2021-2022学年四川省成都市树德中学高二上学期上月阶段性测试数学（理）试题PDF版含答案

高二数学（理科）2021-10 阶考第1页 共2 页 树德中学高2020 级高二上学期10 月阶段性测试数学（理科）试题 命题、审题：高二数学备课组 一、选择题（每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求． ） 1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短的轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称 为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是 A． 2 2 1 8 4 x y   B． 2 2 1 3 5 x y   C． 2 2 1 6 2 x y   D． 2 2 1 6 9 x y   2．点  2,3 , 1 A v    关于x 轴的对称点为   ' ,7, 6 A   ，则 A． 2 1 5 v      ， ， B． 2 4 5 v      ， ， C． 2 10 8 v      ， ， D． 2 10 7 v      ， ， 3．已知集合     , 0 A x y x ay a     ，       , 2 3 1 0 B x y ax a y     .若A B   ，则实数a  A．3 B．1  C．3 或1  D．3 或1 4．若 , 6 2          ，则直线4 cos 6 7 0 x y    的倾斜角的取值范围是 A． , 6 2        B．5 , 6        C．0, 6        D． 5 , 2 6         5．已知直线 1 0 ax y   及两点   2,1 P  ，  3,2 Q ．若直线与线段PQ（P 指向Q ）的延长线（不含Q 点） 相交，则实数a 的取值范围是 A．    , 1 1,   U B． 1 1, 5         C．1 ,1 5       D．  1,1  6．已知   1,1 A ， 1 F 是椭圆 2 2 5 9 45 x y   的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求 1 PA PF  的最大值和最小 值分别为 A．6 2;6 2   B．4 2;4 2   C．6 2 2;6 2 2   D．4 2 2;4 2 2   7．如图，在棱长为2 的正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，E 为棱 1 CC 的中点，P 、Q 分别为面 1 1 1 1 D C B A 和线段 1 B C 上的动点，则 EPQ △ 周长的最小值为 A．2 2 B．10 C．2 3 D．3 2 8．已知实数x ，y 满足不等式组 1 0 2 3 6 1 0 x y x y y          .设 2 z x y   ，则z 的取值范围为 A．  1,10  B．  1,1  C．  10,1  D．  1,5  9．已知椭圆C 方程为： 2 2 1 4 3 x y  ，左右焦点是 1 F ， 2 F ，圆 1 F ：  2 2 1 1 x y   ，动圆P 的圆心P 在椭 圆C 上并且与圆 1 F 外切，直线l 是圆P 和圆 1 F 的外公切线，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，当圆P 的 半径最长时，则三角形F1AB 的面积为 A．5 9 B．2 3 C．7 9 D．8 9 10．已知椭圆C 的焦点为   1 1,0 F  ， ( ) 2 1,0 F ，过 2 F 的直线交C于A ，B ，若 2 2 2 AF F B  ， 1 AB BF  ， 则C的方程为 A． 2 2 1 2 x y   B． 2 2 1 3 2 x y   C． 2 2 1 4 3 x y   D． 2 2 1 9 8 x y   11．已知函数   f x 是定义域为R 的偶函数，     1 1 f x f x    ，当0 1 x 时， 2 3 1 f x x   ，则 函数 3 6 x g x   与函数  y f x  交点的个数为 A．6 B．7 C．12 D．14 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (0, 2) A  ，点 (1, 1) B  ，P 为圆 2 2 2 x y   上一动点（异于点B ） ， 则 PB PA 的最大值是 A．2 B．4 C． 2 D．2 2 二、填空题(本大题共4 小题，每题5 分，共20 分) 13．一条光线沿直线2 2 0 x y    入射到直线 5 0 x y    后反射，则反射光线所在直线的一般方程为 __________． 14．当直线l ：    1 2 1 7 4 0 m x m y m       （ R m  ）被圆C ：    2 2 2 1 25 x y     截得的弦最短时， 实数m的值为 . 15．已知直线: 2 1 0 l kx y k   与椭圆 2 2 1 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     交于A、B 两点，与圆 2 2 2 :( 2) ( 1) 1 C x y     交于C、D 两点．若存在 [ 2, 1] k   ，使得AC DB      ，则椭圆 1 C 的离心率的取值范围是_____________． 16．如图，P 为椭圆 1 C ： 2 2 1 8 6 x y  = 上的动点，过P 作椭圆 1 C 的切线交圆 2 C ： 2 2 24 x y   于M ，N ，过M ，N 作 2 C 切线交于Q ， 则Q 的轨迹方程为 ； OPQ S 的最大值为 。 三、解答题（17 小题10 分，18-22 每小题12 分，共70 分.解答应写出必要 高二数学（理科）2021-10 阶考第2页 共2 页 的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．分别求解以下两个小题： （1）两个焦点在x 轴上，且经过 ( 3, 2) A  和 ( 2 3,1) B  两点，求椭圆的标准方程： （2）已知点P 为椭圆 2 2 1 25 16 x y  上的任意一点，O为原点，M 满足 1 2 OM OP      ，求点M 的轨迹方程是 18．已知圆C 过   2,6 P ，   2,2 Q  两点，且圆心C 在直线3 0 x y   上． （1）求圆C 的一般方程； （2）若直线l 过点   0,5 P 且被圆C 截得的线段长为4 3 ，求l 的一般方程． 19． 已知圆C 经过  2,4 ，  1,3 两点， 圆心C 在直线 1 0 x y   上， 过点   0,1 A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. （1）求圆C 的标准方程； （2）若 12 OM ON      （O为坐标原点） ，求直线l 的斜率. 20．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 1 F ， 2 F 分别是椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左、右焦点，顶点B 的坐标为  0,b ，且 1 2 BF F △ 是边长为2 的等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点 2 F 的直线l 与椭圆交于A ，C 两点记 2 ABF  ， 2 BCF 的面积分别为 1 S ， 2 S ，若 1 2 2 S S  ，求 直线l 的斜率． 21．已知C 为圆(x＋1)2＋y2＝12 的圆心，P 是圆C 上的动点，点M(1，0)，若线段MP 的中垂线与CP 相 交于Q 点. （1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹N 的方程； （2）过点(1，0)的直线l 与点Q 的轨迹N 分别相交于A，B 两点，且与圆O：x2＋y2＝2 相交于E，F 两 点，求|AB|·|EF|2 的取值范围． 22．椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     的上顶点为A ，右顶点为B ，椭圆C 内有一点   1,0 M ，且 MAB △ 的面 积和椭圆的离心率均为 2 2 . （1）求C 的标准方程； （2） 以M 为圆心， 1为半径做圆，P Q 、 为y 轴上的两点，T 为椭圆上非坐标轴上的点， 若直线TP TQ 、 均与圆相切，求TPQ  面积的取值范围. 树德中学高2020 级高二上学期10 月阶段性测试数学（理科）试题答案 1-12：ADABBABACBDA 高二数学（理科）2021-10 阶考第3页 共2 页 13. 2 7 0 x y    14． 3 4  15. 2 0, 2        16. 2 2 1 72 96 x y  .； 3 17【答案】(1) 2 2 1 15 5 x y  ；(2) 2 2 4 1 25 4 x y  . (1)依题意，设椭圆方程为 2 2 1( , 0, ) mx ny m n m n     ，因椭圆经过点 ( 3, 2) A  和 ( 2 3 ,1) B  ， 于是得 2 2 2 2 ( 3) ( 2) 1 ( 2 3) 1 1 m n m n             ，即 3 4 1 12 1 m n m n        ，解得 1 1 , 15 5 m n   ， 所以所求椭圆的标准方程为 2 2 1 15 5 x y  ； （2）设P 点坐标为 0 0 ( , ) x y ，则有 2 2 0 0 1 25 16 x y  ， ( , ) M x y ，根据 1 2 OM OP      ， 可得： 0 0 2 , 2 x x y y   ，代入椭圆方程可得： 2 2 4 1 25 4 x y   18【答案】 （1） 2 2 4 12 24 0 x y x y      ； （2） 0 x或3 4 20 0 x y    . 【详解】 （1） 设圆的方程为 2 2 0 x y Dx Ey F      ， 圆心 , 2 2 D E        ， 根据题意有 2 6 0 2 2 8 3 0 2 2 D E F D E F D E                ， 解得 4 12 24 D E F         ， 故所求圆的方程为 2 2 4 12 24 0 x y x y      ． （2） 如图所示， 4 3 AB  ， 设D 是线段A B的中点， 则CD AB  ， 2 3 AD   ， 4 AC ． 在Rt ACD △ 中，有 2 C D  ，当直线l 的斜率不存在时，满足题意，此时方程为 0 x． 当直线l 的斜率存在时， 设所求直线l 的斜率为k， 则直线l 的方程为： 5 y kx   ， 即 5 0 kx y    ，由点C到直线A B的距离公式： 2 2 6 5 2 1 k k      ，得 3 4 k  ，此时 直线l 的方程为3 4 20 0 x y    ．所求直线l 的方程为 0 x或3 4 20 0 x y    19【答案】 （1）    2 2 2 3 1 x y    ； （2） 1 0 x y    . 解： （1）设圆C的方程为    2 2 2 x a y b r     ，则依题意，得         2 2 2 2 2 2 2 4 , 1 3 , 1 0, a b r a b r a b                解得 2, 3, 1 , a b r       ∴圆C 的方程为    2 2 2 3 1 x y     （2）设直线l 的方程为 1 y kx  ，设 1 1 ( , ) M x y ， 2 2 ( , ) N x y ，将 1 y kx  ，代入 2 2 ( 2) ( 3) 1 x y     并整理， 得 2 2 (1 ) 4(1 ) 7 0 k x k x      ， ∴ 1 2 2 4(1 ) 1 k x x k     ， 1 2 2 7 1 x x k  ∴       2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 1 1 8 12 1 k k OM ON x x y y k x x k x x k               ， 即   2 4 1 4 1 k k k    ，解得 1 k ， 又当 1 k 时 0  ，∴ 1 k ，即斜率为1 20【答案】 （1） 2 2 1 4 3 x y  ； （2） 5 2  ． 解： （1）由题意，得 2 2 a c  ，所以 1 c， 2 2 2 3 b a c   ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 3 x y  ． （2）设点B 到直线AC 的距离为h．因为 1 2 2 S S  ，所以 2 2 1 1 2 2 2 AF h F C h     ， 即 2 2 2 AF F C  ，所以 2 2 2 AF FC      ． 设   1 1 , A x y ，   2 2 , C x y ．因为   2 1 ,0 F ，所以    1 1 2 2 1 , 2 1, x y x y     ， 所以   1 2 1 2 1 2 1 2 x x y y       ，即 1 2 1 2 3 2 2 x x y y      ． 由    2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 3 2 2 1 4 3 x y x y              ，得 2 2 7 4 3 5 8 x y          ， 所以直线l 的斜率 3 5 5 8 7 2 1 4 k     ． 21【答案】 （1） 2 2 1 3 2 x y  ； （2）16 3 ,16 3 3       . （1）由题意知MQ 是线段AP 的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2 3 >|CA|＝2， 所以点Q 的轨迹是以点C，A 为焦点，焦距为2，长轴长为2 3 的椭圆， 所以a＝3 ，c＝1，b＝ 2 2 a c  ＝2 ，所以椭圆C 的标准方程为 2 2 1 3 2 x y  . （2）由（1）可知，椭圆的右焦点为(1，0)， 高二数学（理科）2021-10 阶考第4页 共2 页 ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为x＝1，则A 2 3 (1, ) 3 ，B 2 3 (1, ) 3  ，E(1,1)， F(1，－1)， 所以|AB|＝4 3 3 ，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝16 3 3 . ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立 2 2 1, 3 2 ( 1), x y y k x          可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，则x1＋x2＝ 2 2 6 2 3 k k  ，x1x2＝ 2 2 3 6 2 3 k k   ， 所以|AB|＝ 2 2 1 2 (1 )( ) k x x   ＝ 2 2 2 2 2 2 6 3 6 (1 ) ( ) 4 2 3 2 3 k k k k k             ＝ 2 2 4 3( 1) 2 3 k k   . 因为圆心O(0,0)到直线l 的距离d＝ 2 | | 1 k k ，所以|EF|2＝4 2 2 (2 ) 1 k k   ＝ 2 2 4( 2) 1 k k   ， 所以|AB|·|EF|2＝ 2 2 4 3( 1) 2 3 k k   · 2 2 4( 2) 1 k k   ＝ 2 2 16 3( 2) 2 3 k k   ＝16 3 3 · 2 2 2 2 3 k k   ＝ 2 4 16 3 3 (1 ) 2 3 3 k   . 因为k2∈[0，＋∞)，所以|AB|·|EF|2∈16 3 ,16 3 3        . 综上，|AB|·|EF|2∈16 3 ,16 3 3       . 22． 【答案】 （1） 2 2 1 4 2 x y  ； （2）  0, 2 （1）由题意可得：  0, A b ，   , 0 B a ，因为   1, 0 M ，所以 1 M B a ， 所以   2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 MAB c e a a b c S a b                 解得： 2 2 a b c        ，所以椭圆C 的标准方程为： 2 2 1 4 2 x y  ； （2）由题意可得：圆的方程为  2 2 1 1 x y   ， 设  0, P m ，  0, Q n ，   0 0 , T x y ，     0 2, 0 0, 2 x    ， 2 2 0 0 1 4 2 x y  ， 则P T的直线方程为： 0 0 y m y x m x    ，即  0 0 0 0 y m x x y m x     ， 因为P T与圆  2 2 1 1 x y