山西省长治市第二中学校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题含解析

2021--2022 学年第二学期高一期末考试数学试题 （满分150 分，考试时间120 分钟） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 复数 分子分母同时乘以，再化简整理即可. 【详解】 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的乘除运算，属于基础题. 2. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可得出答案. 【详解】解：因为 ， ， 所以 ， 解得 . 故选：D. 3. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍， 所以所求数据方差为 故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 正方体 中，异面直线 与 所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合异面直线所成角的定义进行求解即可. 【详解】由题意，作正方体 ，如下图所示： 连接 ， ， ∴异面直线 与 即所成的角为 . 由题可得 为等边三角形， . ∴异面直线 与 所成的角为60°. 故选：B. 5. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 ，解得 . 故选：B. 6. 四名同学各掷骰子7 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据 名同学的统计结果，可以判断出一定没 有出现点数 的是（ ） A. 平均数为 ，中位数为 B. 中位数为 ，众数为 C. 平均数为 ，方差为 D. 中位数为 ，方差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，2，3，4，6，6，6 时，满足平均数为4，中位数为4，可以出 现点数6，故A 错误； 对于B，当投掷骰子出现结果为3，3，3，4，4，5，6 时，满足中位数为4，众数为3，可以出现点数6， 故B 错误； 对于C，若平均数为3，且出现6 点，则方差 ， ∴平均数为3，方差为1 时，一定没有出现点数6，故C 正确； 对于D，当投掷骰子出现结果为2，2，3，3，6，6，6 时，满足中位数为3， 平均数为： 方差为 ，可以出现 点数6，故D 错误． 故选：C． 7. 甲乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为 ，则密码至少被一人成功破译的 概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合独立事件概率的乘法公式求出密码未被成功破译的概率，进而根据对立事件的概率和为1 即可求出结果. 【详解】结合独立事件概率的乘法公式可得密码未被成功破译的概率 ， 则根据对立事件的概率和为1，可知密码被成功破译的概率为 , 故选：C. 8. 在空间，若 直线 与平面 所成角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面角定义，结合线面垂直的判定定理进行求解即可. 【详解】如图，过点 作 平面 于 ，连接 ， 则 为直线 与平面 所成的角 ， 分别作 ，交 于点 ， ，交 于点 ， 连接 、 ， 因为 平面 ，所以 ， 因为 平面 ， 所以 平面 ，而 平面 ， 所以 ，同理 ， 因为 ， ， ， 所以 ≌ ，所以 ， ， 所以 ，则 为 的角平分线， 由 ，可得 ， 令 ，则 ， ，即 ， 在直角三角形 中，因为 ， 所以 ， 于是在直角三角形 中， ， 即 ． 故选：D 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知单位向量 ， 的夹角为 ，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 在 上投影向量为 C. 的最小值为 （ ） D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由已知条件计算判断即可，对于B，利用平面向量的几何意义判断，对于C， 结合已知条件可求出其最小值，对于D，计算 判断 【详解】对于A，因为单位向量 ， 的夹角为 ，所以 ， 所以A 错误， 对于B， 在 上投影向量为 ，所以B 正确， 对于C，因为 ， 所以当 时， 的最小值为 ，所以C 正确， 对于D，因为 ，所以 ，所以D 正确， 故选：BCD 10. 设复数 ， 满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 若 是方程 的根，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由共轭复数的定义判断即可，对于B，利用复数的乘方运算求解判断，对于C，由题意 可知方程 的根为 和 ，然后利用根与系数的关系可求出 ，对于D，设 ，结合 可表示出 的值，再由 可求出 ，从而可求出 【详解】对于A，因为 ，所以 的共轭复数为 ，所以A 正确， 对于B，因为 ，所以 ，所以 ，所以B 错误， 对于C，若 ，则由题意可知方程 的 根为 和 ，所以 ， 得 ，所以C 错误， 对于D，设 ，因为 ，所以解得 ， ，因为 ，所以 ， ，解得 ，所以 ，所以D 正确， 故选：AD 11. 某高中有学生 人，其中男生 人，女生 人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样 的原则抽取了容量为 的样本．经计算得到男生身高样本均值为 ，方差为 ；女生身高样本 均值为 ，方差为 ．下列说法中正确的是（ ） A. 男生样本量为 B. 每个女生入样的 概率均为 C. 所有样本的均值为 D. 所有样本的方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算总体的均值可判断C ；计算总体的方差可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：抽样比为 ，所以样本中男生有 人，故选项A 正确； 对于B：每个女生入样的概率等于抽样比 ，故选项B 不正确； 对于C：由分层抽样知，样本中男生有 人，男生有 人，所有的样本均值为： ，故选项C 正确； 对于D：设男生分别为 ， ， ， ，平均数 ， ，女生分别为 ， ， ， ， 平均数 ， ，总体的平均数为 ，方差为 ， 因为 ， 而 ， 所以 ， 同理可得 ， 所以 ， 故选项D 不正确； 故选：AC 12. 已知三棱锥 中 两两垂直，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. 二面角 的正切值为 B. 三棱锥 的内切球的半径为 C. 是线段 上一动点，则 面积的最小值为 D. 是三棱锥 的外接球上一动点，则点 到面 距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将三棱锥 嵌套在正方体 内，对于A：可证 ， ，结 合二面角可知：二面角 的平面角为 ，运算判断；对于B：根据三棱锥内切球的半径公 式 ，运算判断；对于C：根据正方体可证： ，结合三角形面积分析可得：当 是线段 的中点时， 面积取到最小值，运算判断；对于D：结合正方体可知：三棱锥 的外接 球即为正方体 的外接球，且 为外接球的直径，可证 平面 ，则点 到面 距离的最大值为 ，运算判断． 【详解】根据题意将三棱锥 嵌套在正方体 内，如图所示： 连接 交 于点 ， 在正方体 中，∴ ∵ ，点 为 的中点，则 ∴二面角 的 平面角为 ，则 ，A 正确； 三棱锥 的表面积为 ，体积为 ∴三棱锥 的内切球的半径为 ，B 错误； 根据题意可知： 平面 ，则 ∴ 面积为 当 是线段 的中点时， 取到最小值 ∴ 面积的最小值为 ，C 正确； 三棱锥 的外接球即为正方体 的外接球，显然 为外接球的直径，设 ∵ ， ，则 平面 ∴ 同理可证： ，则 平面 点 到面 距离的最大值为 ∵ 且 ，则 为平行四边形 ∴ ，则 ∴ ，D 正确； 故选：ACD． 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】按照百分位数的定义求解即可. 【详解】一共是10 个数，题目已将其从小到大排列好， ，即是第8 位数和第9 位数的平均 值= ； 故答案为：5. 14. 抛掷两枚大小质地均匀的骰子，则两枚骰子向上点数之和为 的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出所有可能的点数组合数，再列举出所有点数和为5 的组合，应用古典概率的求法求概率. 【详解】两枚骰子可能点数组合有 种，而点数和为5 的组合有 、 、 、 共 有4 种， 所以向上的点数之和为5 的概率为 . 故答案为： . 15. 在四面体 中， 都是边长为 的等边三角形，且平面 平面 ，则该四 面体外接球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】作图，根据几何关系找到球心，计算球的半径和体积即可. 【详解】 依题意作上图，取BD 的中点P，连接AP，CP， 取 的中心E， 的中心G，分别作平面ABD 和平面BCD 的垂线， 得交点H，则H 点就是四面体ABCD 外接球的球心，CH 就是球的半径r， ， ， 外接球的面积为 ； 故答案为： . 16. 的内角 的对边分别为 .若 ， 边角平分线 ，则边 的最小值为__ _______． 【答案】 【解析】 【分析】由 结合已知条件可得 ，再利用基本不等式可得 ，由余弦定 理得 ，当且仅当 时取等号，即当 时， 取得最小值， 【详解】因为 ， 是 的平分线， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，得 ，当且仅当 时取等号， 在 中， ，由余弦定理得 ， 当且仅当 时取等号，即当 时， 取得最小值12， 所以 的最小值为 ， 故答案为： 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 中，内角 的对边分别为 ，点 在边 上，且 ， ， ，边 . （1）求 的面积； （2）求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得 为等边三角形，从而得到各个边长，然后利用面积公式求解即可. （2）由余弦定理可得AC 长，然后利用正弦定理即可求解. 【小问1 详解】 且 ， 为等边三角形， , 的面积 【小问2 详解】 在 中，由余弦定理可得 在 中，由正弦定理可得 ， 18. 第19 届亚运会将于2022 年9 月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校 承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100 名候选者的面试成绩，并按照 ， ， ， ， 分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率 之和为0.9，第一组和第五组的频率相同． （1）求 ， 的值； （2）估计这100 名候选者面试成绩的中位数，平均数（精确到0.1）； （3）若先用按比例分配分层随机抽样的方法从面试成绩在 段的候选者中抽取6 人，再从这6 人中 随机抽取2 人，求这2 人来自同一分数段的概率． 【答案】（1） ， （2）中位数 ，平均数69 （3） 【解析】 【分析】（1）根据第二、三、四组的频率之和为0.9，即可求出 ，再根据频率这和等于1，即可求出 ； （2）根据频率分布直方图计算中位数和平均数即可； （3）分别求出抽取6 中两个分数段的人数，再利用列举法列举出所有基本事件，再根据古典概型即可得出 答案. 【小问1 详解】 解：因为第二、三、四组的频率之和为0.9， 所以 ，解得 ， 再由第一组、第五组的频率之和为 ， 即 ，得 ； 【小问2 详解】 解：根据频率分布直方图可知，第一、二组的频率之和为0.3，第一、二组、三组的频率之和为0.75， 所以中位数在第三组，且为 ， 平均数为 ； 【小问3 详解】 解：由（1）可得面试成绩在 段和 段的候选者分别有5 人和25 人， 若用分层随机抽样的方法从中抽取6 人，则需在 段中抽取1 人，设为A， 在 段中抽取5 人，分别设为 ， ， ， ， ． 该试验的样本空间为 ，共有15 个样本点， 设“从这6 人中随机抽取2 人，这2 人来自同一分数段”为事件 ， 则 ，有10 个样本点， 所以2 人来自同一分数段的概率为 ． 19. 在四棱锥 中， 平面ABCD，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点. （1）点 是棱 的中点，求证 平面 ； （2）若∠ABC=60°，求证： ⊥平面 . 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别取 的中点 ，连接 ，由题意可证明 ，再由线面平行 的判定定理可证明. （2）由题目条件证明到 ， ，再由线面垂直的判定定理可证明. 【小问1 详解】 分别取 的中点 ，连接 , 在三角形 中， 且 ； 在菱形 中， 为 中点，所以 且 ，所以 且 ，即四边形 为平行四边形，所以 ; 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 【小问2 详解】 证明：因为底面 是菱形且 ， 所以 为正三角形，所以 , 因为 ,所以 ； 因为 平面 ， 平面 , 所以 ； 因为 所以 平面 . 20. 的内角 的对边分别为 . 的面积为 ，且 . （1）求角 ； （2）求 的最大值. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及面积公式，可求出 的值，进而即得； （2）由题可得 ，再利用三角函数的性质即得. 【 小问1 详解】 ， ， ， ， ； 【小问2 详解】 由正弦定理得： ， ， ， ， ， 所以 的最大值为 . 21. 如图，三棱台ABC—DEF 中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （I）证明：EF⊥DB； （II）求DF 与面DBC 所成角的正弦值． 【答案】（I）证明见解析；（II） 【解析】 【分析】（）方法一：作 交 于 ，连接 ，由题意可知 平面 ，即有 ，根据勾股定理可证得 ，又 ，可得 ， ，即得 平面 ，即证得 ； （II）方法一：由 ，所以 与平面 所成角即为 与平面 所成角，作 于 ，连接 ，即可知 即为所求角，再解三角形即可求出 与平面 所成角的正弦值． 【详解】（）[方法一]：几何证法 作 交 于 ，连接 ． ∵平面 平面 ，而平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，而 平面 ，即有 ． ∵ ， ∴ ． 在 中， ，即有 ，∴ ． 由棱台的定义可知， ，所以 ， ，而 ， ∴ 平面 ，而 平面 ，∴ ． [方法二]【最优解】：空间向量坐标系方法 作 交 于O． ∵平面 平面 ，而平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，以 为原点，建立空间直角坐标系如图所示. 设OC=1,∵ ， ， ∴ ,∴ ， ∴ , , , ∴BC⊥BD,又∵棱台中BC//EF,∴EF⊥BD； [方法三]：三余弦定理法 ∵平面ACFD 平面ABC，∴ , ∴ ， 又∵DC =2BC． ∴ ,即 , 又∵ ，∴ ． （II）[方法一]：几何法 因为 ，所以 与平面 所成角即为与 平面 所成角． 作 于 ，连接 ，由（1）可知， 平面 ， 因为所以平面 平面 ，而平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． 即 在平面 内的射影为 ， 即为所求角． 在 中，设 ，则 ， ， ∴ ． 故 与平面 所成角的正弦值为 ． [方法二]【最优解】：空间向量坐标系法 设平面BCD 的法向量为 , 由（）得 , , ∴ 令 ,则 , , , ， , 由于 ，∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ． [方法三]：空间向量法 以 为基底, 不妨设 ，则 (由（）的结论可得）． 设平面 的法向量为 ， 则由 得 取 ，得 ． 设直线 与平面 所成角为 ， 则直线 与平面 所成角也为 ， 由公式得 ． [方法四]：三余弦定理法 由 ， 可知H 在平面 的射影G 在 的角平分线上． 设直线 与平面 所成角为 ，则 与平面 所成角也为 ． 由由（）的结论可得 ， 由三余弦定理，得 ， 从而 ． [方法五]：等体积法 设H 到平面DBC 的距离为h， 设 ,则 , 设直线 与平面 所成角为 ，由已知得 与平面 所成角也为 ． 由 ， , 求得 ，所以 ． 【整体评价】（）的方法一使用几何方法证明，方法二利用空间直角坐标系方法，简洁清晰，通性通法， 确定为最优解；方法三使用了两垂直角的三余弦定理得到 ，进而证明，过程简洁，确定为最 优解（II）的方法一使用几何做法，方法二使用空间坐标系方法，为通性通法，确定为最优解；方法三使 用空间向量的做法，避开了辅助线的求作；方法四使用三余弦定理法，最为简洁，确定为最优解；方法五 采用等体积转化法，避免了较复杂的辅助线. 22. 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始 分均为 分，答对问题 分别加分、 分、 分、 分，答错任一题减 分；②每回答一题， 计分器显示累计分数，当累计分数小于 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 分时，答 题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题 顺序作答，直至答题结束.假设甲考生对问题 回答正确的概率依次为 、 、 、 、 且各题回答正确与否相互之间没有影响. （1）求甲考生本轮答题结束时恰答了 道题的概率； （2）求甲考生能进入下一轮的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出甲考生本轮答题结束时恰答了 道题的情况，再由独立事件的乘法公式即可 得出答案. （2）求出甲考生能进入下一轮的所有情况，再由独立事件的乘法公式即可得出答案. 【小问1 详解】 设 分别为第一、二、三、四个问题，用 分别表示甲考生在第k 个问题回答正确 的概率，则 ， 记“本轮答题结束时甲恰答了 道题”为事件 . 则 . 【小问2 详解】 记“甲考生能进入下一轮”为事件 ，则