黑龙江省鹤岗市第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题

鹤岗一中高二学年上学期第一次月考数学试题 一、单选题：本题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线的斜率为 ，倾斜角为 ，若 ，则 的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 2．圆 和 的位置关系是（ ） A．相交 B．外离 C．内切 D．外切 3．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程 有实 数根的样本点个数为（ ） A．17 B．18 C．19 D．20 4．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一动点（异于 左、右顶点），若△ 的周长为6，且面积的最大值为 ，则椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线的方程是 ，直线 的方程是 ，则下列各图 中，正确的是（ ）． A． B． C． D． 6．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B ＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中 飞机”，下列关系不正确的是（ ） A．A⊆D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 7．已知两平行直线， 分别过点 ， ，它们分别绕 ， 旋转，但始终 保持平行，则， 之间的距离的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 8．若直线 与曲线 有公共点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，满足 ，且点 到直线的距离不小于 ，则离 心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知边长为 的等边三角形 ， 是平面 内一点，且满足 ，则 三角形 面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2 小题，每小题5 分，共10 分。在每小题给出的四个选 项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选 错的得0 分。 11.下面叙述错误的是（ ） A．经过点 ，倾斜角为 的直线方程为 B．若方程 表示圆，则 C．直线 和直线 间的距离为 D．若椭圆 的一个焦点坐标为 ，则长轴长为 12．（多选）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，则（ ） A．过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，则的周长为4 B．椭圆 上存在点 ，使得 C．椭圆 的离心率为 D． 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则点 ， 的最大距离为3 三、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必 要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步． 某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部 分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成 角，则该椭圆的离心率为__________． 14．直线 与x 轴、y 轴分别相交于点A、B，O 为坐标原点，则的内切圆的方程 为_____________. 15．已知的顶点 ， 边上的高所在直线为 ，D 为 中点，且 所在 直线方程为 ．则 边所在的直线方程为 16．已知点P 是直线 上一点，过点P 作圆 的两条切线，切 点分别为A 和B．若圆心O 到直线 的距离的最大值为 ，则实数m=________． 四、解答题:本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 17．已知直线 和 的交点为 ． （1）若直线经过点 且与直线 平行，求直线的方程； （2）若直线 经过点 且与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，P 为线段AB 的中点，求的 面积（其中O 为坐标原点）． 18．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位 参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比 赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ， ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 ， .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲、乙两人中选取1 人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 19．已知圆 的方程为 （1）求过点 且与圆 相切的直线方程； （2）若直线 与圆 相交于 、 ，求弦长 的值． ． 20．如图所示，已知椭圆 的两焦点分别为 ， ， 为椭圆上一点，且+. （1）求椭圆 的标准方程； （2）若点 在第二象限， ，求 的面积 21．平面直角坐标系 中，已知点 ，圆 与 轴的正半轴的交于点为 . （1）若过点 的直线与圆 交于不同的两点 ， .线段 的中点为 ，求点 的轨 迹方程； （2）设直线 ， 的斜率分别是 ， ，证明： 为定值. 22．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，且椭圆 C 上的点M 满足 ， ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）点 是椭圆 的上顶点，点 在椭圆C 上，若直线 ， 的斜率分别为 ， 满足 ，求三角形面积的最大值． 1. B 2．C． 3．C 4．A 5．A．6．D 7．C. 8．A 9． ．10． C 11．AC 12． BD． 13． 14． . 15． . 16. 4. 17． 【答案】（1） ；（2）30 解：（1）由 ，解得： ，可得直线 和 的 交点为 ，由于直线l3的斜率为 ，故过点P 且与直线 平行的直 线l 的方程为 ，即 ； （2）由题意知：直线m 的斜率存在且不为零，设直线m 的斜率为k，则直线m 的方程为 ， 由于直线m 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，且 为线段AB 的中点， 故： ， ，解得 ，故 ， 故 的面积为 . 18．【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2） . 解：（1）设 “甲在第一轮比赛中胜出”， “甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”， “乙在第二轮比赛中胜出”，则 “甲赢得比赛”， . “乙赢得比赛”， . 因为 ，所以派甲参赛获胜的概率更大. （2）由（1）知，设 “甲赢得比赛”， “乙贏得比赛”， 则 ； . 于是 “两人中至少有一人赢得比赛” . 19． 【答案】（1） 或 ；（2） ． （1）由 可得 ，所以圆心为 ，半径 ， ①当直线斜率不存在时，由过点 得直线方程为 ，与 的距离为 ，此时与 圆相切，符合题意； ②当直线斜率存在时，可设斜率为 ， 直线方程为 ，即 ，圆心 到直线的距离 ， 即 ，解得 ．所以直线方程为 ．综上所述：所求直线方程为 或 ． （2）圆心 到直线 与的距离 ， 又因为半径 ，所以 20． 【答案】（1） ；（2） ． （1）设椭圆 的标准方程为 ，焦距为 ， 则由已知得 ， ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以椭圆 的标准方程为 ． （2）在 中， ． 由余弦定理，得 ， 即 ，所以 ， 所以 ． 21．【答案】（1） ；（2）证明见解析. 解：（1）设点 ，因为 为弦 中点，所以 ， ， ， ∴由 ，得 化简得 . ∴ 的轨迹方程是 . （2）由题意点 ，联立 得 设 ， ，则 ∴ 是定值. 22． 【答案】（1） ；（2） ． （1）依题意得： ， ． 由椭圆定义知 ，又 ，则 ， 在 中， ，由余弦定理得： 即 ，解得 又 故所求椭圆方程为 （2）设 ，直线 联立方程组 ，得 ， ，得 ， ， ， ， 由题意知 ，由 ， ，代入化简得 ， 故直线 过定点 ，由 ，解得 ， ， 令 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 面积的最大值为 ．