福建省福州第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

福 建 省 福 州 第 一 中 学 2022-2023 学年度第一学期教学质量检测（12 月） 高一数学 一、选择题；本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设函数 ，则f(x)是（ ） A．奇函数，且在(0，2)上是增函数 B．奇函数，且在(0，2)上是减函数 C．偶函数，且在(0，2)上是增函数 D．偶函数，且在(0，2)上是减函数 2．已知 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，则零点所在的区间可以为（ ） A． B． C． D． 4．若函数 是偶函数，函数 在 上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 5．设正数 ， ，满足 ，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 6．下列函数在区间 上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 7．给出下列四个关于函数的命题： ① （ ）与 （ ）表示相同函数； ② 是既非奇函数也非偶函数； ③若 与 在区间 上均为递增函数，则 在区间 上亦为递增函数； ④设集合 ， ，对应关系 ，则能构成 一个函数 ，记作 ， . 其中，真命题为（ ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 8．尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例 如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系式为 ． 年月 日，日本东北部海域发生里氏 级地震，它所释放出 来的能量是 年月日我国四川九寨沟县发生里氏 级地震的（ ） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．已知 ， ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（ ） A． 是第三象限角 B．若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为 C． D．若角 的终边过点 ，则 11．下列叙述中不正确的是（ ） A．若 ，则“ ”的充要条件是“ ” B．若 ，则“ ”的必要不充分条件是“ ” C．“ ”是“方程 有一个正根和一个负根”的充分不必要条件 D．“ ”是“ ”的充分不必要条件 12．关于定义在R 上的函数 ，下列命题正确的是（ ） A．若 满足 ，则 在R 上不是减函数 B．若 满足 ，则函数 不是奇函数 C．若 在区间 上是减函数，在区间 也是减函数，则 在R 上是减 函数 D．若 满足 ，则函数 不是偶函数 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．如图所示，一半径为4 米的水轮，水轮圆心O 距离水面2 米，已知水轮每60 秒逆 时针转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点 )开始计时，则点P 第一次 到达最高点需要___________秒. 14．已知角 的终边过点 ，则 的值为_______． 15．已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则当 时， __________． 16．已知函数 ，若方程 的实根在区间 上，则k 的所有可能值是______． 四、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知角 的终边上有一点 ， ． (1)若 ，求实数a 的值．(2)若 且 ，求实数a 的取值范围． 18．已知集合 ，集合 ． (1)求 ， ； (2)求 的所有子集，并求出它的非空真子集的个数． 19．已知函数 ， . (1)求函数 的定义域； (2)求不等式 的解集. 20．定义在 上的函数 满足 ，当 时， ， . （1）求 ， 的值； （2）比较 与 的大小. 21．销售甲、乙两种商品所得利润分别是 （万元）和 （万元），它们与投入资金 （万元）的关系有经验公式 ， ．今将3 万元资金投入经营甲、乙两种 商品，其中对甲种商品投资 （万元）．求： （Ⅰ）经营甲、乙两种商品的总利润 （万元）关于 的函数表达式； （Ⅱ）怎样将资金分配给甲、乙两种商品，能使得总利润 达到最大值，最大值是多 少？ 22．已知函数 在区间 上的最大值为2. （1）求实数 的值； （2）若 ，求实数 的取值范围. 参考答案 1．A 求出函数f(x)的定义域，再利用奇偶性定义及复合函数单调性推理判断作答. 依题意， ，解得 ，即f(x)的定义域为(-2，2)， 因 ，则f(x)是奇函数， 又 在(0，2)上单调递增， 在(0，2)上单调递减，则 在(0，2)上单调递增， 所以f(x)在(0，2)上单调递增. 故选：A 2．A 根据指数与对数函数的单调性比大小. 由已知得 ， ，且 ，所以 ， ， 所以 ， 故选：A. 3．B 先判断函数的单调性，并判断各区间端点处的函数值的正负，再结合零点存在性定理判断 即得. 显然函数 在R 上单调递增， ，而 ， 所以零点所在的区间可以为 . 故选：B 4．A 根据函数 是偶函数，关于 轴对称，向右移3 个单位得到 关于 轴对 称，结合单调性即可解决. 由题知函数 是偶函数，关于 轴对称， 所以 关于 轴对称， 因为函数 在 上单调递减， 所以函数 在 上单调递增， 所以 ，故A 正确， ，故B 错误， 故C 错误， ，故D 错误. 故选：A. 5．D 设 ，根据指数与对数的关系得到 ， ，，再根据对数函数的性质判断可 得； 解：设 ， 所以 ， ， ， 由已知得 ，所以函数 在 上单调递增， 且 ， ， ， 所以 . 故选：D. 6．B 根据函数单调性的定义，再结合基本初等函数的单调性和特殊值法即可得到答案. 易知B 正确； 对A， ，函数在 上单调递减，A 错误； 对C， ，函数在R 上是减函数，C 错误； 对D， ，D 错误. 故选：B. 7．B 直接利用函数的定义和函数的性质的应用，函数的单调性的应用判断①②③④的结论． 解：对于①，f（x）＝x3（x∈{﹣1，0，1}）与g（n）＝n3（n∈{﹣1，0，1}）表示相同函 数，函数的关系式形式相同，定义域相同，故函数的值域一定相同，故①正确；对于②， 函数f（x）＝ （﹣2≤x≤2 且x≠0）则 是奇函数，故②错误； 对于③，若f（x）与g（x）在区间G 上均为递增函数，则f（x）+g（x）在区间G 上亦为 递增函数，但是f（x）•g（x）在区间G 不一定为递增函数，例: 在 上为 增函数, 在 上为增函数,但f（x）•g（x） 在 上无单调性,故③错误； 对于④，设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应关系f：x→log4（x+2），则能构成 一个函数f：A→B，记作y＝f（x）＝log4（x+2），x∈A，符合函数的定义，故④正确． 故选：B． 8．C 设里氏 级和 级地震释放出的能量分别为 和 ,可得出 ，利用 对数的运算性质可求得 的值，即可得解. 设里氏 级和 级地震释放出的能量分别为 和 , 由已知可得 ， 则 ，故 ． 故选：C. 9．ABC 利用指数函数的性质及幂函数的性质即得. 由题得 ， ， ， ， 因为幂函数 在 上单调递增， 所以 ， 又因为指数函数 在 上单调递增， 所以 . 故选：ABC. 10．BD A.利用终边相同的角判断；B.利用扇形面积公式求解判断；C.利用诱导公式求解判断；D. 利用三角函数的定义求解判断. 解：A 选项， 是第二象限角，A 错误； B 选项，扇形的半径为 ，面积为 ，B 正确； C 选项， ， ，C 错误． D 选项， ，D 正确； 故选：BD． 11．ABC 对于A，根据二次不等式，结合二次函数，可得答案； 对于B，根据不等式的性质，结合充分和必要条件的定义，可得答案； 对于C，根据一元二次方程与二次函数的关系，可得答案； 对于D，由作差法和特殊值法进行验证，可得答案. 对于A，当 时，且 ，则 ，故A 错误； 对于B，充分性：由 ，则当 时， ； 必要性：当 时，若 ，则 ， 则“ ”的充分不必要条件是“ ”，故B 错误； 对于C，由方程 ， ，解得 ， 令 ，由方程有一个正根和一个负根，可得 ，解得 ， 综上，“方程 有一个正根和一个负根”的充要条件为“ ”， 由 ， 则“ ”是“方程 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件故C 错误； 对于D，充分性：由 ，则 ，即 ； 必要性，当 时， ，故D 正确. 故选：ABC. 12．AD 根据函数的单调性的定义及判定方法，以及函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 由题意，对于A 中，由 ，而 ，由减函数定义可知， 在 上 一定不是减函数，所以A 正确； 对于B 中，若 ，定义域关于原点对称，则 ，则函数 可以 是奇函数，所以B 错误； 对于C 中，由分段函数的单调性的判定方法，可得选项C 不正确； 对于D 中，若 是偶函数，必有 ，所以D 正确； 故选AD 本题主要考查了函数的单调性的定义，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的 单调性的定义及判定，以及函数的奇偶性的定义，合理判定是解答的关键，着重考查了分 析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 13．20 根据题意，计算弧 占圆周的比例即可得答案. 如图，根据题意得 ， 所以在 中， ， 所以 ，故弧 的长为三分之一的圆周长， 又因为水轮每60 秒逆时针转动一圈， 所以当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P)开始计时，则点P 第一次到达最高点需要20 秒. 故答案为：20 14． 由 和三角函数的定义即可求解. ， 故答案为： ． 15． 由条件结合奇函数的性质 ，可求当 时 的解析式. 因为 为定义在 上的奇函数， 所以当 时， 且 ， 又当 时， ， ， 故答案为： . 16．－3，－2 或1 先由 求出 ，确定 ，再变形得到 ，画出 两函数图象，数形结合得到两个根，结合零点存在性定理得到两根分别在 与 内，从而确定k 的所有可能值. ①由方程 ，解得： ， 因为 ， 故 ； ②由于方程 即方程 ，分别作出左右两边函数的图 象， 从图象上可得出：方程 在区间 内有一个实根． 故方程 在区间 内有且仅有一个实根．此时 ， 下面证明：方程 在区间 内有一个实根， 函数 ，在区间 和 内各有一个零点， 因为 时， ，故函数 在区间 是增函数， 又 ， ， 即 ， 由零点存在性定理知，函数 在区间 内仅有一个 零点， 即方程 在区间 内有且仅有一个实根， 此时 . 故答案为：－3，－2 或1． 17．(1)2 (2) （1）利用三角函数的定义列出方程，求出 ；（2）由 且 得到 所 在象限，故可以得到点的坐标的特征，列出不等式，求出范围 (1) 依题意，得 ，所以 ． (2) 由 且 得 为第四象限角，故 ，所以 ．故实数a 的取值范 围是 ． 18．(1) ； (2)子集为 ， ， ， ，非空真子集有2 个 （1）确定集合A 的元素，根据集合的交集和并集运算求得答案; （2）根据 的元素，即可写出其子集，进而确定真子集的个数. （1）由题意得 ， ， 所以 ， ； （2）因为 ，所以其子集有： ， ， ， ， 非空真子集有2 个. 19．(1) (2)答案见解析 （1）根据对数的真数大于零可得出关于 的不等式组，由此可解得函数 的定义域； （2）将所求不等式变形为 ，分 、 两种情况讨论，利用 对数函数 的单调性结合函数 的定义域可求得原不等式的解集. (1) 解： ， 则有 ，解得 ，故函数 的定义域为 . (2) 解：当 时，函数 在 上为增函数， 由 ，可得 ， 所以 ，解得 ，此时不等式 的解集为 ； 当 时，函数 在 上为减函数， 由 ，可得 ， 所以 ，解得 ，此时不等式 的解集为 . 综上所述，当 时，不等式 的解集为 ； 当 时，不等式 的解集为 . 20．（1） ， ；（2） . 【解析】（1）根据题意可得 ， ，即可求出 ， ； （2）根据解析式求出 与 的值即可比较. （1）由已知 ，得 ， 又 ，则 ，得 ， 可以解得 ， . （2）可得 ， ， 由 ， 则 ， 所以 . 21．（Ⅰ） ， （Ⅱ）给甲、乙两种商品分别投资 万元、 万元可使总利润达到最大值 万元 （Ⅰ）根据题意，得 ， ． （Ⅱ） ． ∵ ，∴ 当 时，即 ， 时， ． 即给甲、乙两种商品分别投资 万元、 万元可使总利润达到最大值 万元． 22．（1） 或2 （2）见解析 (1)根据对数函数的单调性以及在区间 上的最大值，列出等式，求解即可； (2)讨论 或2 ，求解不等式 ，即可得到实数 的取值范围. 解：（1）当 时， 在 上是减函数， 是最大值 ， ，∴ ， 当 时， 在 上是增函数， 最大值为 ， ，∴ ，∴ 或2 （2）当 时，由 得 ，解得： ∴ ，∴ ，∴ 的取值范围是 当 时，由 得 ，解得： ， ∴ ，∴ ，∴ 的取值范围是 . 本题主要考查了对数函数的单调性、最值以及对数不等式的解法，属于中档题.