福建省福州第一中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学试卷 （完卷120 分钟 满分150 分） （注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．下列函数中, 周期为的是( ) A． 2sin 3 y x          B． tan2 y x  C． sin cos y x x  D． sin | | y x  2．函数 tan 4 y x          的单调递增区间为( ) A． , ( ) 4 4 k k k Z              B． 3 , ( ) 4 4 k k k Z              C． 3 , ( ) 4 4 k k k Z              D． 3 3 , ( ) 4 4 k k k Z              3．函数 ( ) f x 的部分图象如图所示，则 ( ) f x 可能是（ ） A． ( ) 2sin 2 3 f x x          B． ( ) 2sin 2 6 f x x          C． ( ) 2sin 4 6 f x x          D． ( ) 2sin 4 3 f x x          4．已知角的终边在射线 2 ( 0) y x x   上，则2sin cos    的值为( ) A．3 5 5 B．5 C． 5  D． 3 5 5  5．函数 ( ) (2 2 )sin2 x x f x x    的图象大致是( ) A． B． C． D． 6．已知 cos1 a  ， sin2 b  ， tan4 c  ，则( ) A．c b a   B．a b c   C．b a c   D.b c a   7．已知 5 , , tan 3,cos( ) , tan( ) 2 2 5                    , 则 ( ) A． 5 2  B．1 2 C．2 D．11 2 8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面 积的方法“三斜求积术”，即 ABC △ 的面积 2 2 2 2 2 2 1 4 2 a c b S a c                  ，其中, , a b c 分 别为 ABC △ 的内角 , , A B C 的对边，若 1 b ，且 2 sin tan 1 2 cos B C B   ，则 ABC △ 的面积的最 大值为( ) 第（3）题图 A． 2 2 B． 2 C． 3 2 D． 3 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．下列说法正确的有( ) A．若sin 0,tan 0     ，则为第二象限角 B．经过60 分钟，钟表的分针转过2  弧度 C． 3 sin14 cos16 sin76 cos74 2       D．终边在y 轴上的角的集合是 , 2 k k Z             10．已知4cos cos2 4            ，则( ) A． 2 sin cos 2     B． ( ) 4 k k Z       C．tan4 0  D．tan 1  11．若将函数 ( ) sin 12 f x x          的图象先向右平移 12 个单位长度，再将所得的图象上所有 点的横坐标缩短为原来的1 2 （纵坐标不变），得到函数( ) g x 的图象，则( ) A．( ) g x 的最小正周期为2 B．( ) g x 图象的一个对称中心为 ,0 12        C．( ) g x 的值域为 1 1 , 2 2        D．( ) g x 图象的一条对称轴方程为 3 x   12．定义：实数, , x y m 满足| | | | x m y m    ，则称x 比y 远离m ．已知函数 ( ) f x 的定义域为 | , 3 k D x x k Z           ，任取x D  ， ( ) f x 等于3cosx 和1 cos2x  中远离0 的那个值， 则（ ） A． ( ) f x 是偶函数 B． ( ) f x 的值域为[ 1,3]  C． ( ) f x 在 2 , 3 3         上单调递增 D． ( ) f x 在 4 , 3           上单调递减 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．若扇形的面积为3 8 ，半径为1，则扇形的圆心角为________． 14．已知sin 3cos 0     ，则 2 sin sin2    _______． 15．若在 0, 2 x        上有两个不同的实数值满足方程cos2 3sin2 1 x x k   ，则k 的取值范 围是_________． 16． 在平面四边形ABCD中， 3 B   ， 2 D   ， 4 BC  ， 3 3 AD  ， 若 6 A C B A C D    ∠ ∠ ， 则tan ACD  =_________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 已知角的顶点为坐标原点， 始边为x 轴的非负半轴， 终边经过点 (1, 1) P m   ， 且 5 c o s 5  ． (1)求实数m 的值； (2)若 0 m  ，求 sin(3 )tan 2 cos( )cos 2                         的值． 18．（12 分） 设函数 2 2 ( ) cos 2cos 3 2 x f x x           ． w．w．w．k．s．5．u．c．o．m （1）求 ( ) f x 的单调增区间； （2）求 ( ) f x 在[0, ] 上的最大值与最小值． 19．（12 分） 设 ( ) sin( ) f x x     （ 0,| |      ）在区间 5 11 , 12 12         单调，且 x R  都有 5 1 1 ( ) 12 12 f f x f                 ． (1)求 ( ) f x 的解析式； (2)用“五点法”作出 ( ) y f x  在 2 0,         的简图，并写出函数 1 ( ) 3 f x  在 2 0,         的所有 零点之和． 20．（12 分） 在①(1 cos ) 3 sin A b a B   ；②2( cos ) c a B b   ．请在上述两个条件中任选一个，补充在 下面题目中，然后解答补充完整的问题． 在 ABC △ 中，角 , , A B C 所对的边分别为, , a b c ， 1 b c  ， ， （1）求角A ； （2）求a 的取值范围． 21．（12 分） 某兴趣小组要测量钟楼AE 的高度H （单位：m）．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度 为 2.5 h  m，仰角 ABE   ∠ ， ADE   ∠ ． （1） 该小组已测得一组 , 的值， 算出了tan 1.22  ，tan 1.10  ， 请据此算出H 的值 （精 确到0.1）； （2）该小组分析测得的数据后，认为适当调整标杆到钟楼的距离d（单位：m），使与 之差较大，可以提高测量精度．若钟楼的实际高度为25 m，试问d 为多少时，   最大？ 22．（12 分） 英国数学家泰勒发现了如下公式： 3 5 7 sin 3! 5! 7! x x x x x      ,其中! 1 2 3 4 n n   ,此 公式有广泛的用途， 例如利用公式得到一些不等式： 当 0, 2 x        时， sin x x  ， 3 sin 3! x x x   ， 3 5 sin 3! 5! x x x x    ，… （1）证明：当 0, 2 x        时，sin 1 2 x x  ； （2）设 ( ) sin f x m x  ，若区间[ , ] a b 满足当 ( ) f x 定义域为[ , ] a b 时，值域也为[ , ] a b ，则称为 ( ) f x 的“和谐区间”， (ⅰ) 1 m 时， ( ) f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 ( ) f x 的所有“和谐区间”，若不 存在，请说明理由； （ⅱ） 2 m 时， ( ) f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 ( ) f x 的所有“和谐区间”， 若不存在，请说明理由． 2021-—2022 学年第一学期第二学段试卷解答 一、选择、填空题： 1～5 CCADB 6～8 ABA 9.ABD 10. BCD 11.BD 12.AD. 13. 3 4  14. 3 2 15. [0,1) 16. 3 2 . 三、解答题： 17．解 (1)由题意可得 1 x ， 1 y m  ， 2 2 1 ( 1) r m    ， 所以 2 2 5 1 cos 5 1 ( 1) m     ，整理得 2 ( 1) 4 m   ， 解得 1 m 或 3 m ． (2)因为 0 m  ，所以由(1)可得 1 m ， 所以 5 cos 5  ， 2 5 sin 5  ， 所以 3 cos sin(3 )tan sin 1 5 2 sin cos ( sin ) sin 2 cos( )cos 2                                       ． 18．解: （1） 1 3 ( ) cos sin cos 1 2 2 f x x x x           3 1 sin cos 1 2 2 x x    sin 1 6 x           令 2 2 , 2 6 2 k x k k Z             ，得 2 2 2 3 3 k x k          ， 所以 ( ) f x 的单调增区间为 2 2 , 2 , 3 3 k k k Z               （2）由 [0, ] x   得 7 , 6 6 6 x           ， 所以当 6 2 x     ，即 3 x   时， ( ) f x 取最大值2 ； 当 7 6 6 x     ，即x   时， ( ) f x 取最小值1 2 ． 19．解：（1）依题意 ( ) f x 在 11 12 x   时取最大值，在 5 12 x   时取最小值， 且11 5 12 12 T     ，所以 2  ， 由 11 1 12 f        得11 2 2 , 12 2 k k Z         ，即 4 2 , 3 k k Z       ， 又因为| |    ，所以 1 k ， 2 3   ， 所以 2 ( ) sin 2 3 f x x          ． （2）列表如下 x 0 6  5 12  2 3  11 12   2 2 3 x   2 3   3 2  2 5 2  8 3  ( ) f x 3 2 0 1  0 1 3 2 由图知 ( ) f x 的一条对称轴为5 12 ， 1 ( ) 3 f x  有两个实数根，记为 1 2 , x x ， 则由对称性知 1 2 5 2 12 x x    ，所以所有实根之和为5 6 ． 20．解：（1）若选①，则由正弦定理得(1 cos )sin 3sin sin A B A B   ， 因为 (0, ) B   ，所以sin 0 B  ， 所以1 cos 3sin A A   ，所以2sin 1 6 A          ， 又因为 (0, ) A   ，所以 5 , 6 6 6 A           ， 所以 6 6 A     ，即 3 A   ． 若选②，则由正弦定理得2sin 2sin cos sin C A B B   ， 所以2sin( ) 2sin cos sin A B A B B    ，所以2cos sin sin A B B  ， 因为 (0, ) B   ，所以sin 0 B  ， 所以 1 cos 2 A  ，又因为 (0, ) A   ，所以 3 A   ． （2）由正弦定理得sin sin sin a b c A B C   ， 所以 2 3 sin sin sin 3 a b B a B A   ，同理 2 3 sin 3 c a C  ， 由 1 b c  ，故2 3 (sin sin ) 1 3 a B C  ， 所以 3 1 2 sin sin a B C   3 1 2 2 sin sin 3 B B           3 1 2 3 3 sin cos 2 2 B B   1 1 2 sin 6 B          由 2 0, 3 B       ，所以 5 , 6 6 6 B          ，所以 1 sin ,1 6 2 B               ， 所以a 的取值范围是 1 ,1 2      ． 21．解：（1）由 tan H AD   得 tan H AD   ，同理， tan H AB   ， tan h BD   ． 因为AD AB BD   ，所以 tan tan tan H H h      ，解得 tan 2.5 1.22 25.4 tan tan 1.22 1.10 h H          。 因此，算出钟楼的高度H 约为25.4m ． （2）由题设知d AB  ，得tan ,tan H H h H h d AD DB d        ， 2 tan tan tan( ) ( ) 1 tan tan ( ) 1 H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d                        ( ) 2 ( ) H H h d H H h d     ，当且仅当 15 ( ) 25 22.5 10 2 d H H h      时，取等号， 故当 15 10 2 d  时，tan( )    最大。 因为0 2       ，则0 2       ，所以当 15 10 2 d  时，   最大， 故所求的d 是15 10 2 m． 22． 解： （1） 由已知当 0, 2 x        时， 3 sin 3! x x x   ， 得 2 2 2 sin 1 2 1 1 1 6 6 24 2 x x x             ， 所以当 0, 2 x        时，sin 1 2 x x  ． （2）(ⅰ) 1 m 时，假设存在，则由1 ( ) 1 f x  知1 1 a b   ，注意到1 2   ， 故[ , ] , 2 2 a b         ，所以 ( ) f x 在[ , ] a b 单调递增， 于是 ( ) ( ) f a a f b b      ，即, a b 是方程sin x x  的两个不等实根，易知 2 x   不是方程的根， 由已知， 当 0, 2 x        时， sin x x  ， 令x t ， 则有 ,0 2 t         时， sin( ) t t  ， 即s i n t t ， 故方程sin