2021—2022学年下期期中高一数学答案

河南省实验中学2021--2022 高一数学期中考试答案 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D B A D D D C B C A 13．1 14．3 ❑ √3 15．2❑ √3 16．28 ❑ √7 π 3 17.证明:解： (1)∵z1=(a+i) 2，z2＝4 3 ﹣i，z1＝iz2， ∴（a+i）2＝a2 1+2 ﹣ ai＝3+4i，从而{ a 2−1=3 2a=4 )，解得a＝2， 所以实数a 的值为2．……5 分 (2)依题意得：z1 z2 =(a+i) 2 4−3i =(a 2+2ai−1)(4+3i) 25 =(4 a 2−6a−4)+(3a 2+8a−3)i 25 ， 因为z1 z2 是纯虚数，所以：{ 4 a 2−6a−4=0 3a 2+8a−3≠0)，从而a＝2 或a=−1 2； 又因为a 是正实数，所以a＝2．……10 分 18.解：解： (1)∵¿ a → ∨¿1，¿ b → ∨¿1，＜a → ，b → ＞= π 3 ，∴a → ⋅b → =1 2， ∴¿2 a → +b → ∨¿ ❑ √(2a → +b → ) 2= ❑ √4 a → 2+4 a → ⋅b → +b → 2=❑ √7；……6 分 (2)方法一：( a → +k b → )/¿(k a → +b → )， 则存在非零实数λ，使a → +k b → =λ(k a → +b → )=λk a → +λ b → ， 由共面定理得{ kλ=1 λ=k )，则k＝±1．……12 分 方法二：由已知b → =(1，0)或b → =(−1 2 ， ❑ √3 2 )， 当b → =(1，0)，a → +k b → =( 1 2 +k ， ❑ √3 2 )，k a → +b → =( k 2 +1， ❑ √3k 2 )， ∴( 1 2 +k )⋅ ❑ √3k 2 −( k 2 +1)⋅ ❑ √3 2 =0，则k＝±1， 同理b → =(−1 2 ， ❑ √3 2 )时，k＝±1， 综上，k＝±1．……12 分 19.证明：(1)取BC 中点E，连结EN，EM， ∵N 为PC 的中点，∴NE 是△PBC 的中位线 ∴NE∥PB， 又∵AD∥BC，∴BE∥AD， ∵AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段AD 上一点，AM＝2MD， ∴BE¿ 1 2BC＝AM＝2，∴四边形ABEM 是平行四边形， ∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．……6 分 (2)取AC 中点F，连结NF， ∵NF 是△PAC 的中位线， ∴NF∥PA，NF¿ 1 2 PA=¿2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD， 如图，延长BC 至G，使得CG＝AM，连结GM， ∵AM∥ ¿ CG，∴四边形AGCM 是平行四边形，∴AC＝MG＝3， 又∵ME＝3，EC＝CG＝2，∴△MEG 的高h¿ ❑ √5， ∴S△BCM¿ 1 2 ×BC ×ℎ=1 2 ×4×❑ √5=¿2❑ √5， ∴四面体N﹣BCM 的体积VN﹣BCM¿ 1 3 ×S△BCM × NF=1 3 ×2❑ √5×2= 4 ❑ √5 3 ．……12 分 20.解：(1)因为cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC． 所以1 sin ﹣ 2C＝sin2A+1 sin ﹣ 2B+sinAsinC， 即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC，由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac， 由余弦定理得，cosB¿ a 2+c 2−b 2 2ac =−1 2，由B 为三角形内角得，B＝120°；……5 分 (2)由题意得，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，且∠ABD¿∠CBD¿ 1 2 ∠B＝60°，BD＝1， 所以1 2acsinB¿ 1 2c•BD•sin60°+1 2 a•BD•sin60°，所以 ❑ √3 4 ac= ❑ √3 4 （a+c），即ac＝a+c， 因为b＝2❑ √3，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2 2 ﹣accos120°＝a2+c2+ac， 因为（a+c）2＝a2+c2+2ac＝12+ac＝（ac）2，所以ac=a+c＝4 或ac＝﹣3（舍）， 故△ABC 的周长为4+2❑ √3．……12 分 21.解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，而AB∩BC＝B， 可得PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD；……3 分 (2)证明：由BD⊥PA，又△ABC 为等腰直角三角形，可得BD⊥AC， 而PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC， 而BD⊂平面PBD，可得平面BDE⊥平面PAC；……7 分 (3)由PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面DEB＝DE，所以PA∥DE， 则DE¿ 1 2PA¿ ❑ √3，由于PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC， 所以∠EBD 为直线EB 与平面ABC 所成角． 因为BD¿ 1 2AC＝1，所以tan∠EBD¿ ED BD =❑ √3， 所以∠EBD＝60°．即直线EB 与平面ABC 所成角为60°．……12 分 22.解：(1)由条件2csinAcosB=asinA −bsinB+ 1 4 bsinC， 可得：2cacosB=a 2−b 2+ 1 4 bc，化简可得：4c＝b，而c＝1，所以：b＝4．……4 分 (2)设¿ AE → ∨¿ x，∨AF → ∨¿ y，因为△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，所以xy＝2， 设AG → =λ AD →，则AG → =λ AD → = λ 2 AB → + λ 2 AC → ， 又E，G，F 共线，所以设AG → =μ AE → +(1−μ) AF → ， 则AG → =μ AE → +(1−μ) AF → =xμ AB → + y(1−μ) 4 AC → ， 所以：{ xμ= λ 2 y(1−μ) 4 = λ 2) ，解得：μ= y 4 x+ y ， 所以：AG → = 2 4 x+ y AB → + 2 4 x+ y AC → ，又EF → = y 4 AC → −x AB → ， 所以：AG → ⋅EF → =( 2 4 x+ y AB → + 2 4 x+ y AC → )⋅( y 4 AC → −x AB → ) ¿ 2 4 x+ y [ y 4 AC → 2−x AB → 2+( y 4 −x) AC → ⋅AB → ]=9 y −6 x 4 x+ y ， 又xy＝2，所以化简可得：AG → ⋅EF → =9 y −6 x 4 x+ y =18−6 x 2 4 x 2+2 ， 又y≤4，所以1≥x ≥1 2， 所以AG → ⋅EF → ≥2，当x＝1 时等号成立．……12 分