黑龙江省鹤岗市第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

（北京）股份有限公司 2022-2023 学年度上学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知直线l 经过点  2,1 P ，且与直线2 3 1 0 x y   垂直，则直线l 的方程是（ ） A．2 3 1 0 x y   B．3 2 8 0 x y    C．2 3 1 0 x y   D． 3 2 4 0 x y    2．如果方程 2 2 1 x ky  表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围（ ） A．  ,1  B．  1, C．  0,1 D．    ,0 1,    3．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的一条渐近线方程是3 0 x y   ，它的一个焦点在抛物线 2 24 y x  的准线上，则双曲线的方程为（ ） A． 2 2 1 9 27 x y   B． 2 2 1 27 9 x y   C． 2 2 1 36 108 x y   D． 2 2 1 108 36 x y   4．台风中心从M 地以每小时30km 的速度向西北方向移动，离台风中心30 3km 内的地区为危险地区， 城市N 在M 地正西方向60km 处，则城市N 处于危险区内的时长为（ ） A．1h B． 2h C．2h D．3h 5．过点 1 1, 2 M       的直线l 与椭圆 2 2 2 2 x y   交于A，B 两点，设线段AB 中点为M，设直线l 的斜率为   1 1 0 k k  ，直线OM 的斜率为 2 k ，则 1 2 k k 的值为（ ） A． 1 2  B．－2 C．1 2 D．2 6．已知双线   2 2 2 2 1 0, 0 : 6 x y C a b a     的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F ，O 为坐标原点，点M 在C 的右支上 运动， 1 2 MF F  的内心为I，若 2 IO IF  ，则C 的离心率为（ ） A．2 B． 2 C．3 D．3 7．已知圆C：    2 2 2 1 4 ( 0) x y m m      和两点 ( 2,0) A  , (1,0) B ，若圆C 上存在点P 使得 2 PA PB  ， 则m 的取值范围是（ ） A．[8，64] B．[9，64] C．[3，7] D．[9，49] 8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点 1 F ， 2 F ，P 是它们的一个交点，且 1 2 π = 3 F PF  ，记椭圆和双曲线的离 心率分别为 1 e ， 2 e ，则 1 2 e e  的最小值为（ ） A． 5 2 B． 3 2 C．1 D．1 2 二、多选题（本题共有4道小题，每小题5分，共20分 .有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分 选对得2分，有选错的0分） 9．已知曲线C： 2 2 1 2 4 x y m m     ，则（ ） A．当 =2 m 时，则C 的焦点是   1 2,0 F ，   2 2,0 F  B．当 =6 m 时，则C 的渐近线方程为 1 2 y x  C．当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为 4 m  或 2 m  D．不存在实数m，使C 表示圆 10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两个定点   1 3,0 F  和   2 3,0 F 连线的斜率之积等于1 3 ，记点P 的轨迹为曲线E ，直线: 2 l y x   与E 交于 , A B 两点，则（ ） A．E 的方程为   2 2 1 3 3 x y x    B．E 的离心率为 3 C．E 的渐近线与圆  2 2 2 1 x y   相切 D． 2 3 AB  11． 已知抛物线   2 2 0 x py p   的焦点为F， A， B 是抛物线上两动点， 且AF 的最小值为1， M 是线段AB 的中点，   2,3 P 是平面内一定点，则（ ） A．=2 p B．若 8 AF BF   ，则M 到x 轴距离为4 C．若 2 AF FB     ，则 3 AB    D．AP AF  的最小值为4 12．以下四个命题表述正确的是（ ） A．椭圆 2 2 1 16 4 x y  上的点到直线 2 2 0 x y    的最大距离为10 B．已知圆C： 2 2 4 x y  ，点P 为直线 1 4 2 x y  上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA、PB，AB 为切 点，直线AB 经过定点  1,2 （北京）股份有限公司 C．曲线 1 C ： 2 2 2 0 x y x    与曲线 2 C ： 2 2 4 8 0 x y x y m      恰有三条公切线，则m＝3 D．圆 2 2 4 x y  上存在4 个点到直线l： 2 0 x y    的距离都等于1 三、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共计20分 ) 13．直线l 过( 1,2)  且与圆 2 2 2 2 2 0 x y x y      相切，则直线l 的方程为___________ 14．已知双曲线 2 2 2 : 1 9 y x E a   ( 0) a  的焦距等于4 3 ，则双曲线E 的渐近线方程为______． 15．已知直线l： 2 1 0 kx y k    与椭圆   2 2 1 2 2 0 : 1 x y C a b a b     交于A、B 两点，与圆     2 2 2 : 2 1 1 C x y    交于C、D 两点．若存在   2, 1 k   ，使得AC DB     ，则椭圆 1 C 的离心率的取值 范围是_____________． 16．已知双曲线 2 2 2 : 1( 0) x C y a a    的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F ，P 为双曲线C 右支上的动点，过P 作两 渐近线的垂线，垂足分别为A，B ．若圆 2 2 ( 2) 1 x y   与双曲线C 的渐近线相切，则下列命题正确的是 ________ （1）双曲线C 的离心率 2 3 3 e  （2）当点P 异于顶点时，△ 1 2 PFF 的内切圆的圆心总在直线 2 3 x   上 （3）| | | | PA PB  为定值 （4）| | AB 的最小值为3 2 四、解答题（本题共6道小题，共计70分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（10 分）设直线l 的方程为( 1) 2 0( ) a x y a a      R (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若直线l交x轴正半轴于点A ，交y轴负半轴于点B ， AOB △ 的面积为S ，求S的最小值并求此时直线 l 的方程. 18（12 分） ． 已知圆C 的圆心在第一象限且在直线3 0 x y   上， 与x 轴相切， 被直线 0 x y   截得的弦长 为2 7 (1)求圆C的方程； (2)由直线 4 0 x y    上一点P 向圆C 引切线，A，B 是切点，求四边形PACB 面积的最小值． 19（12 分） ．已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     经过点  3,0 ，离心率为 3 3 ． (1)求椭圆C 的方程； (2)过点   2,0 M 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，若 5 FA FB      ，求直线l 的方程． 20（12 分） ．已知抛物线   2 2 0 y px p   经过点   4,4 P ，其焦点为F ． (1)求抛物线C 的方程； (2)设点Q 在抛物线C 上，试问在直线2 6 0 x y    上是否存在点N ，使得四边形PQFN 是平行四边形？ 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 21（12 分） ． 在平面直角坐标系xOy 中， 椭圆C ：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左， 右顶点分别为A 、B ， 点F 是椭圆的右焦点， 3 AF FB      ， 3 AF FB      ． (1)求椭圆C 的方程； (2)不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、 1 k 、 2 k .若   1 2 1 k k k  ，证明直线l 过定点， 并求出定点的坐标． 22（12 分） ． 如图， 已知点   1,0 F 为抛物线 2 2 y px    0 p  的焦点． 过点F 的直线交抛物线于A， B 两点， 点A 在第一象限， 点C 在抛物线上， 使得ABC  的重心G 在x 轴上， 直线AC 交x 轴于点Q， 且Q 在点F 的右侧，记AFG  ，CQG  的面积分别为 1 S ， 2 S ． （北京）股份有限公司 (1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)设A点纵坐标为2t ，求 1 2 S S 关于t的函数关系式； (3)求 1 2 S S 的最小值及此时点G的坐标． 参考答案： 1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．A 7．C 8．B【分析】利用椭圆和双曲线的定义及 可以列出关于 ， 的方程，再利用均值定理即可 得到 的最小值 【详解】设椭圆长轴长为 ，双曲线实轴长为 ， ， ， （ ） ， 则 ，解之得 又 则 则 ，则 则 ，则 （当且仅当 时等号成立） 则 的最小值为 故选：B 9．ABC 10．ACD 11．AD 【详解】抛物线 上的点A 到抛物线焦点F 距离的最小值为1，则有 ，解得 ，A 正 确； 抛物线的方程为 ，焦点 ，准线 ，设 ， 对于B，点 ，由抛物线的定义知， ， 有 ，所以M 到x 轴距离 ，B 不正确； 对于C， ，由 得： ，即 ， 又 ，即 ，则 ，解得 ， 于是得 ，C 不正确； 对于D，抛物线 中，当 时， ，因此点 在抛物线 上方， 过点P 作 于 ，交抛物线于点Q，连QF，过A 作 于 ，连AF，AP， ，如图， 1 2 π 3 F PF   1 e 2 e 1 2 e e  2a 2a 1 PF m  2 PF n  m n  1 2 2 F F c  + =2 =2 m n a m n a      = + = m a a n a a       2 2 2 π 4 1 cos 3 2 2 m n c mn            2 2 2 4 a a a a c a a a a            2 2 2 3 4 0 a a c     2 2 1 2 1 3 4 e e   2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 4 2 e e e e e e      1 2 3 2 e e   1 2 2 6 , 2 2 e e   1 2 e e  3 2   2=2 >0 x py p 1 2 p  =2 p 2 4 x y  (0,1) F : = 1 l y  1 1 2 2 ( , ), ( , ) A x y B x y 1 2 1 2 ( , ) 2 2 x x y y M   1 2 | |+| |= +1+ +1=8 AF BF y y 1 2 6 y y   1 2 3 2 y y   1 1 2 2 =( ,1 ), =( , 1) AF x y FB x y        2 AF FB      1 2 1 =2( 1) y y   1 2 2 3 y y   | |=2| | AF FB     1 2 1 2( 1) y y   1 2 2 =1 y y  1 2 1 2, 2 y y   1 2 9 | |=| |+| |= +1+ +1= 2 AB AF BF y y 2 4 x y  =2 x =1<3 y   2,3 P 2 4 x y  PP l   P AA l   A PA （北京）股份有限公司 显然 ，当且仅当点A 与Q 重合时取等号， 所以 ，D 正确. 故选：ABD 12．AB 【详解】对于A:设直线 与椭圆 相切， 联立方程 得： ， 因为直线与椭圆相切，所以 ，得 当 时，直线 与 距离最大，最大距离为 故A正确. 对于B:设点 ，因为AB 为切点，所以 ， ，连接 ，根据圆周角与圆直径关系 可知，AB 两点在以 为直径的圆上，圆的方程为 ，两圆公共弦AB 所在直线方程为 ， 联立方程 得 ，令 ，则 故B正确. 对于C: 曲线 ： ，曲线 : ，因为两圆有三条公切线，所以两圆 外切，故 ，得 故C不正确. 对于D:直线 与圆 相切，且 与 距离为1，因此圆 上存在3 个点到直线l： 的距离都等于1 故D错误. 故选:ABC 13． 或 . 14． 或 15． 【详解】 变形为 ，恒过点 ， 即直线经过圆 的圆心， 因为 ，所以 为AB 的中点， 设 ，则 ， 则有 ，两式相减得： ， 即 ， 因为 ，且 ，所以 ， 则离心率 ， 故答案为： . 16． （1） （3） （4） .【详解】双曲线 的左、右焦点分别为 ， | |+| |=| |+| | | | | |=| |+| |=| |+| | AP AF AP AA PA PP PQ QP PQ QF       min ( + ) =| |=4 AP AF PP 2 0 x y b    2 2 1 16 4 x y   2 2 +2 + =0 + =1 16 4 x y b x y      2 2 8 +4 + 16=0 y by b  2 2 Δ=16 32( 16)=0 b b   =±4 2 b 4 2 b  2 4 2 0 x y    +2 2=0 x y 10 ( , ) P m n OA PA  OB PB  OP OP 2 2 + =0 x y mx ny   4 mx ny   + =4 + =1 4 2 mx ny m n      4( 1)+ ( 2 )=0 x n y x   =1 x =2 y 1 C   2 2 1 1 x y    2 C     2 2 2 + 4 =20 x y m      2 2 (1+2) + 0+4 = 20 +1 m  =4 m +2 2=0 x y  2 2 4 x y   +2 2=0 x y  + 2=0 x y  2 2 4 x y   + 2=0 x y  1 x  3 4 11 0 x y    3 3 y x  3 3 y x  2 0, 2        2 +1=0 kx y k     1= 2 y k x     2,1     2 2 2: 2 + 1 =1 C x y   AC DB        2 2,1 C ( ) ( ) 1 1 2 2 , , , A x y B x y 1 2 1 2 2, 1 2 2 x x y y     2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 + =1 + =1 x y a b x y a b        2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 + = + y y y y b x x x x a     2 2 1 = 2 b k a    2, 1 k  > a b 2 2 1 ,1 2 b a       2 2 2 2 2 = = 1 0, 2 c b e a a         2 0, 2        2 2 2 : 1( 0) x C y a a    1( ,0) F c  2( ,0) F c （北京）股份有限公司 双曲线 的渐近线为 ，由圆 与双曲线 的渐近线相切， 可得 ，解之得 或 （舍） ， 则双曲线 ， ， ， （1）双曲线 的离心率 .判断正确； （2） 为双曲线 右支上（异于右顶点）一点， 设△ 的内切圆与x 轴相切于M 点， 则 ，解之得 ，则切点 则△ 的内切圆的圆心横坐标为 ，则圆心总在直线 上.判断错误； （3）设双曲线 右支上的动点 坐标为 ，则 又双曲线 的渐近线为 则 ，即 为定值.判断正确； （4）设双曲线 右支上的动点 坐标为 ，则 由 ，可得 由 ，可得 不妨令 ， 则 由 为双曲线 右支上的动点，可得 ，则 则 ，即 的最小值为 .判断正确. 故答案为： （1） （3） （4） 17．(1) 或 . (2) 面积的最小值是6，此时直线l 的方程为 （1）当直线过原点时满足条件，此时 , 解得 , 化为 .-----1 分 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故 ,解得 ,可得直线的方程为: .-------3 分 综上所述，直线的方程为3 0 x y   或 2 0 x y    .-------4 分 （2）令=0 x ,解得= 2<0 y a ,解得<2 a ;-------5 分 令=0 y ,解得 2 = >0 +1 a x a  ,解得>2 a 或< 1 a .--------6 分 综上有< 1 a . ∴   1 2 1 9 1 9 = 2 = +1+ 6 =3+ 1 + 2 +1 2 +1 2 1 AOB a S a a a a a a            