2021-2022学年四川省成都市树德中学高二上学期上月阶段性测试数学（文）试题PDF版含答案

高二数学（文科）2021-10 阶考 第1页 共2 页 树德中学高2020 级高二上学期10 月阶段性测试数学（文科）试题 命题、审题：高二数学备课组 一、选择题（每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求． ） 1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短的轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称 为“对偶椭圆”．下列椭圆中是“对偶椭圆”的是 A． 2 2 1 8 4 x y   B． 2 2 1 3 5 x y   C． 2 2 1 6 2 x y   D． 2 2 1 6 9 x y   2．点  2,3 , 1 A v    关于x 轴的对称点为   ' ,7, 6 A   ，则 A． 2 1 5 v      ， ， B． 2 4 5 v      ， ， C． 2 10 8 v      ， ， D． 2 10 7 v      ， ， 3．已知集合     , 0 A x y x ay a     ，       , 2 3 1 0 B x y ax a y     .若A B  ，则实数a  A．3 B．1  C．3 或1  D．3 或1 4．若 , 6 2         ，则直线4 cos 6 7 0 x y    的倾斜角的取值范围是 A． , 6 2         B．5 , 6        C．0, 6        D． 5 , 2 6         5．已知直线 1 0 ax y   及两点   2,1 P  ，  3,2 Q ．若直线与线段PQ（P 指向Q ）的延长线（不含Q 点） 相交，则实数a 的取值范围是 A．    , 1 1,   U B． 1 1, 5         C．1 ,1 5       D．  1,1  6．已知   1,1 A ， 1 F 是椭圆 2 2 5 9 45 x y   的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求 1 PA PF  的最大值和最小 值分别为 A．6 2;6 2   B．4 2;4 2   C．6 2 2;6 2 2   D．4 2 2;4 2 2   7． 如图，在棱长为2 的正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，E 为棱 1 CC 的中点，P 、Q 分 别为面 1 1 1 1 D C B A 和线段 1 B C 上的动点，则 EPQ △ 周长的最小值为 A．2 2 B．10 C．2 3 D．3 2 8．已知实数x ，y 满足不等式组 1 0 2 3 6 1 0 x y x y y          .设 2 z x y   ，则z 的取值范围为 A．  1,10  B．  1,1  C．  10,1  D．  1,5  9．已知椭圆C 方程为： 2 2 1 4 3 x y  ，左右焦点是 1 F ， 2 F ，圆 1 F ：  2 2 1 1 x y   ，动圆P 的圆心P 在椭 圆C 上并且与圆 1 F 外切，直线l 是圆P 和圆 1 F 的外公切线，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，当圆P 的 半径最长时，则三角形F1AB 的面积为 A．5 9 B．2 3 C．7 9 D．8 9 10．已知椭圆C 的焦点为   1 1,0 F  ， ( ) 2 1,0 F ，过 2 F 的直线交C于A ，B ，若 2 2 2 AF F B  ， 1 AB BF  ， 则C的方程为 A． 2 2 1 2 x y   B． 2 2 1 3 2 x y   C． 2 2 1 4 3 x y   D． 2 2 1 9 8 x y   11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     上存在点P ，使得 2 1 3 PF PF  ，其中 1 F 、 2 F 分 别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是 A．1,1 4       B．1 ,1 4       C．1 ,1 2       D．1 ,1 2       12．已知函数   f x 是定义域为R 的偶函数，     1 1 f x f x    ，当0 1 x 时， 2 3 1 f x x   ，则 函数 3 6 x g x   与函数  y f x  交点的个数为 A．6 B．7 C．12 D．14 二、填空题(本大题共4 小题，每题5 分，共20 分) 13．一条光线沿直线2 2 0 x y    入射到直线 5 0 x y    后反射，则反射光线所在直线的一般方程为 __________． 14．当直线l ：    1 2 1 7 4 0 m x m y m       （ R m  ）被圆C ：    2 2 2 1 25 x y     截得的弦最短时， 实数m的值为 15．已知直线: 2 1 0 l kx y k   与椭圆 2 2 1 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     交于A、B 两点，与圆 2 2 2 :( 2) ( 1) 1 C x y     交于C、D 两点．若存在 [ 2, 1] k   ，使得AC DB      ，则椭圆 1 C 的离心率的取值范围是_____________． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (0, 2) A  ，点 (1, 1) B  ，P 为圆 2 2 2 x y   上一动点（异于点B ） ， 求 PB PA 的最大值 高二数学（文科）2021-10 阶考 第2页 共2 页 三、解答题（17 小题10 分，18-22 每小题12 分，共70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤.） 17．分别求解以下两个小题： （1）两个焦点在x 轴上，且经过 ( 3, 2) A  和 ( 2 3,1) B  两点，求椭圆的标准方程： （2）已知点P 为椭圆 2 2 1 25 16 x y  上的任意一点，O为原点，M 满足 1 2 OM OP      ，求点M 的轨迹方程是 18．已知圆C 过   2,6 P ，   2,2 Q  两点，且圆心C 在直线3 0 x y   上． （1）求圆C 的一般方程； （2）若直线l 过点   0,5 P 且被圆C 截得的线段长为4 3 ，求l 的一般方程． 19． 已知圆C 经过  2,4 ，  1,3 两点， 圆心C 在直线 1 0 x y   上， 过点   0,1 A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. （1）求圆C 的标准方程； （2）若 12 OM ON      （O为坐标原点） ，求直线l 的斜率. 20． 已知直线: 4 5 0 l x ay    ， 与直线 ' : 2 0 l x y   相互垂直， 圆C 的圆心与点  2,1 关于直线l 对称， 且圆C 过点   1, 1 M   （1）求直线l 与圆C 的方程． （2）过点M 作两条直线分别与圆C 交于 , P Q 两点，若直线 , MP MQ 的斜率满足 0 MP MQ k k   ，求证： 直线PQ 的斜率为1． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 1 F ， 2 F 分别是椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左、右焦点，顶点B 的 坐标为  0,b ，且 1 2 BF F △ 是边长为2 的等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2） 过右焦点 2 F 的直线l 与椭圆交于A ，C 两点记 2 ABF  ， 2 BCF 的面积 分别为 1 S ， 2 S ，若 1 2 2 S S  ，求直线l 的斜率． 22．已知C 为圆(x＋1)2＋y2＝12 的圆心，P 是圆C 上的动点，点M(1，0)，若线段MP 的中垂线与CP 相 交于Q 点. （1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹N 的方程； （2）过点(1，0)的直线l 与点Q 的轨迹N 分别相交于A，B 两点，且与圆O：x2＋y2＝2 相交于E，F 两 点，求|AB|·|EF|2 的取值范围． 高二数学（文科）2021-10 阶考 第3页 共2 页 树德中学高2020 级高二上学期10 月阶段性测试数学（文科）试题参考答案 1-12：ADABBABACBDD 13. 2 7 0 x y    14． 3 4  15. 2 0, 2        16.2 17【答案】(1) 2 2 1 15 5 x y  ；(2) 2 2 4 1 25 4 x y  . (1)依题意，设椭圆方程为 2 2 1( , 0, ) mx ny m n m n     ，因椭圆经过点 ( 3, 2) A  和 ( 2 3,1) B  ， 于是得 2 2 2 2 ( 3) ( 2) 1 ( 2 3) 1 1 m n m n             ，即 3 4 1 12 1 m n m n        ，解得 1 1 , 15 5 m n   ， 所以所求椭圆的标准方程为 2 2 1 15 5 x y  ； （2）设P 点坐标为 0 0 ( , ) x y ，则有 2 2 0 0 1 25 16 x y  ， ( , ) M x y ，根据 1 2 OM OP      ， 可得： 0 0 2 , 2 x x y y   ，代入椭圆方程可得： 2 2 4 1 25 4 x y   18【答案】 （1） 2 2 4 12 24 0 x y x y      ； （2） 0 x  或3 4 20 0 x y    . （1） 设圆的方程为 2 2 0 x y Dx Ey F     ， 圆心 , 2 2 D E        ， 根据题意有 2 6 0 2 2 8 3 0 2 2 D E F D E F D E                ， 解得 4 12 24 D E F         ， 故所求圆的方程为 2 2 4 12 24 0 x y x y      ． （2）如图所示， 4 3 AB  ，设D 是线段AB 的中点，则CD AB  ， 2 3 AD   ， 4 AC  ． 在Rt ACD △ 中，有 2 CD  ， 当直线l 的斜率不存在时，满足题意，此时方程为 0 x  ． 当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为： 5 y kx   ，即 5 0 kx y    ，由点C 到直线AB 的距离公式： 2 2 6 5 2 1 k k      ，得 3 4 k  ，此时直线l 的方程 为3 4 20 0 x y    ． 所求直线l 的方程为 0 x  或3 4 20 0 x y    19【答案】 （1）    2 2 2 3 1 x y    ； （2） 1 0 x y   . 解： （1）设圆C 的方程为    2 2 2 x a y b r     ，则依题意，得         2 2 2 2 2 2 2 4 , 1 3 , 1 0, a b r a b r a b                 解得 2, 3, 1, a b r       ∴圆C 的方程为    2 2 2 3 1 x y     （2）设直线l 的方程为 1 y kx  ，设 1 1 ( , ) M x y ， 2 2 ( , ) N x y ，将 1 y kx  ，代入 2 2 ( 2) ( 3) 1 x y    并整理， 得 2 2 (1 ) 4(1 ) 7 0 k x k x      ， ∴ 1 2 2 4(1 ) 1 k x x k     ， 1 2 2 7 1 x x k   ∴       2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 1 1 8 12 1 k k OM ON x x y y k x x k x x k               ， 即   2 4 1 4 1 k k k    ，解得 1 k ， 又当 1 k 时 0  ，∴ 1 k ，即斜率为1 20【答案】(1) 4 2 5 0 x y    ， 2 2 2 x y   ；(2)证明见解析. (1)因直线l：4 5 0 x ay    与直线l′： 2 0 x y   相互垂直，则4 1 ( 2) 0 a    ，解得 2 a  ， 所以直线l 的方程为4 2 5 0 x y    ， 设圆C 的圆心 ( , ) C a b ，则点 2 1 ( , ) 2 2 a b A   必在直线l 上，且直线AC 斜率为1 2 ， 因此， 2 1 4 2 5 0 2 2 1 1 2 2 a b b a                 ，解得 0 0 a b     ，即点 (0,0) C ，圆C 半径| | 2 CM  ， 所以圆C 的方程为 2 2 2 x y   ； (2)设直线MP 的斜率为k，则直线MQ 的斜率为-k，直线MP 的方程： 1 ( 1) y k x   ， 高二数学（文科）2021-10 阶考 第4页 共2 页 而直线MP 与圆C 交于点P，由 2 2 ( 1) 2 y kx k x y         消去y 得： 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 2 1 0 k x k k x k k       ， 而圆C 过点M(-1，-1)，设点 1 1 ( , ) P x y ，于是有 2 1 2 2 1 ( 1) 1 k k x k      ，即 2 1 2 2 1 1 k k x k     ， 设点 2 2 ( , ) Q x y ，同理，将k 变k 得： 2 2 2 2 1 1 k k x k     ， 于是得直线PQ 的斜率 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( 1) ( ) 2 PQ y y kx k kx k k x x k k x x x x x x              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 (2 2) 2 ( 1) 1 1 1 2 1 2 1 4 ( ) 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k                         ，所以直线PQ 的斜率为1. 21【答案】 （1） 2 2 1 4 3 x y  ； （2） 5 2  ． 解： （1）由题意，得 2 2 a c   ，所以 1 c ， 2 2 2 3 b a c   ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 3 x y  ． （2）设点B 到直线AC 的距离为h ．因为 1 2 2 S S  ，所以 2 2 1 1 2 2 2 AF h F C h     ， 即 2 2 2 AF F C  ，所以 2 2 2 AF F C      ． 设   1 1 , A x y ，   2 2 , C x y ．因为   2 1,0 F ，所以    1 1 2 2 1 , 2 1, x y x y     ， 所以   1 2 1 2 1 2 1 2 x x y y       ，即 1 2 1 2 3 2 2 x x y y       ． 由     2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 3 2 2 1 4 3 x y x y              ，得 2 2 7 4 3 5 8 x y          ， 所以直线l 的斜率 3 5 5 8 7 2 1 4 k     ． 22【答案】 （1） 2 2 1 3 2 x y  ； （2）16 3 ,16 3 3       . （1）由题意知MQ 是线段AP 的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2 3 >|CA|＝2， 所以点Q 的轨迹是以点C，A 为焦点，焦距为2，长轴长为2 3 的椭圆， 所以a＝ 3 ，c＝1，b＝ 2 2 a c  ＝ 2 ，所以椭圆C 的标准方程为 2 2 1 3 2 x y  . （2）由（1）可知，椭圆的右焦点为(1，0)， ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为x＝1，则A 2 3 (1, ) 3 ，B 2 3 (1, ) 3  ，E(1,1)， F(1，－1)， 所以|AB|＝4 3 3 ，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝16 3 3 . ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立 2 2 1, 3 2 ( 1), x y y k x          可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，则x1＋x2＝ 2