黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题

铁人中学2021 级高一学年上学期第一次月考 数学试题 试题说明：1、本试题满分150 分，答题时间120 分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。 第Ⅰ卷 客观题部分 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求） 1 ．已知全集 ，集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．设命题 则 的否定为 A． B． C． D． 3．下列函数中，表示同一个函数的是 A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 4．已知 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 5．已知函数 满足 ．若 ，则实数 = A． B． C． D． 6．已知 ，记 ， ，则 与 的大小关系是( ) A． B． C． D．不确定 7．已知 是实数，则“ 且 ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8 ．如图，在正方形 中， ，点 从点 出发，沿 → → →→ 方向，以每秒 个 单位的速度在正方形 的边上运动；点 从点 出发，沿 → → → 的方向， 以每秒个单位的速度在正方形 的边上运动．点 与点 同时出发，记运动时间为 （单位：秒）， 的面积为 （规定 ， ， 共线时其面积为零），则点 第一次到达点 时， 的图象为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分） 9．已知 则下列说法正确的是 A． 的取值范围为 B． 的取值范围为 C． 的取值范围为 D． 的取值范围为 10. 已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，下列说 法正确的是 A． B． C． 的解集是 D．对于任意的 ， 恒成立 11．设正实数 满足 ，则下列说法正确的是 A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 12．由无理数论引发的数学危机一直延续到 世纪，直到 年，德国数学家戴德金从 连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理 论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续 多年的数学史上的第一次大危机。所谓戴德金分割，是指将有理数集 划分为两个非空的 子集 与 ,且满足 ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元 素，则称 为戴德金分割。试判断，对于任一戴德金分割 ,下列叙述中，可能 成立的是 A． 没有最大元素， 有一个最小元素 B． 没有最大元素， 也没有最小元素 C． 有一个最大元素， 有一个最小元素 D． 有一个最大元素， 没有最小元素 第Ⅱ卷 主观题部分 三、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分) 13．如果集合 满足 ⫋ ,则满足条件的集合 的个数为___________(填 数字)． 14．不等式 对 恒成立，则实数的取值范围是___________． 15． ，用 表示 中的较大者，记为 .给 定函数 ，设函数 ，则 =_ _______． 16．函数 的函数值表示不超过的最大整数，例如： ． 若集合 ，则集合 中所有元素的和为________． 四、解答题(本大题共6 小题，第17 题10 分，第18-22 题每小题12 分，共70 分．解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10 分） 已知函数 （1）求函数 的定义域； （2）求 的值； （3）当 时，求 的值． 18． （本小题满分12 分） （1）全集 ，集合 ，若 ，求实数 的值； （2）已知集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围. 19．（本小题满分12 分） 已知函数 的定义域为 . （1）求实数的取值集合 ; （2）设 为非空集合，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 20．（本小题满分12 分） 在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排 宽的绿化，绿化 造价为 元/ ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为 元/ .设矩形的长为 . （1）设总造价 （元）表示为长度 的函数； （2）当 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 21．（本小题满分12 分） 已知函数 过点 ，且满足 . （1）求函数 的解析式； （2）解关于 的不等式： 22．（本小题满分12 分） 设函数 ． （1）对于任意 都有 成立，求的取值范围； （2）当 时对任意 恒有 ，求实数的取值范围； （3）若存在 ，使得 与 同时成立，求实数的取值范围 铁人中学2021 级高一学年上学期第一次月考 数学试题参考答案 第Ⅰ卷 客观题部分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C B D B C B A A ACD AC ABD ABD 第Ⅱ卷 主观题部分 13．【答案】3 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】12 17．【解析】：⑴若使函数有意义，需 ，解得 ， 故函数 的定义域为 ⑵ ⑶因为 ，所以 有意义， 18．【解析】（1）由题可知， ，解得 当 时， ，符合题意； 当 时， ，不符合题意； 综上所述， （2）当 时， ，解得 ； 当 时，由题可知， ，解得 ； 综上所述，实数 的取值范围是 19．【解析】（1）可知， 在 上恒成立， 当 时， ，成立； 当 时， ，解得 ； 综上所述， . 所以集合 （2）因为， 是 的必要不充分条件. 所以， 故 ,解得 所以，实数 的取值范围是 20．【解析】（1）由矩形的长为 ，则矩形的宽为 ， 则中间区域的长为 ，宽为 ，则定义域为 则 整理得 ， （2） 当且仅当 时取等号，即 所以当 时，总造价最低为 元 21．【解析】（1）因为函数 过点 ， 所以 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 的对称轴为 所以 ，解得 ，故 . （2）由题意得，方程 22．【解析】 由题意可知对于任意 都有 ． 即 对于任意 恒成立． 设 ，所以 解不等式组可得 或 所以，的取值范围是 由题意可知在区间 上， ． 因为 对称轴 ， 由二次函数性质可知， 在 上的最小值为 ． 因为 ，所以其在 上的最大值为 ． 所以 ，可得 ， 故 的取值范围为 ． 若 ，则 ，不合题意，舍去； 若 ，由 可得 ． 原题可转化为在区间 上存在 ，使得 ， 由二次函数的性质可知， 在 上图象呈上升趋势， 所以 ，可得 ， 又因为 ，不合题意； 若 ，由 可得 ． 原题可转化为在区间 上存在 ，使得 ． 当 时，即 时， ，可得 ； 当 时，即 时， ，可得 或 ，不满足 综上可知， 的取值范围为