天津市东丽区2021-2022学年高一下学期期末数学试题含解析

东丽区2021-2022 学年度第二学期高一数学期末质量监测 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1 页至第2 页，第Ⅱ卷 第3 页至第8 页.试卷满分120 分.考试时间100 分钟.考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共 45 分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必先将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号用蓝、黑色墨 水的钢笔（签字笔）或圆珠笔填在“答题卡”上；用2B 铅笔将考生号所对应的填涂信息点填好. 2．答案答在试卷上无效.答题时，请注意题号顺序.每小题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡” 上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信 息点. 一．选择题（本大题共9 小题，每小题5 分，共45 分．每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】求出复数对应的点即可得出. 【详解】复数 对应的点为 ，在第二象限. 故选：B. 2. 下列情况适合用全面调查的是（ ）． A. 了解一批玉米种子的发芽率 B. 了解某城市居民的食品消费结构 C. 调查一个县各村的粮食播种面积 D. 调查一条河的水质 【答案】C 【解析】 【分析】根据全面查得抽样调查的定义逐一判断即可 【详解】A．了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意； B．了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意； C．调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查，故符合题意； D．调查一条河的水质适合抽样调查，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题正确的 是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 梯形确定一个平面 C. 两条直线确定一个平面 D. 四边形确定一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断每个选项：当三点共线时不能确定一个平面，梯形上底和下底平行，能确定一个平面， 两条直线异面时不能确定一个平面，空间四边形不能确定一个平面，得到答案. 【详解】当三点共线时不能确定一个平面，A 错误； 梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B 正确； 两条直线异面时不能确定一个平面，C 错误； 空间四边形不能确定一个平面，D 错误. 故选：B. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据两角和的余弦公式得出结果. 【详解】 ， 故选：C. 5. 已知向量 ， ，若 ，则实数m 的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算即可得出答案. 【详解】解：因为 ， 所以 ，解得： . 故选：B. 6. 在 中， ， ， ，那么 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用余弦定理直接解出即可. 【详解】由余弦定理： . 故选：B. 7. 已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，如果P（AB）＝0，那么P（A B）等于（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.3 D. 0.2 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用概率的计算公式计算得到答案. 【详解】 . 故选：A. 8. 棱长为3 的正方体的8 个顶点均在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得正方体的对角线长为 ，根据球的直径等于长方体的对角线长，求得球的半径，结 合体积公式，即可求解. 【详解】由题意，棱长为3 的 正方体的对角线长为 ， 设外接球的半径为 ， 根据组合体的性质，可得 ，即 ， 所以球的体积为 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查球的体积的计算，以及组合体的性质，其中解答中熟记组合体的性质，求得球的半 径是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9. 某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200 名学生进行成绩 统计，发现抽取的学生的成绩都在50 分至100 分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出 频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中x 的值为0.004 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10 C. 估计全校学生的平均成绩不低于80 分 D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93 分 【答案】C 【解析】 【分析】由概率总和为1 可得 ，由百分位数定义计算80%分位数，由频率分布直方图的频率计算人数， 均值判断各选项． 【详解】由 得 ，A 错； 成绩在区间[60，70）的频率为 ，人数为 ，B 错； 平均成绩为 ，C 正确； 低于90 分的频率为 ，设样本数据的80%分位数约为 分， 则 ，解得 ，D 错． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共 75 分） 注意事项： 答案答在试卷上无效.用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔直接在第Ⅱ卷 “答题纸”上做 答. 二．填空题（每题5 分，共30 分） 10. 已知 ，则z＝________． 【答案】 ． 【解析】 【分析】由复数除法法则计算． 【详解】由已知 ． 故答案为： ． 11. 已知向量 ， ，且 ，则x= ______． 【答案】-8 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件和平面向量的数量积的坐标运算列方程求解. 【详解】因为 ，所以 故答案为：-8. 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40 人，乙班50 人．现分析两个班的一次考试成绩， 算得甲班的平均成绩是90 分，乙班的平均成绩是81 分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是_____分． 【答案】85 【解析】 【详解】试题分析：甲班有40 人，乙班50 人．现分析两个班的一次考试成绩， 算得甲班的平均成绩是90 分， 乙班的平均成绩是81 分， 该校数学建模兴趣班的平均成绩是 =85 分． 考点：加权平均数 点评：简单题，这种问题注意要每一个数据乘以它的权重，得到所有数据之和，再除以所有数的个数． 13. 已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7 和0.8，且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、 乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】根据相互独立事件概率计算公式可知，两人都中靶的概率为 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题. 14. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若 ＝2 ， ＝ ，则λ＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，用向量 与 表示出 即可. 【详解】△ABC 中，D 是AB 边上一点， ＝2 ， ＝ ，如图所示， ∴ ＝ ＝ + ①， ＝ ，∴ ＝ ②； ①+②得，3 ＝ +2 ，∴ ＝ + ；∴λ＝ ． 故答案为： ． 15. 如图，正方体 的棱长为1，E、F 分别为棱AD、BC 的中点，则平面 与底面 ABCD 所成的二面角的余弦值为_________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】由题可得 即为平面 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，即可求出. 【详解】因为E、F 分别为棱AD、BC 的中点，所以 ， ， 所以 即为平面 与底面ABCD 所成的二面角的平面角， 则在 中， ， 所以平面 与底面ABCD 所成的 二面角的余弦值为 . 故答案为： . 三．解答题（共5 道大题，共45 分） 16. 已知 ， ． （1）求 及 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件由两角和的正切公式以及二倍角公式即可求解； （2）根据已知条件，结合同角三角函数基本关系以及两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为 ，所以 因为 ，即 ， 解得： 或 因为 ，所以 ，所以 . （2）因为 ，且 ， 解得： ， ， 因为 ，所以 ， ， 所以 ， ， 因为 ， ，所以 ， 所以 . 17. 设 的内角 的对边分别为 ．已知 ， ， ． （1）求 的值； （2）求 的 面积． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据同角三角函数关系求得 ，利用正弦定理求得结果； （2）利用余弦定理构造方程求得 ，由三角形面积公式求得结果. 【详解】（1） 且 ， ， ， 由正弦定理得： . （2）由余弦定理得： ，解得： 或 （舍）， . 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形的问题，考查学生对于正弦定理、余弦定理和三角形面积公式掌握 的熟练程度，属于基础题. 18. 某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从 三个行政区抽出6 个社区 进行调查．已知 三个行政区中分别有 个社区． （1）求从 三个行政区中分别抽取的社区个数； （2）若从抽得的6 个社区中随机抽取2 个进行调查． ①试列出所有可能的抽取结果； ②设事件M 为“抽取的2 个社区中至少有一个来自A 行政区”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）从 三个行政区中应分别抽取的社区个数为 ；（2）①答案见解析；② ． 【解析】 【分析】（1）求出抽样比，即可求出从 三个行政区中分别抽取的社区个数； （2）①设 为在A 行政区中抽得的2 个社区， 为在B 行政区中抽得的3 个社区， 为在C 行政区中抽得的社区，即可用有序数对表示出所有结果； ②根据古典概型的概率公式即可求出． 【详解】（1）社区总数为 ，样本容量与总体中的个体数比为 所以从 三个行政区中应分别抽取的社区个数为 （2）①设 为在A 行政区中抽得的2 个社区， 为在B 行政区中抽得的3 个社区， 为在C 行政区中抽得的社区，在这6 个社区中随机抽取2 个，全部可能的结果有 ， 共有15 种． ②设事件“抽取的2 个社区至少有1 个来自A 行政区”为事件M，则事件M 所包含的所有可能的结果有： ，共有9 种．所以这2 个社区中至少有1 个来自A 行政区的概率为 19. 已知平面向量 ， ， ， ，且 与 的夹角为 ． （1）求 ； （2）求 ； （3）若 与 垂直，求 的值． 【答案】（1）；（2） ；（3） . 【解析】 【分析】 （1）由数量积定义可直接求得结果； （2）结合数量积的运算律可求得 ，进而得到结果； （3）根据垂直关系得到 ，由数量积的运算律构造方程求得结果. 【详解】（1） ； （2） ， ； （3） ， ， 即 ，解得： . 【点睛】本题考查平面向量数量积、向量模长的求解、根据向量垂直关系求解参数值的问题，解题关键是 熟练应用平面向量数量积的运算律，属于基础题. 20. 如图，四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， 、 分别是棱 、 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求证： ． （3）已知正方形 的边长为2， ，求： ①异面直线 所成角的余弦； ②直线 与平面 所成角的正弦． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）① ；② 【解析】 【 分析】（1）根据 即可证明； （2）通过 和 得出 平面 ，即可得出 ，进而证得； （3）①通过题意可得∠PCB 为异面直线AD，PC 所成的角，求解即可； ②通过证明CD 平面ABCD 可得∠CPD 为直线CP 与平面PAD 所成的角，即可求出. 【小问1 详解】 证明：由 、 分别是棱 、 的中点，可得： ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； 【小问2 详解】 ∵底面 为正方形， ， 又 平面 ，所以 ， 又 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 ， 又由（1）得 ，所以 ； 【小问3 详解】 ①∵底面 为正方形，∴AD∥BC，BC AB， ∠ ∴ PCB 为异面直线AD，PC 所成的角， ∵ 平面 ， ， ， 因为 ，所以BC 平面PBC，所以 ， 因为正方形 的边长为2， ， 所以 ， ， 所以 ； ②∵底面 为正方形，∴CD AD， ∵ 平面 ，CD 平面ABCD，∴CD PA， 因为 ，所以CD 平面ABCD， ∠ ∴ CPD 为直线CP 与平面PAD 所成的角，∴ .