2021—2022学年下期期中高一数学试卷

河南省实验中学2021——2022学年下期期中试卷 高一 数学 命题人：宋苗珂 审题人：程建辉 （时间：120 分钟，满分：150 分） 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．复数（3+i）m﹣（2+i）对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A．m＜2 3 B．m＜1 C．2 3 ＜m＜1 D．m＞1 2．已知向量a → =(2，0)，b → =(1，1)，若向量a →与向量a → −λ b →垂直，则实数λ＝（ ） A．1 2 B．1 C．2 D．3 3．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若A=45°，a=❑ √2，b=❑ √3，则 B 等于（ ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1 的等 腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ） A．1 2 + ❑ √2 2 B．2+❑ √2 C．1+❑ √2 D．1+ ❑ √2 2 5．已知两条不同的直线m，n 和平面α，下列结论正确的是（ ） ①m∥n，n⊥α，则m⊥α； ②m∥α，n∥α，则m∥n； ③m⊥α，n⊥α，则m∥n； ④m 与平面α 所成角的大小等于n 与平面α 所成角的大小，则m∥n． A．①③ B．①② C．②③ D．①④ 6．已知i，j 为互相垂直的单位向量，a → =−i → +2 j →，b → =3 i → +( λ−4) j → ，且a →与a → +b →的 夹角为钝角，则λ 的取值范围为（ ） A．（3，+∞） B．（3，4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，3） 7．已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，且acosC+bcosA＝b，则△ABC 是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E 为BC 的中点，则异面直线CB1与DE 所成角的 余弦值为（ ） A． ❑ √6 3 B． ❑ √2 2 C．2❑ √5 5 D． ❑ √10 10 9．锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c 且❑ √3（acosB+bcosA）＝2csinB， a＝2．则边长b 的取值范围是（ ） A．(0，❑ √3) B．(0，2❑ √3) C．（❑ √3，2❑ √3） D．(❑ √3，+∞) 10．如图所示，点 在以 为圆心2 为半径的圆弧 上运动，且 ，则 的最小值为 A． B． C．0 D．2 11．如图，在正方体 中， ， ， 分别为 ， 的中点， ， 分别为棱 ， 上的动点，则三棱锥 的体积 A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为 C．为定值 D．不确定，与 ， 的位置有关 12．在△ABC 中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，a•cosC+3c•cosA ＝0，则△ABC 面积的最大值为（ ） A．1 B．❑ √3 C．2 D．4 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13． 若O 为△ABC 的重心（重心为三条中线交点），且 ，则λ＝ ． 14．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A 出发，绕圆 锥 侧面一周，再次回到A 点，则该质点经过的最短路程为 ． 15．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2¿ ❑ √3+¿i，则|z1﹣z2|＝ ． 16．已知体积为❑ √3的三棱锥P﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA⊥平面ABC，PA ＝2，∠ABC＝120°，则球O 的体积最小值为 ． 三、解答题（共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 题10 分，其 余试题每题12 分） 17．已知复数z1=(a+i) 2，z2＝4 3 ﹣i，其中a 是实数． (1) 若z1＝iz2，求实数a 的值； (2) 若z1 z2 是纯虚数，求a 的值． 18．已知a → =( 1 2 ， ❑ √3 2 )，¿ b → ∨¿1，且a →，b →的夹角为π 3 ． (1) 求¿2 a → +b → ∨¿ ； (2) 若( a → +k b → )(k a → +b → )，求实数k 的值． 19．如图，四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝ BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM＝2MD，N 为PC 的中点． (1) 证明：MN∥平面PAB； (2) 求四面体N﹣BCM 的体积． 20 ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2C ＝ sin2A+cos2B+sinAsinC． (1) 求角B 的大小； (2) 若b=2❑ √3，角B 的角平分线交AC 于D，且BD＝1，求△ABC 的周长． 21．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝2❑ √3，AB＝BC ¿ ❑ √2， D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． (1) 求证：PA⊥BD； (2) 求证：平面BDE⊥平面PAC； (3) 当PA∥平面BDE 时，求直线EB 与平面ABC 所成的角． 22．如图，设△ABC 中角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，AD 为BC 边上的中线，已 知c＝1 且2csinAcosB＝asinA﹣bsinB+1 4 bsinC，cos∠BAD¿ ❑ √21 7 ． (1) 求b 边的长度； (2) 设点E，F 分别为边AB，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G，且△AEF 的面积 为△ABC 面积的一半，求AG → ⋅EF →的最小值．