 10 ( 0) 30 C 1 C P X    ， 2 1 4 6 3 10 C C 3 ( 1) C 10 P X    ， 1 2 4 6 3 10 C C 1 ( 2) C 2 P X    ， 3 6 3 10 1 ( 3) 6 C C P X    ， 故X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 故 1 3 1 1 9 ( ) 0 1 2 3 30 10 2 6 5 E X    ． 【24 题答案】 【小问1 详解】 由题意每个人投给其他任何一人的概率均为 1 3 X 的取值为0,1,2,3   3 1 8 0 1 3 27 P X           ;   2 1 3 1 1 4 1 C 1 3 3 9 P X              2 2 3 1 1 6 2 C 1 3 3 27 P X                   ;   3 3 3 1 1 3 C 3 27 P X           X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 27 4 9 6 27 1 27 则 8 4 6 1 0 1 2 3 1 27 9 27 27 E X     【小问2 详解】 最终仅李好一人获得最高票数，则李好得票数为3 票或2 票（其他人得票数小于2 票） 若李好得票数为3 票的概率为 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 27 P          李好得票数为2 票（其他人得票数小于2 票）时， 不妨假设张好，王学投票为李好； 若李好投票给张好，徐习只能投票给王学； 若李好投票给王学，徐习只能投票给张好； 李好投票给徐习，徐习可以投票给张好或王学； 所以其概率为： 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 4 C 2 3 3 3 3 3 3 3 3 27 P            所以最终仅李好一人获得最高票数的概率为： 1 4 5 27 27 27   【26 题答案】 【小问1 详解】 函数  ln f x x x x   的定义域为(0, ) ，求导得：  ln f x x   ， 当0 1 x  时， ( ) 0 f x   ，当 1 x  时， ( ) 0 f x   ，即函数  f x 在(0 ,1 )上递减，在(1, )  上递增， 所以函数  f x 的递减区间是(0 ,1 )，递增区间是(1, ) . 【小问2 详解】 当 0 x  时， ln 1 0 x g x a x    ，令 ln 1 ( ) , 0 x h x x x    ，则 2 ln ( ) x h x x   ， 当0 1 x  时， ( ) 0 h x   ，当 1 x  时， ( ) 0 h x   ，即函数( ) h x 在(0 ,1 )上递增，在(1, )  上递 减， 当 1 x 时， max ( ) (1) 1 h x h  ，则有 1 a ， 所以实数a 的取值范围是 1 a . 【小问3 详解】 依题意， ( ) ( ) ln ln ( ) ( )ln (ln ln ) 1 f x f m x x m m x m x m x m x m x m x m x m              ln ln 1 1 x m x x m