青海省西宁市青海湟川中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题

湟川中学2022~2023 学年度第一学期学情调研测试 高二数学试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷满分为150 分，考试时间为120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位 置。 3．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作 答，在其他位置作答一律无效。 一、选择题；本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设z=-3+2i，则在复平面内 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E 为A1C1的中点，若 = + + ，则（ ）． A．x＝1， ， B．x＝1， ， C． ，y＝1， D． ，y＝1， 3．设非零向量 ， 满足 ，则 A． ⊥ B． C． ∥ D． 4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉 古算经》等10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10 部专著中有7 部产生于 魏晋南北朝时期．某中学拟从这10 部专著中选择2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2 部专著中至 少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为． A． B． C． D． 5．已知向量 ， ， ，则有（ ）． A． B． C． D． 6．已知 ， (0, π)，则 = A． 1 B． C． D．1 7．曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 8．若曲线 的一条切线与直线 垂直，则的方程为 A． B． C． D． 9．四面体 中， ， ， ，点 在线段 上，且 ， 为 中点，则 为 （ ） A． B． C． D． 10．椭圆 上一点 关于原点的对称点为 ， 为其左焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．已知 ，若直线 与直线 平行，则它们之间的距离为（ ） A． B． C． D． 或 12．若圆 上总存在两个点到点 的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．已知椭圆 ，过 点作直线l 交椭圆C 于A，B 两点，且点P 是AB 的中点，则直线l 的方程是__ ________. 14．过点 且与圆 相切的直线的方程是______． 15．已知椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆过焦点 的弦，则 的周长是___. 16．已知P 为圆 上任意一点，A，B 为直线 上的两个动点，且 ，则 面积 的最大值是___________． 三、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知直线 ． （1）若 ，求实数a 的值； （2）当 时，求直线与 之间的距离． 18．在△ABC 中，内角A,B，C 的对边分别为a，b，c，且bsinA= acosB． （1）求角B 的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c 的值 19．如图，已知正方体 的棱长为2， E、F 分别为 、 中点. (1)求证： ; (2)求两异面直线BD 与 所成角的大小. 20．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，点 是 的中点． (1)求点D 到平面AD1E 的距离； (2)求证：平面AD1E⊥平面EBB1． 21．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50 名职工，根据这50 名职工对该部门的评分，绘制频率 分布直方图（如图所示）： (1)求频率分布直方图中a 的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分的中位数与平均值； (3)从评分在 的受访职工中，随机抽取2 人，求此2 人评分都在 的概率. 22．如图，已知椭圆 的左、右顶点分别是 ，且经过点 ， 直线 恒过 定点 且交椭圆于 两点， 为 的中点. (1)求椭圆 的标准方程; (2)记 的面积为S，求S 的最大值. 数学试题参考答案及评分标准 1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 对于A，因为 ， ， ， 所以 ， ，所以 ，故A 不正确； 对于B，因为 ， ， ， 所以 ， ， 所以 ，故B 不正确； 对于C，因为 ， ，所以 ，又 ， 所以 ，即 ，故C 正确. 对于D，因为 ， ， ， 所以 ， ， ，所以 ，故D 不正确. 故选：C. 6．A ， ， ，即 ，故 故选 7．A 根据导数的几何意义得到点 处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可. ，所以在点 处的切线的斜率为-1，倾斜角为 . 故选：A. 8．A 与直线 垂直的直线为 ，即 在某一点的导数为4，而 ，所以 在(1，1)处导数为4，此点的切线为 ，故选A 9．C 利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解. 解：根据题意可得， . 故选：C. 10．B 确定四边形 为矩形，得到 ，根据三角函数的性质得到离心率范围. 设椭圆右焦点为 ，连接 ， ， ，则四边形 为矩形， 则 ， 故 ， ，则 ， ， . 故选：B. 11．A 根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出． 解：直线 与直线 平行， ，解得 或 ， 又 ，所以 ， 当 时，直线 与直线 距离为 . 故选：A 12．A 将问题转化为圆 与 相交，从而可得 ，进 而可求出实数a 的取值范围. 到点 的距离为2 的点在圆 上， 所以问题等价于圆 上总存在两个点也在圆 上， 即两圆相交，故 ， 解得 或 ， 所以实数a 的取值范围为 ， 故选：A． 13． 设 ， ， ， ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 解：设 ， ， ， ， 则 ， ， ． 恰为线段 的中点，即有 ， ， ， 直线 的斜率为 ， 直线 的方程为 ， 即 ． 由于 在椭圆内，故成立． 故答案为： ． 14． 或 当直线斜率不存在时，可得直线 ，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率 存在时，设斜率为k，可得直线l 的方程，由题意可得圆心到直线的距离 ， 即可求得k 值，综合即可得答案. 当直线l 的斜率不存在时，因为过点 ， 所以直线 ， 此时圆心 到直线 的距离为1=r， 此时直线 与圆 相切，满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k， 所以 ，即 ， 因为直线l 与圆相切， 所以圆心到直线的距离 ，解得 ， 所以直线l 的方程为 . 综上：直线的方程为 或 故答案为： 或 15．16 根据椭圆的定义求解． 由椭圆的定义知 所以 . 故答案为：16． 16．3 直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出 结果． 解：根据圆的方程，圆心 到直线 的距离 ， 所以圆上的点 到直线的最大距离 ， 此时最大面积 ． 故答案为：． 17．（1） ；（2） ． （1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程. （2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程， 结合直线的距离公式即可求出直线与 之间的距离. （1）由 知 ，解得 ． （2）当 时，有 ，解得 ． 此时 ，即 ， 则直线与 之间的距离 ． 本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题. 18．（1）B=60°（2） （1)由正弦定理得 【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理 19．(1)见解析 (2) （1）利用向量乘积为0 证明即可； （2）利用向量法求异面直线所成的角. （1） 如图,建立空间直角坐标系 则 因为 所以 ,即 （2） 设异面直线BD 与 所成角为 ,则 所以 ,即异面直线BD 与 所成角的大小为 20．(1) ; (2)证明过程见解析. （1）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案； （2）利用空间向量的数量积为0 证明出 ，从而证明出线面垂直，进而证 明出面面垂直. （1）以D 为坐标原点，分别以DA，DC， 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 令 得： ， 所以 ， 则点D 到平面AD1E 的距离为 ； （2） ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以平面 ⊥平面 . 21．(1) ； (2)中位数为 ，均值为 ； (3) （1）根据频率和为1 可求频率分布直方图中a 的值; （2）根据组中值可求平均值，根据前3 组、前4 组的频率和可求中位数. （3）利用古典概型的概率计算公式可求概率. （1）由直方图可得 ，故 . （2）由直方图可得平均数为 . 前3 组的频率和为 ， 前3 组的频率和为 ， 故中位数在 ，设中位数为 ，则 ，故 . 故中位数为 . （3）评分在 的受访职工的人数为 ， 其中评分在 的受访职工的人数为 ，记为 在 的受访职工人数为，记为 ， 从5 人任取2 人，所有的基本事件如下： ， 基本事件的总数为10， 而2 人评分都在 的基本事件为 ， 故2 人评分都在 的概率为 . 22．(1) (2) （1）由直线过定点坐标求得 ，再由椭圆所过点的坐标求得 得椭圆方程； （2）设 ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得 ， 计算弦长 ，再求得 到直线的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大 值． （1）由题意可得，直线 恒过定点 ， 因为 为 的中点， 所以 ， 即 . 因为椭圆 经过点 ，所以 ， 解得 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）设 . 由 得 恒成立， 则 ， 则 又因为点 到直线的距离 ， 所以 令 ， 则 ， 因为 ， 时， ， 在 上单调递增， 所以当 时， 时，故 . 即S 的最大值为 . 方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属 于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元 后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离， 从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．