浙江省湖州市2021-2022学年高二下学期期末考试 数学

湖州市2021-2022 学年高二下学期期末调研测试 数学试题 第I 卷（选择题，共60 分） 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符 合题目要求的. 1.已知全集 ，则 （） A. B. C. D. 2.设 ，则“ ”是“ ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某种包装的大米质量 （单位： ）服从正态分布 ，根据检测结果可知 ，某公司购买该种包装的大米1000 袋，则大米质量在 以上的袋数大约 是（） A.5 B.10 C.20 D.40 4.已知复数 满足 是虚数单位），则 （） A. B.1 C. D.2022 5.已知 ，则不等式 的解集是（） A. B. C. D. 6.为防控疫情，保障居民的正常生活，某街道党支部决定将6 名党员（4 男2 女）全部安排到甲､乙2 个社区 进行专题宣讲，每个社区至少2 名党员，则两名女党员不能在同一个社区的概率是（） A. B. C. D. 7.若 展开式中的常数项是60，则实数 的值是（） A. B. C.3 D.2 8.若过点 可以作曲线 的两条切线，则（） A. B. C. D. 二､多选题 ：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9.已知两个变量 与 线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10 次实验.实验中不慎丢失2 个数据点，根 据剩余的8 个数据点求得的线性回归方程为 ，且 ，又增加了2 次实验，得到2 个数据点 ，根据这10 个数据点重新求得线性回归方程为 （其中 ），则（） A.变量 与 正相关 B. C. D.回归直线 经过点 10.已知函数 ，则下列说法中正确的有（） A.函数 的图象关于点 对称 B.函数 图象的一条对称轴是 C.若 ，则函数 的最小值为 D.若 ，则 的最小值为 11.若 ，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 12.直三棱柱 中， 分别为 ， 的中点，点 是棱 上一动点，则（） A.对于棱 上任意点 ，有 B.棱 上存在点 ，使得 面 C.对于棱 上任意点 ，有 面 D.棱 上存在点 ，使得 第II 卷（非选择题部分，共90 分） 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.已知向量 ，非零向量 满足 ，则 _______.（写一个向量坐标即可） 14.若 ，则 _______. 15.学校有 两个餐厅，小明同学的早餐和午餐一定在其中某个餐厅用餐.如果小明同学早餐在 餐厅用餐，那么他午餐也在 餐厅用餐的概率是 ；如果小明同学早餐在 餐厅用餐，那么他午餐在 餐厅 用餐的概率是 .若小明同学早餐在 餐厅用餐的概率是 ，那么他午餐在 餐厅用餐的概率是_______. 16.已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是_______. 四､解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10 分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 （1）求角 的大小； （2）若点 在边 上，且 ，求 面积的最大值. 18.（本小题满分12 分）已知函数 . （1）当 ，且 时，求 的值； （2）若存在实数 ，使得函数 的定义域为 时，其值域为 ，求实数 的取值范围. 19.（本小题满分12 分）一袋中装着标有数字 的小球各3 个，从袋中任取3 个小球，每个小球被取出 的可能性都相等. （1）求取出的3 个小球上的数字互不相同的概率； （2）记 表示取出的3 个小球上所标的最大数字，求随机变量 的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12 分）如图，三棱柱 中，点 在平面 内的射影 在线段 上， . （1）证明： ； （2）设直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的平面角的余弦值. 21.（本小题满分12 分）某国有芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期，该款芯片的I 批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检. 已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为 . （1）①求批次 芯片的次品率 ； ②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已 知批次 的芯片智能自动检测显示合格率为 ，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格 品的概率. （2）已知某批次芯片的次品率为 ，设100 个芯片中恰有1 个不合格品的概率为 ，记 的极大值点为 ，改进生产工艺后批次 的芯片的次品率 .某手机生产厂商获得 批次与 批 次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回 访的100 名用户中，安装 批次有40 部，其中对开机速度满意的有28 人；安装 批次有60 部，其中对开机 速度满意的有57 人.求 ，并判断是否有 的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？ 附： . 22.（本小题满分12 分）已知函数 . （1）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （2）设函数 ，讨论函数 的单调性并判断是否有极值，若有极值则 求出极值；若没有极值，请说明理由（注： 是自然对数的底数）. 2021 学年第二学期期末调研测试卷 高二数学参考答案 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求 的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C B C A D 二､多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 题号 9 10 11 12 答案 ABD BCD AC AD 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. （答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可）； 14. 15. 16. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10 分） 解：（1）由 ，得 故 • 因为 ，所以 又 ，故 . （2）由 得 故 因为 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立 故 因此 面积的最大值为 . 18.（本小题满分12 分） 解：（1）由题意得 在 上为减函数，在 上为增函数， 由 ，且 ，可得 且 因此 （2）当 时，则 在 上为增函数 故 即 是方程 的两个根 即关于 的方程 在 上有两个不等的实数根. 设 ，则 解得 . 19.（本小题满分12 分） 解：（1）“一次取出的3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 ， 则 （2）由题意 所有可能的取值为： . 所以随机变量 的分布列为 1 2 3 4 随机变量 的均值为 20.（本小题满分12 分） 解：（1）证明：因为 平面 平面 ， 所以平面 平面 且交于 ， 又因为 ，所以 平面 因此 平行四边形 中， ，所以 为菱形， 故 ， 又 ，所以 平面 而 平面 ，因此 . （2）（解法一）因为 平面 ， 所以 即为直线 与平面 所成的角，故 作 于 ，连结 ，则 ， 所以 即为二面角 的平面角 Rt 中， Rt 中， Rt 中， ，所以 即二面角 的平面角的余弦值为 . （解法二）由于 平面 ， 所以 即为直线 与平面 所成的角，故 在平面 内，过点 作 的垂线 ，则 两 两垂直，建立空间直角坐标系如图， 则 所以 ， 平面 的一个法向量为 平面 的一个法向量为 .即二面角 的平面角的余弦值为 . 21.（本小题满分12 分） 解析：（1）①I 批次芯片的次品率为 ②设批次 的芯片智能自动检测合格为事件 ，人工抽检合格为事件 ， 由己知得 ， 则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件 ， （2）100 个芯片中恰有1 个不合格的概率 . 因此 ， 令 ，得 . 当 时， ；当 时， .所以 的最大值 点为 . 由（1）可知， ，故批次 芯片的次品率低于批次 ， 故批次 的芯片质量优于批次 .由数据可建立 列联表如下：（单位：人） 开机速度满意度 芯片批次 合计 不满意 12 3 15 满意 28 57 85 合计 40 60 100 根据列联表得 因此，有 的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关. 22.（本小题满分12 分） 解（1）由题意 恒成立，则 ， 设 ， 由于 ，可得函数 在区间 上递减，在区间 上递增 因此 故 . （2）因为 ， 所以 令 ，则 ， 可得函数 在区间 上递减，在区间 上递增， 所以 ，即对于 恒有 . 因此，①当 时， 在 上单调递增，无极值； ②当 时， 当 或 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 因此，当 时， 取得极大值 ； 当 时， 取得极小值 . 综上所述： 当 时， 在 上单调递增，无极值； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值， 极大值为 ， 极小值为 .