山东省青岛第二中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

第1 页/共26 页 （北京）股份有限公司 青岛二中2022-2023 学年第一学期期中考试——高二试题（数学） 第Ⅰ卷（共60 分） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 若直线 与直线 垂直，则m 的值是（ ）． A. B. C. 2 或 D. 2. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC 与BD 的交点为点M， ＝ ， ， ，则 下列向量中与 相等的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 直线过点 ，且在x 轴上的 截距是在y 轴上截距的2 倍，则该直线的斜率是（ ）． 第2 页/共26 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. 或 D. 或 4. 已知 的顶点B、C 在椭圆 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则 的周长是（ ）． A. B. 6 C. D. 12 5. 直线 与圆 的 公共点个数为（ ）． A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 1 个或2 个 6. 已知大小为 的二面角 棱上有两点 ， ， ， ， ， ，若 第2 页/共26 页 （北京）股份有限公司 ， ， ，则 的长为（ ）． A. 22 B. 49 C. 7 D. 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个 有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回 军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则 “将军饮马”的最短总路程为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知F 是椭圆的一个焦点，若存在直线 与椭圆相交于A，B 两点，且 ，则椭圆离心 率的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多 第3 页/共26 页 （北京）股份有限公司 项符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9. 已知空间中三点 ， ， ，则（ ）． A. B. 第3 页/共26 页 （北京）股份有限公司 C. D. A，B，C 三点共线 10. 在棱长为2 的正方体 中， 、 、 分别为 ， ， 的中点，则下列选项 正确的是（ ）． A. B. 直线 与 所成角的余弦值为 C. 三棱锥 的体积为 D. 存在实数 、 使得 11. 已知 与 相交于A，B 两点，则下列结论正确的 是（ ）． A. 直线AB 的 方程为 B. 过A，B 两点，且过点 的圆的方程为 C. 与 的公切线的长度为 D. 以线段AB 为直径的 圆的方程为 12. 在平面直角坐标系xOy 中，方程 对应的曲线为E，则（ ）． A. 曲线E 是封闭图形，其围成的面积小于 第4 页/共26 页 （北京）股份有限公司 B. 曲线E 关于原点中心对称 C. 曲线E 上的点到原点距离的最小值为 D. 曲线E 上的点到直线 距离的最小值为 第Ⅱ卷（共90 分） 第4 页/共26 页 （北京）股份有限公司 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 已知 的三个顶点分别是 ， ， ，则 的外接圆的方程为______． 14. 在平面直角坐标系 中，直线 与曲线 有公共点，则实数 的取值范围是 ______． 15. 过点 ，且与椭圆 有相同的焦点的椭圆标准方程是______． 16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B 距离之比 是常数的点的轨迹是 一个圆心在直线以AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为1 的正方 体 中，点P 是正方体的表面 （包括边界）上的动点，若动点P 满足 ，则点P 所形成的阿氏圆的半径为______；三棱锥 体积的最大值是______． 阿波罗尼奥斯 第5 页/共26 页 （北京）股份有限公司 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在 中， 为边 上的一点 ， ， 且 与 的夹角为 . 第5 页/共26 页 （北京）股份有限公司 （1）设 ，求 ， 的值； （2）求 的值. 18. 已知直线 和 的交点为P． （1）若直线l 经过点P 且与直线 平行，求直线l 的 方程； （2）若直线m 经过点P 且与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点， 为线段 的中点，求△OAB 的面积． （其中O 为坐标原点）． 19. 如图，在四棱锥 中， ． （1）若 ， 为 的中点，求证： 平面 ； （2）若 是边长为 的正三角形，平面 平面 ，直线 与平面 所成角的正切 值为 ，且 ，求四棱锥 的体积． 20. 如图，点 是椭圆 的短轴位于 轴下方的端点，过 作斜率为 的直线交 第6 页/共26 页 （北京）股份有限公司 椭圆于点 ，若点 的坐标为 ，且满足 轴， ． 第6 页/共26 页 （北京）股份有限公司 （1）求椭圆 的方程； （2）椭圆 的左顶点为 ，左焦点为 ，点 为椭圆上任意一点，求 的取值范围． 21. 已知圆 ． （1）若直线过点 且被圆 截得的弦长为 ，求直线的方程； （2）若直线过点 与圆 相交于 ， 两点，求 的面积的最大值，并求此时直线的方程； （3）若点 是直线 上的动点，过点 分别做圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求证：直线 过定点． 22. 如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A，B 的点，平面 平面ABC， 为正三角形，E，F 分别是PC，PB 上的动点． （1）求证： ； 第7 页/共26 页 （北京）股份有限公司 （2）若 ， ，求三棱锥 的外接球体积； （3）若E，F 分别是PC，PB 的中点且异面直线AF 与BC 所成角的正切值为 ，记平面AEF 与平面 ABC 的交线为直线l，点Q 为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围． 第7 页/共26 页 （北京）股份有限公司 第8 页/共26 页 （北京）股份有限公司 青岛二中2022-2023 学年第一学期期中考试——高二试题（数学） 第Ⅰ卷（共60 分） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 【1 题答案】 【答案】A 【2 题答案】 【答案】C 【3 题答案】 【答案】D 【4 题答案】 【答案】D 【5 题答案】 【答案】D 【6 题答案】 【答案】C 【7 题答案】 【答案】B 【8 题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 【9 题答案】 【答案】ABC 【10 题答案】 【答案】ABD 第9 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【11 题答案】 【答案】AD 【12 题答案】 【答案】AB 第9 页/共26 页 （北京）股份有限公司 第Ⅱ卷（共90 分） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 【13 题答案】 【答案】 【14 题答案】 【答案】 【15 题答案】 【答案】 【16 题答案】 【答案】 ①. . ② 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【17 题答案】 【答案】（1） ， ；（2） . 【18 题答案】 【答案】（1）4x－3y－3＝0 （2）30 【19 题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【20 题答案】 第10 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【答案】（1） （2） 【21 题答案】 【答案】（1） 或 （2） 或 （3）证明见解析. 第10 页/共26 页 （北京）股份有限公司 【22 题答案】 【答案】（1）见解析 （2） （3）