浙江省绍兴市2021-2022学年高二下学期期末考试 数学

绍兴市2021-2022 学年第二学期高中期末调测 高二数学 注意事项： 1.请将学校､班级､姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上. 2.全卷满分150 分，考试时间120 分钟. 一､单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.设集合 ，则 （） A. B. C. D. 2.若复数 满足 （为虚数单位），则 （） A. B. C. D. 3.命题“ ”的否定是（） A. B. C. D. 4.在 中，“ ”是“ ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在同一直角坐标系中，函数 ，且 的图象可能是（） A. B. C. D. 6.从5 名男生2 名女生中任选3 人参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，则在男生甲被选 中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是（） A. B. C. D. 7.已知平面向量 ，满足 ，且对任意实数 ，有 ，设 与 的夹角为 ，则 的 取值范围是（） A. B. C. D. 8.已知 ，其中 为自然对数的底数，则（） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 9.已知 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是（） A. B. C. D. 10.设函数 ，则（） A.函数 的最小正周期是 B.函数 的图象关于直线 对称 C.函数 在 上是增函数 D.函数 是奇函数 11.在正方体 中，点 满足 ，其中 ， ，则（） A.当 时， 平面 B.当 时，三棱锥 的体积为定值 C.当 时， 的面积为定值 D.当 时，直线 与 所成角的范围为 12.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据 的平均数为 ，方 差为 ；第二部分样本数据 的平均数为 ，方差为 .设 ，则以下命题正确 的是（） A.设总样本的平均数为 ，则 B.设总样本的平均数为 ，则 C.设总样本的方差为 ，则 D.若 ，则 三､填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.已知函数 则 __________. 14.已知随机变量 ，则 __________. 15.现要给1 个小品类节目，2 个唱歌类节目，2 个舞蹈类节目排列演出顺序，要求同类节目不相邻，则不同 的排法有__________种. 16.在三棱锥 中， ，二面角 的平面角为 ， 则它的外接球的表面积为__________. 四､解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10 分） 在二项式 的展开式中 （1）求各二项式系数和； （2）求含 的项的系数. 18.（本题满分12 分） 在 中，内角 所对的边分别是 ，且 . （1）求角 ； （2）若 ，求 的面积. 19.（本题满分12 分） 如图，已知四棱锥 平面 ， （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.（本题满分12 分） 已知函数 . （1）求 在 上的最小值； （2）设函数 ，若方程 有且只有两个不同的实数根，求 的取值范围. 21.（本题满分12 分） 某市为筛查新冠病毒，需要检验核酸样本是否为阳性，现有 且 份核酸样本，可采用以下两 种检验方式： ①逐份检验：对k 份样本逐份检验，需要检验k 次； ②混合检验：将k 份样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则k 份样本全为阴性，因而这k 份样本只需 检验1 次；若检验结果为阳性，为了确定其中的阳性样本，就需重新采集核酸样本后再对这k 份新样本进行 逐份检验，此时检验总次数为k+1 次. 假设在接受检验的核酸样本中，每份样本的检验结果是相互独立的，且每份样本结果为阳性的概率是p . （1）若对k 份样本采用逐份检验的方式，求恰好经过4 次检验就检验出2 份阳性的概率（结果用p 表示）； （2）若k=20，设采用逐份检验的方式所需的检验次数为X，采用混合检验的方式所需的检验次数为Y，试比 较 与 的大小. 22.（本题满分12 分） 已知函数 . （1）若 ，求 在点 处的切线方程； （2）若 恒成立，求 的取值范围. 2021-2022 学年第二学期高中期末调测 高二数学参考答案 一､单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A B C D B 二､多项选择题（每小题全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分，共20 分） 题号 9 10 11 12 答案 BCD AC ABD AD 三､填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 14. 15.48 16. 四､解答题（本大题共6 小题，共70 分.） 17.（本题满分10 分） 解：（1）各二项式系数和为 . （2）因为 ， 令 ，解得 ， 所以 的项的系数为 . 18.（本题满分12 分） 解：（1）因为 ， 所以 . 因为 ，所以 ，即 . 所以 . （2）因为 解得 . 所以 . 19.（本题满分12 分） 解：（1）连接 ，由题意 平面 ， 所以 平面 . 在直角 中，可得 ， 在直角 中，可得 ， 在直角 中，可得 ， 所以 ，所以 . 又 ，所以 平面 . （2）由 可知 平面 ， 所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离， 又由（1）知 平面 ，设直线 与平面 所成角为 ， 又 ， 所以 . 法二､ 如图，以 为原点，分别以射线 为 轴的正半轴， 建立直角坐标系 ，则 . 作 ，垂足为 ，又 ，所以 平面 . 所以 ， 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，可取 设直线 与平面 所成角为 ， 所以 . 20.（本题满分12 分） 解：（1）因为函数 的对称轴方程为 . ①当 时，即 时， 在 上单调递增，所以 . ②当 时，即 时， 在 单调递减，在 单调递增， 所以 . ③当 时，即 时， 在 上单调递减，所以 . 综上①②③ （2）令 ，由题意可知 一定有解，不妨设为 ，且 ， 则 等价于以下四种情况： ①当 时， 由 解得 ，此时 ，不符合题意. ②当 且 时， 需满足 ③当 时， 需满足 解得 . ④当 时， 需满足 解得 . 综上①②③④ 或 . 21.（本题满分12 分） 解：（1）记恰好经过4 次检验就检验出2 份阳性为事件 ， 所以 . （2）由题意知 . 因为 ， 所以 . 所以 ，令 ， 解得 . 所以当 时， ； 当 时， ； 当 时， . 22.（本题满分12 分） 解：（1）当 时， ， 因为 ， 所以 ，又 ， 所以切线方程为 . 法一（2）因为 时 恒成立，所以需首先满足 . 因为 ， 令 ，则 . ①当 时，有 恒成立，所以 在 单调递减， 又 ，所以 在 恒成立， 所以 在 上单调递减， 所以 ，符合题意. ②当 时， 恒成立，所以 在 单调递增， 又 . 所以 （i）当 时， ， 所以 在 恒成立，所以 在 上单调递减， 所以 ，符合题意. （ii）当 时， ， 所以存在 ，使得 ， 当 时， ，当 时 ， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 解得 . 所以在②条件下 ③当 时， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， 所以 恒成立，所以 在 上单调递减， 所以 ，符合题意. 综上①②③ . 法二（2）因为 时 恒成立，所以需首先满足 解得 . 下面先证明 . 令 ，则 在 上恒成立， 所以 ，则 成立. 所以有 令 则 ， 显然 在 上单调递增，又 ， 所以存在 ，使得 . 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 所以 . 所以当 时，有 恒成立. 法三 因为 时 恒成立，所以需首先满足 ， 解得 . 所以 ，所以 . 又 . （1）当 时，当 时， ，所以 在 上单调递增， 所以只需 . 解得 . ②当 时， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 因为 ，所以 . 解得 ，所以此时 . 综上①②得 . 法四 下面先证明 . 令 ，则 在[0，2]上恒成立， 所以 ，则 成立. 所以 ， 即 . 令 ，所以只需求 的最小值. ①当 时，因为 ， 所以 . ②当 时， . 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 在 上单调递减， 所以 . 综合①②得 .