2021—2022学年下期期中高一数学答案

1 河南省实验中学2021--2022 高一数学期中考试答案 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D B A D D D C C B A 13．1 14．3 3 15．2 3 16． 28 7��� 3 17.证明:解：(1)∵���1 = (���+ ���)2，z2＝4﹣3i，z1＝iz2， ∴（a+i）2＝a2﹣1+2ai＝3+4i，从而���2 −1 = 3 2���= 4 ，解得a＝2， 所以实数a 的值为2． (2)依题意得： ���1 ���2 = (���+���)2 4−3���= (���2+2������−1)(4+3���) 25 = (4���2−6���−4)+(3���2+8���−3)��� 25 ， 因为 ���1 ���2 是纯虚数，所以：4���2 −6���−4 = 0 3���2 + 8���−3 ≠0，从而a＝2 或���=−1 2； 又因为a 是正实数，所以a＝2． 18.解：解：(1)∵|��� →| = 1，|��� → | = 1，＜��� →，��� → ＞= ��� 3，∴��� →⋅��� → = 1 2， ∴|2��� →+ ��� → | = (2��� →+ ��� → )2 = 4��� → 2 + 4��� →⋅��� → + ��� → 2 = 7； (2)方法一：(��� →+ ������ → )//(������ →+ ��� → )， 则存在非零实数λ，使��� →+ ������ → = ���(������ →+ ��� → ) = ��������� →+ ������ → ， 由共面定理得������= 1 ���= ���，则k＝±1． 方法二：由已知��� → = (1，0)或��� → = ( −1 2 ，3 2 )， 当��� → = (1，0)，��� →+ ������ → = ( 1 2 + ���，3 2 )，������ →+ ��� → = ( ��� 2 + 1，3��� 2 )， ∴( 1 2 + ���) ⋅3��� 2 −( ��� 2 + 1) ⋅ 3 2 = 0，则k＝±1， 同理��� → = ( −1 2 ，3 2 )时，k＝±1， 综上，k＝±1． 19.证明：(1)取BC 中点E，连结EN，EM， ∵N 为PC 的中点，∴NE 是△PBC 的中位线 ∴NE∥PB， 又∵AD∥BC，∴BE∥AD， ∵AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段AD 上一点，AM＝2MD， ∴BE= 1 2BC＝AM＝2，∴四边形ABEM 是平行四边形， ∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB． 2 (2)取AC 中点F，连结NF， ∵NF 是△PAC 的中位线， ∴NF∥PA，NF= 1 2 ������=2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD， 如图，延长BC 至G，使得CG＝AM，连结GM， ∵AM∥ =CG，∴四边形AGCM 是平行四边形，∴AC＝MG＝3， 又∵ME＝3，EC＝CG＝2，∴△MEG 的高h= 5， ∴S△BCM= 1 2 × ������× ℎ= 1 2 × 4 × 5 =2 5， ∴四面体N ﹣BCM 的体积VN ﹣BCM= 1 3 × ���△���������× ������= 1 3 × 2 5 × 2 = 4 5 3 ． 20.解：(1)因为cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC． 所以1﹣sin2C＝sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC， 即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC，由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac， 由余弦定理得，cosB= ���2+���2−���2 2������ =−1 2，由B 为三角形内角得，B＝120°； (2)由题意得，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，且∠ABD= ∠CBD= 1 2 ∠B＝60°，BD＝1， 所以 1 2acsinB= 1 2c•BD•sin60°+ 1 2 ���•BD•sin60°，所以 3 4 ������= 3 4 （a+c） ，即ac＝a+c， 因为b＝2 3，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2﹣2accos120°＝a2+c2+ac， 因为（a+c）2＝a2+c2+2ac＝12+ac＝（ac）2，所以ac=a+c＝4 或ac＝﹣3（舍） ， 故△ABC 的周长为4 + 2 3． 21.解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，而AB∩BC＝B， 可得PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD； (2)证明：由BD⊥PA，又△ABC 为等腰直角三角形，可得BD⊥AC， 而PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC， 而BD⊂平面PBD，可得平面BDE⊥平面PAC； (3)由PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面DEB＝DE，所以PA∥DE， 则DE= 1 2PA= 3，由于PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC， 所以∠EBD 为直线EB 与平面ABC 所成角． 因为BD= 1 2AC＝1，所以tan∠EBD= ������ ������= 3， 所以∠EBD＝60°．即直线EB 与平面ABC 所成角为60°．