天津市部分区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题含解析

天津市部分区2021~2022 学年度第二学期期末练习 高一数学 一､选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知向量 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量坐标的加运算直接计算即可. 【详解】因为 ， ， 所以 . 故选：A. 2. 若复数 （为虚数单位），则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由已知求出复数 ，再求其模即可 【详解】因为 ， 所以 ， 故选：B 3. 棱长为1 的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ） （注：球的体积 ，其中 为球的半径） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方体外接球直径与其体对角线长之间的关系，求出球半径即可计算作答. 【详解】因正方体的体对角线长等于该正方体外接球直径，则球半径 ， 所以球的体积为 . 故选：A 4. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ） A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 正方形在直观图中仍然是正方形 D. 平行的线段在直观图中仍然平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则对四个选项逐一分析即可. 【详解】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A 错误. 选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x 轴的线平行性与长度都不变；平行于y 轴的线平行性不变，但 长度变为原长度的一般，故B 错误. 选项C：正方形的两临边相等，但在直观图中不相等，C 错误. 选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D 正确. 故选：D. 5. 假设 ，且A 与 相互独立，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的并事件的概率公式： ，代入运算求解． 【详解】 故选：C． 6. 在 中，角 的对边分别为 .若 ，则 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接求解即可. 【详解】在 中，已知 ， ， ， 由余弦定理得： . 所以 . 故选：A. 7. 四名同学各掷骰子5 次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有 出现点数6 的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.5 D. 中位数为3，方差为2.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6 时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数 6，故A 错误； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6 时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错 误； 对于C，若平均数为2，且出现6 点，则方差 ， ∴平均数为2，方差为2.5 时，一定没有出现点数6，故C 正确； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6 时，满足中位数为3， 平均数为： 方差为 ，可以出现点数6，故D 错误． 故选：C． 8. 甲､乙两人独立地破译一份密码，已知甲､乙能破译的概率分别是 ，则密码被破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分一人破译和两人破译，再利用独立事件的概率求解. 【详解】解：因为甲､乙两人独立地破译一份密码，且甲､乙能破译的概率分别是 ， 所以密码被破译的概率为 ， 故选：D 9. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 ∥ D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线面平行，面面平行，线面垂直的判定和性质逐个分析判断即可 【详解】对于A，当 时， 可能平行，也可能相交，所以A 错误， 对于B，当 时， 可能平行，可能异面，所以B 错误， 对于C，当 时， ∥ 或 ，所以C 错误， 对于D，当 时，由面面平行的性质可得 ，所以D 正确， 故选：D 10. 若平面向量 ， ， 两两的夹角相等，且 ， ， ，则 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量 ， ， 两两的夹角相等可得夹角为 或 ，对夹角的取值分类讨 论即可求出 的值． 【详解】解：由平面向量 ， ， 两两的夹角相等，得夹角为 或 ， 当夹角为 时， ， 当夹角为 时， ． 故选： ． 二､填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分. 11. 一个盒子中装有6 支圆珠笔，其中3 支一等品，2 支二等品和1 支三等品.若从中任取2 支，那么两支都 是一等品的 概率为___________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】盒子中装有6 支圆珠笔，从中任取2 支，包含 个，其中两支都是一等品的包含 个， 所以两支都是一等品的概率为为 . 故答案为： 12. 已知 ，若 ，则实数 的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用坐标运算中向量共线的条件即可求解. 【详解】因为 ，且， ，所以 ，所以 . 故答案为： . 13. 从某校高一年级学生中随机抽取了20 名学生，将他们的数学检测成绩分成六段（满分100 分，成绩均 为不低于40 分的整数）： ，得到如图所示的频率分布直方图，则得分在 内的人数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a 的值，再根据总人数和 的频率，即 可得答案. 【详解】因为频率分布直方图中所有小矩形面积和为1， 所以 ，解得 ， 所以分数在 内的人数为 . 故答案为：6. 14. 在正方体 中，直线 与底面 所成角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的定义找到直线 与底面 所成的角，在 中计算出余弦值为所求． 【详解】在正方体 中， 平面 ， 直线 与底面 所成角为 ，设正方体棱长为 ，则 ，在 中， ， 故答案为： 15. 给出下列四个命题， ①非零向量 满足 ，则 与 的夹角是 ； ②若 ，则 为等腰三角形； ③若单位向量 的夹角为 ，则当 取最小值时， ； ④若 为锐角，则实数 的取值范围是 . 则其中所有正确的序号为___________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用向量加法法则计算判断①；利用向量数量积运算律计算判断②；利用向量模及数量积运算计 算判断③；利用向量夹角为锐角求出m 范围判断④作答. 【详解】对于①，如图， ， ，点D 是线段PQ 的中点， ， 因 ，则 是正三角形， ，即 夹角为 ，所以 与 的 夹角是 ，①正确； 对于②，在 中，由 得 ，即 ， 为等腰三 角形，②正确； 对于③， ， ， 当且仅当 时， 取得最小值，③正确； 对于④， ，因 为锐角，则 且 与 不共线， 由 得 ，解得 ，当 与 共线时， ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 且 ，④不正确. 故答案为：①②③ 【点睛】结论点睛：两个向量夹角为锐角的充要条件是这两个向量的数量积大于0，并且它们不共线；两 个向量夹角为钝角的充要条件是这两个向量的数量积小于0，并且它们不共线. 三､解答题：本大题共5 小题，共60 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 已知复数 ， （1）若 是纯虚数，求实数 的值； （2）若 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）若 是纯虚数，则实部为 ，虚部不为 ，列方程组求解即可； （2）若 在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于 ，虚部小于 ，列不等式组求解即可． 【详解】（1）若复数是 纯虚数，则 ， 解得 ， 所以 （2）复数 在复平面内对应的点位于第四象限 则 即 所以，实数 的取值范围是 17. 某校举行演讲比赛，10 位评委对一名选手的评分数据如下： （1）根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75 百分位数； （2）该选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分，求剩下8 个评分数据的平均数和方差. （注：一组数据 的平均数为 ，它的方差为 ） 【答案】（1） （2）平均数为 ，方差为 【解析】 【分析】（1）将以上数据进行排序根据 得该选手评分的样本数据为第八个数据可得答案； （2）去掉一个最低分 和一个最高分 ，计算出剩下 个评分数据的平均数，计算其方差可得答案. 【小问1 详解】 将数据进行排序得到 ， 因为样本数据的第 百分位数， 所以， ， 该选手评分的样本数据为第八个数据， 所以，该选手评分的样本数据的第 百分位数为 . 【小问2 详解】 去掉一个最低分 和一个最高分 ， 剩下 个评分数据的平均数为： ， 所以其方差为： . 18. 在 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知 （1）求 的值； （2）若 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求 的值即可； （2）利用正弦定理求得 ，结合角 的范围可得 ，再由二倍角的正余弦公式以及 两角和的正弦公式可得结果． 【详解】（1）在 中，由 ，整理得 ， 又由余弦定理，可得 ； （2）由（1）可得 ，又由正弦定理 ， 及已知 ，可得 ； 可得 ，由已知 ，可得 ，故有 ， 为锐角，故由 ，可得 ，从而有 , ． 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”． 19. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4 的概率； （2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编 号为n，求 的概率 【答案】（1） ，（2） 【解析】 【详解】（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1 和2,1 和3,1 和4,2 和3,2 和 4,3 和4，共6 个， 从袋中随机取出的球的编号之和不大于4 的事件共有1 和2,1 和3 两个． 因此所求事件的概率为 . （2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n， 其中一切可能的结果（m，n）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3）， （2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16 个． 所有满足条件n≥m＋2 的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3 个， 所以满足条件n≥m＋2 的事件的概率为P1＝ 故满足条件n＜m＋2 的事件的概率为1－P1＝1－ ＝ . 20. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形.已知 （1）证明 平面 ； （2）求异面直线 与 所成的角的正切值； （3）求二面角 的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证得 ， ，再由线面垂直的判定定理即可证明. （2）由题设， ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角.由题意可证明 是直角三角形，再求出 的值代入即可得出答案. （3）过点 作 于 ，连结 .可证得 是二面角 的平面角. 求出 ，代入即可求出答案. 【小问1 详解】 证明：在 中，由题设 于是 . 在矩形 中， .又 ， 所以 平面 . 【小问2 详解】 由题设， ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角. 在 中，由余弦定理得 由（1）知 平面 平面 ， 所以 ，因而 ，于是 是直角三角形，故 所以异面直线 与 所成的角的正切值为 【小问3 详解】 过点 作 于 ，连结 . 由（1）可知 平面 ，又 ，所以 平面 ，可得 ，从而 是二面角 的平面角. 由题设可得， 所以 . 于是， 所以二面角 的正切值为 .