山西省长治市第二中学校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题

2021--2022 学年第二学期高一期末考试数学试题 （满分150 分，考试时间120 分钟） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 设 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 4. 正方体 中，异面直线 与 所成角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 6. 四名同学各掷骰子7 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据 名同学的统计结果，可以判断出一定没 有出现点数 的是（ ） A. 平均数为 ，中位数为 B. 中位数为 ，众数为 C. 平均数为 ，方差为 D. 中位数为 ，方差为 7. 甲乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为 ，则密码至少被一人成功破译的 概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间，若 直线 与平面 所成角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知单位向量 ， 的夹角为 ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 在 上投影向量为 C. 的 最小值为 （ ） D. 10. 设复数 ， 满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 若 是方程 的根，则 D. 11. 某高中有学生 人，其中男生 人，女生 人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样 的原则抽取了容量为 的样本．经计算得到男生身高样本均值为 ，方差为 ；女生身高样本 均值为 ，方差为 ．下列说法中正确的是（ ） A. 男生样本量为 B. 每个女生入样的概率均为 C. 所有样本的 均值为 D. 所有样本的方差为 12. 已知三棱锥 中 两两垂直，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. 二面角 的正切值为 B. 三棱锥 的内切球的半径为 C. 是线段 上一动点，则 面积的最小值为 D. 是三棱锥 的外接球上一动点，则点 到面 距离的最大值为 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数是_______． 14. 抛掷两枚大小质地均匀的骰子，则两枚骰子向上点数之和为 的概率是______． 15. 在四面体 中， 都是边长为的 等边三角形，且平面 平面 ，则该四 面体外接球的表面积为_________. 16. 的内角 的对边分别为 .若 ， 边角平分线 ，则边 的最小值为__ _______． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 中，内角 的对边分别为 ，点 在边 上，且 ， ， ，边 . （1）求 的 面积； （2）求 . 18. 第19 届亚运会将于2022 年9 月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校 承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100 名候选者的面试成绩，并按照 ， ， ， ， 分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率 之和为0.9，第一组和第五组的频率相同． （1）求 ， 的值； （2）估计这100 名候选者面试成绩的中位数，平均数（精确到0.1）； （3）若先用按比例分配分层随机抽样的方法从面试成绩在 段的候选者中抽取6 人，再从这6 人中 随机抽取2 人，求这2 人来自同一分数段的概率． 19. 在四棱锥 中， 平面ABCD，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点. （1）点 是棱 的中点，求证 平面 ； （2）若∠ABC=60°，求证： ⊥平面 . 20. 的内角 的对边分别为 . 的面积为 ，且 . （1）求角 ； （2）求 的最大值. 21. 如图，三棱台ABC—DEF 中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （I）证明：EF⊥DB； （II）求DF 与面DBC 所成角的正弦值． 22. 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始 分均为 分，答对问题 分别加分、 分、 分、 分，答错任一题减 分；②每回答一题， 计分器显示累计分数，当累计分数小于 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 分时，答 题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题 顺序作答，直至答题结束.假设甲考生对问题 回答正确的概率依次为 、 、 、 、 且各题回答正确与否相互之间没有影响. （1）求甲考生本轮答题结束时恰答了 道题的概率； （2）求甲考生能进入下一轮的概率.