黑龙江省鹤岗市第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

（北京）股份有限公司 2022-2023 学年度上学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分） 1．已知直线l 经过点 ，且与直线 垂直，则直线l 的方程是（ ） A． B． C． D． 2．如果方程 表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．台风中心从 地以每小时 的速度向西北方向移动，离台风中心 内的地区为危险地区， 城市 在 地正西方向 处，则城市 处于危险区内的时长为（ ） A． B． C． D． 5．过点 的直线l 与椭圆 交于A，B 两点，设线段AB 中点为M，设直线l 的斜率为 ，直线OM 的斜率为 ，则 的值为（ ） A． B．－2 C． D．2 6．已知双线 的左、右焦点分别为 ， ，O 为坐标原点，点M 在C 的右支 上运动， 的内心为I，若 ，则C 的离心率为（ ） A．2 B． C．3 D． 7．已知圆C： 和两点 , ，若圆C 上存在点P 使得 ， 则m 的取值范围是（ ） A．[8，64] B．[9，64] C．[3，7] D．[9，49] 8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的 离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 二、多选题（本题共有4 道小题，每小题5 分，共20 分.有多项符合题目要求，全部选对得5 分，部 分选对得2 分，有选错的0 分） 9．已知曲线C： ，则（ ） A．当 时，则C 的焦点是 ， B．当 时，则C 的渐近线方程为 C．当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为 或 D．不存在实数m，使C 表示圆 10．在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点 的轨迹为曲线 ，直线 与 交于 两点，则（ ） （北京）股份有限公司 A． 的方程为 B． 的离心率为 C． 的渐近线与圆 相切 D． 11．已知抛物线 的焦点为F，A，B 是抛物线上两动点，且 的最小值为1，M 是线段 AB 的中点， 是平面内一定点，则（ ） A． B．若 ，则M 到x 轴距离为4 C．若 ，则 D． 的最小值为4 12．以下四个命题表述正确的是（ ） A．椭圆 上的点到直线 的最大距离为 B．已知圆C： ，点P 为直线 上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA、PB，AB 为切 点，直线AB 经过定点 （北京）股份有限公司 C．曲线 ： 与曲线 ： 恰有三条公切线，则m＝3 D．圆 上存在4 个点到直线l： 的距离都等于1 三、填空题(本题共4 道小题，每小题5 分，共计20 分) 13．直线l 过 且与圆 相切，则直线l 的方程为___________ 14．已知双曲线 的焦距等于 ，则双曲线 的渐近线方程为______． 15．已知直线l： 与椭圆 交于A、B 两点，与圆 交于C、D 两点．若存在 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值 范围是_____________． 16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线 右支上的动点，过 作 两渐近线的垂线，垂足分别为A， ．若圆 与双曲线 的渐近线相切，则下列命题正确的 是________ （1）双曲线 的离心率 （2）当点 异于顶点时，△ 的内切圆的圆心总在直线 上 （3） 为定值 （4） 的最小值为 四、解答题（本题共6 道小题，共计70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（10 分）设直线l 的方程为 (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若直线l 交x 轴正半轴于点A，交y 轴负半轴于点B， 的面积为S，求S 的最小值并求此时直线 l 的方程. 18（12 分）．已知圆C 的圆心在第一象限且在直线 上，与x 轴相切，被直线 截得的弦 长为 (1)求圆C 的方程； (2)由直线 上一点P 向圆C 引切线，A，B 是切点，求四边形PACB 面积的最小值． 19（12 分）．已知椭圆 经过点 ，离心率为 ． (1)求椭圆 的方程； (2)过点 的直线交椭圆于 ， 两点， 为椭圆 的左焦点，若 ，求直线的方程． 20（12 分）．已知抛物线 经过点 ，其焦点为 ． (1)求抛物线 的方程； (2)设点 在抛物线 上，试问在直线 上是否存在点 ，使得四边形 是平行四边形？ 若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 21（12 分）．在平面直角坐标系 中， 椭圆 ： 的左，右顶点分别为 、 ， 点 是椭圆的右焦点， ， ． (1)求椭圆 的方程； (2)不过点 的直线交椭圆 于 、 两点，记直线、 、 的斜率分别为 、 、 .若 （北京）股份有限公司 ，证明直线过定点， 并求出定点的坐标． 22（12 分）．如图，已知点 为抛物线 的焦点．过点F 的直线交抛物线于A，B 两 点，点A 在第一象限，点C 在抛物线上，使得 的重心G 在x 轴上，直线 交x 轴于点Q，且Q 在点F 的右侧，记 ， 的面积分别为 ， ． （北京）股份有限公司 (1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)设A 点纵坐标为 ，求 关于t 的函数关系式； (3)求 的最小值及此时点G 的坐标． 参考答案： 1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．A 7．C 8．B【分析】利用椭圆和双曲线的定义及 可以列出关于 ， 的方程，再利用均值定理即 可得到 的最小值 【详解】设椭圆长轴长为 ，双曲线实轴长为 ， ， ，（ ） ， 则 ，解之得 又 则 则 ，则 则 ，则 （当且仅当 时等号成立） 则 的最小值为 故选：B 9．ABC 10．ACD 11．AD 【详解】抛物线 上的点A 到抛物线焦点F 距离的最小值为1，则有 ，解得 ，A 正 确； 抛物线的方程为 ，焦点 ，准线 ，设 ， 对于B，点 ，由抛物线的定义知， ， 有 ，所以M 到x 轴距离 ，B 不正确； 对于C， ，由 得： ，即 ， 又 ，即 ，则 ，解得 ， 1 2 π 3 F PF   1 e 2 e 1 2 e e  2a 2a 1 PF m  2 PF n  m n  1 2 2 F F c  + =2 =2 m n a m n a      = + = m a a n a a       2 2 2 π 4 1 cos 3 2 2 m n c mn            2 2 2 4 a a a a c a a a a            2 2 2 3 4 0 a a c     2 2 1 2 1 3 4 e e   2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 4 2 e e e e e e      1 2 3 2 e e   1 2 2 6 , 2 2 e e   1 2 e e  3 2   2=2 >0 x py p 1 2 p  =2 p 2 4 x y  (0,1) F : = 1 l y  1 1 2 2 ( , ), ( , ) A x y B x y 1 2 1 2 ( , ) 2 2 x x y y M   1 2 | |+| |= +1+ +1=8 AF BF y y 1 2 6 y y   1 2 3 2 y y   1 1 2 2 =( ,1 ), =( , 1) AF x y FB x y    � 2 AF FB  � 1 2 1 =2( 1) y y   1 2 2 3 y y   | |=2| | AF FB � 1 2 1 2( 1) y y   1 2 2 =1 y y  1 2 1 2, 2 y y   （北京）股份有限公司 于是得 ，C 不正确； 对于D，抛物线 中，当 时， ，因此点 在抛物线 上方， 过点P 作 于 ，交抛物线于点Q，连QF，过A 作 于 ，连AF，AP， ，如图， 1 2 9 | |=| |+| |= +1+ +1= 2 AB AF BF y y 2 4 x y  =2 x =1<3 y   2,3 P 2 4 x y  PP l   P AA l   A PA （北京）股份有限公司 显然 ，当且仅当点A 与Q 重合时取等号， 所以 ，D 正确. 故选：ABD 12．AB 【详解】对于A:设直线 与椭圆 相切， 联立方程 得： ， 因为直线与椭圆相切，所以 ，得 当 时，直线 与 距离最大，最大距离为 故A 正确. 对于B:设点 ，因为AB 为切点，所以 ， ，连接 ，根据圆周角与圆直径关系 可知，AB 两点在以 为直径的圆上，圆的方程为 ，两圆公共弦AB 所在直线方程为 ， 联立方程 得 ，令 ，则 故B 正确. 对于C: 曲线 ： ，曲线 : ，因为两圆有三条公切线，所以两圆 外切，故 ，得 故C 不正确. 对于D:直线 与圆 相切，且 与 距离为1，因此圆 上存在3 个点到直线l： 的距离都等于1 故D 错误. 故选:ABC 13． 或 . 14． 或 15． 【详解】 变形为 ，恒过点 ， 即直线经过圆 的圆心， 因为 ，所以 为AB 的中点， 设 ，则 ， 则有 ，两式相减得： ， 即 ， | |+| |=| |+| | | | | |=| |+| |=| |+| | AP AF AP AA PA PP PQ QP PQ QF       min ( + ) =| |=4 AP AF PP 2 0 x y b    2 2 1 16 4 x y   2 2 +2 + =0 + =1 16 4 x y b x y      2 2 8 +4 + 16=0 y by b  2 2 Δ=16 32( 16)=0 b b   =±4 2 b 4 2 b  2 4 2 0 x y    +2 2=0 x y 10 ( , ) P m n OA PA  OB PB  OP OP 2 2 + =0 x y mx ny   4 mx ny   + =4 + =1 4 2 mx ny m n      4( 1)+ ( 2 )=0 x n y x   =1 x =2 y 1 C   2 2 1 1 x y    2 C     2 2 2 + 4 =20 x y m      2 2 (1+2) + 0+4 = 20 +1 m  =4 m +2 2=0 x y  2 2 4 x y   +2 2=0 x y  + 2=0 x y  2 2 4 x y   + 2=0 x y  1 x  3 4 11 0 x y    3 3 y x  3 3 y x  2 0, 2        2 +1=0 kx y k     1= 2 y k x     2,1     2 2 2: 2 + 1 =1 C x y   AC DB  �   2 2,1 C ( ) ( ) 1 1 2 2 , , , A x y B x y 1 2 1 2 2, 1 2 2 x x y y     2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 + =1 + =1 x y a b x y a b        2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 + = + y y y y b x x x x a     2 2 1 = 2 b k a  （北京）股份有限公司 因为 ，且 ，所以 ， 则离心率 ， 故答案为： . 16．（1）（3）（4） .【详解】双曲线 的左、右焦点分别为 ，   2, 1 k  > a b 2 2 1 ,1 2 b a       2 2 2 2 2 = = 1 0, 2 c b e a a         2 0, 2        2 2 2 : 1( 0) x C y a a    1( ,0) F c  2( ,0) F c （北京）股份有限公司 双曲线 的渐近线为 ，由圆 与双曲线 的渐近线相切， 可得 ，解之得 或 （舍）， 则双曲线 ， ， ， （1）双曲线 的离心率 .判断正确； （2） 为双曲线 右支上（异于右顶点）一点， 设△ 的内切圆与x 轴相切于M 点， 则 ，解之得 ，则切点 则△ 的内切圆的圆心横坐标为 ，则圆心总在直线 上.判断错误； （3）设双曲线 右支上的动点 坐标为 ，则 又双曲线 的渐近线为 则 ，即 为定值.判断正确； （4）设双曲线 右支上的动点 坐标为 ，则 由 ，可得 由 ，可得 不妨令 ， 则 由 为双曲线 右支上的动点，可得 ，则 则 ，即 的最小值为 .判断正确. 故答案为：（1）（3）（4） 17．(1) 或 . (2) 面积的最小值是6，此时直线l 的方程为 （1）当直线过原点时满足条件，此时 ,解得 ,化为 .-----1 分 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故 ,解得 ,可得直线的方程为: .-------3 分 综上所述，直线的方程为 或 .-------4 分 C x y a  2 2 ( 2) 1 x y    C 2 2 1 1 1 a a   3 a  3 a  2 2 : 1 3 x C y   3 a  1 b  2 c  C 2 2 3 3 3 c e a    P C 1 2 PF F 1 2 1 2 2 3 4 MF MF MF MF          1 2 2 3 2 3 MF MF        ( 3,0) M 1 2 PF F 3 3 x  C P 0 0 ( , ) x y 2 2 0 0 1 3 x y   C 3 y x  2 0 0 2 0 0 0 0 3 3 3 3 | | | | 4 4 1 1 1 1 3 3 3 x x x y y y PA PB           | | | | PA PB  C P 0 0 ( , ) x y 2 2 0 0 1 3 x y   0 0 3 3( ) x y y y x x         0 0 0 0 3 ( 3 ) 4 1 ( 3 ) 4 x y x y y x           0 0 3 3( ) x y y y x x         0 0 0 0 3 ( 3 ) 4 1 ( 3 ) 4 x x y y x y           0 0 0 0 3 1 ( ( 3 ), ( 3 )) 4 4 A y x y x   0 0 0 0 3 1 ( ( 3 ), ( 3 )) 4 4 B x y x y    2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 1 1 | | ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 4 4 4 4 AB y x x y x y y x                     2 2 2 0 0 0 3 3 3 4 4 4 y x x     P C 0 3 x  2 0 3 3 9 3 4 4 4 x    2 0 3 9 3 4 4 2 AB x     | | AB 3 2 3 0 x y   2 0 x y    AOB △ 3 6 0 x y    2 =0 a  =2 a 3 0 x y   1 1 a  =0 a l 2 0 x y    l （北京）股份有限公司 （2）令 ,解得 ,解得 ;-------5 分 令 ,解得 ,解得 或 .--------6 分 综上有 . ∴ ,---------8 分 当且仅当 时取等号.---9 ∴ ( 为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程 ，即 ----10 分 18．(1) (2) （1）依题意，设圆 的圆心坐标为 ，半径为 ， 到直线 的距离为 ， （北京）股份有限公司 所以 ，解得 ， 所以圆 的方程为 .---------5 分 （2）由（1）得，圆 的圆心为 ，半径 ， ，所以当 最小时， 最小.----------7 到直线 的距离为 ，----------9 分 所以 的最小值为 ，-----------10 所以四边形PACB 面积的最小值为 .----------12 分 19．(1) (2) 或 （1）设椭圆C 的焦距 ，则 又经过点( ，)， ， 因此，椭圆C 的方程为 -------------5 分 （2）①当直线斜率为0 时，与椭圆交于 ，而 ，此时 ，故不 符合题意．-------6 分 ②当直线斜率不为0 时，的方程为 ，设点 ， 将直线l 的方程代入椭圆方程，并化简得 ． 解得 或 ------7 由韦达定理得 ---------8 ，同理可得 ． 所以 即 ．--------10 分 解得： 符合题意----------11 分 因此，直线l 的方程为 或 -------12 分 20．(1) (2)直线 上存在点 ，使得四边形 是平行四边形，此时 或 ． （1）因为抛物线 经过点 ，所以 ，即 ， 所以抛物线 的方程为 ．------------5 分 （2）由(1)知 ，设 ．因为四边形 是平行四边形，所以 ，----7 所以 ，所以 即 ，---8 分 将点 代入抛物线 的方程，可得 ，即 ， 解得 或 ，--10 分 所以 或 ，经检验，满足四边形 是平行四边形．--11 （北京）股份有限公司 所以直线 上存在点 ，使得四边形 是平行四边形，此时 或 ．--12 分 21．(1) ； (2)证明见解析， ． （1）由题