湖南省衡阳市第八中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题

数学试题第1页，共4 页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 衡阳市八中2022 级高一第二学期开学考试 数学 命题人：唐通 审题人：谢德斌 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．命题“ ， ”的否定是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．若a,b,c ,d ∈R，则下列说法正确的是（ ） A．若a>b,c>d，则ac>bd B．若a>b，则ac 2>bc 2 C．若a>b，则a−c>b−c D．若a<b<0，则1 a < 1 b 4．下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 5．把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线 向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （ ） A． B． 数学试题第2页，共4 页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 C． D． 6．已知a= 1 log832，b=π 0.01，c=sin1，则a，b，c 的大小关系是（ ） A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b 7．函数 的图像大致为（ ） A． B． C． D. 8．已知函数f ( x)={ |2 x−1|, x ≤1 ( x−2) 2, x>1 ，函数 有四个不同的的零点x1, x2, x3, x4,且 x1<x2<x3<x4，则（ ） A．a 的取值范围是(0, ) B． 的取值范围是(0,1) C． D． 二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9．下列说法正确的是（ ） A．偶函数f ( x)的定义域为[2a−1,a]，则a=1 3 B．一次函数f ( x)满足f (f ( x))=4 x+3，则函数f ( x)的解析式为f ( x)=x+1 C．奇函数f ( x)在[2,4 ]上单调递增，且最大值为8，最小值为−1，则 2f (−4)+f (−2)=−15 D．若集合A={x∨−a x 2+4 x+2=0}中至多有一个元素，则a≤−2 10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） 数学试题第3页，共4 页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 A．函数 的图像关于原点对称 B．函数 在 上单调递增 C．函数 在 上的值域为 D．函数 在 上有且仅有3 个零点 11．已知a,b为正实数，且ab+2a+b=16，则（ ） A．ab的最大值为8 B．2a+b的最小值为8 C．a+b的最小值为6 ❑ √2−3 D．1 a+1 + 1 b+2的最小值为 ❑ √2 2 12．已知函数 是定义在R 上的奇函数， 是偶函数，当 ， 则下列说法中正确的有（ ） A．函数 关于直线 对称 B．4 是函数 的周期 C． D．方程 恰有4 个不同的根 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 把答案填在答题卡中的横线上） 13．已知θ∈( π 2 ，π),且sinθ=3 5,则tanθ=¿______. 14．已知幂函数f ( x)经过点 ，则不等式 的解集为___________． 15．已知函数f ( x)=cos(2 x−π 3 )在(0，m)上的值域为( 1 2 ，1¿，则m的取值范围是______ ___． 16．已知函数f ( x)= 3 x 3 x+1 +x 3，且f (m)+f (m+1)>1，则实数m的取值范围是______. 数学试题第4页，共4 页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10 分） 已知命题p：∀x∈R ,a x 2+2 x+3≥0；q：∃x∈[1,2],使x 2+2 x+a≥0. (1)若命题p 是假命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p 是假命题，命题q 是真命题，求实数a的取值范围. 18．（本小题满分12 分） 已知函数 ． (1)判断函数 在 上的单调性，并利用定义证明； (2)解不等式 ． 19．（本小题满分12 分） 已知函数 ， ，且 ． (1)求a 的值及函数 的单调递增区间； (2)求函数 在区间 上的最小值和最大值． 20.（本小题满分12 分） (1)已知tan( π 4 +α)=1 2 ，求sin2a−cos 2α 1+cos2a 的值. (2)求sin 40 ∘(tan10 ∘−❑ √3)的值. 21．（本小题满分12 分） 2022 年10 月16 日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会土的报告中，提出了 “把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023 年投资 新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250 万元，每生产 数学试题第5页，共4 页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 x 千部手机，需另投入成本 万元，且 由市场调研知每 部手机的售价为0.7 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (1)试写出2023 年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式； (2)当2023 年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 22．（本小题满分12 分） 已知函数 ，其中 k 为常数．若函数 在区间 I 上 ，则称 函数 为 I 上的“局部奇函数”；若函数 在区间 I 上满足 ，则称函数 为 I 上的“局部偶函数”． (1)若 为 上的“局部奇函数”，当 时，解不等式 ； (2)已知函数 在区间 上是“局部奇函数”，在区间 上是“局部偶函 数”， ，对于 上任意实数 ，不等式 恒成立，求实数m 的取值范围． 答案第1页，共10页 衡阳市八中2022 级高一第二学期开学考试 参考答案： 1．B 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ . 故选：B. 2．B 【详解】命题“ ， ”的否定是：对 ， . 故选：B 3．C 【详解】对于A，若a=2,b=1,c=−1,d=−2，则ac=bd=−2，所以A 错误；对于 B，若c=0，则ac 2=bc 2=0，所以B 错误；对于C，因为a>b，所以由不等式的性质可 得a−c>b−c，所以C 正确；对于D，因为a<b<0，所以ab>0，所以a ab < b ab ，即1 b < 1 a ， 所以D 错误，故选C. 4．B 【详解】选项A 函数 的定义域为 ，而 的定义域为 ， 故A 错误； 选项B 函数 的定义域为 ，而 的定义域为 ， 且 ，故B 正确； 选项C 函数 的定义域为 ，而 的定义域为 ， 答案第2页，共10页 故C 错误； 选项D 函数 的定义域为 ，而 的定义域为 ， 但是 ，故解析式不一样，所以D 错误； 故选：B. 5．B 【详解】将 的图象先向左平移 个单位长度得到 ， 再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍得到 ， 所以 ． 故选：B． 6．D 【详解】∵sin π 4 <sin1<sin π 3 ,∴ ❑ √2 2 <c< ❑ √3 2 ；又a= 1 log832=log328=log2 52 3=3 5, b=π 0.01>π 0=1，.∵ ❑ √2 2 =5 ❑ √2 10 > 6 10=3 5 ， ❑ √3 2 <1，∴a<c<b.故选D 7．B 【详解】函数 的定义域为 ，关于原点对称 ， 函数 是奇函数，图像关于原点对称，故排除 A 选项； 又 ，故排除D 选项； 答案第3页，共10页 ，当 时， ，即 在 上单调递增，故排除C 选项. 故选：B. 8．D 【详解】 有四个不同的零点 、 、 、 ，即 有四个不同的解． 的图象如下图示， 由图知： ， 所以 ，即 的取值范围是(0,＋∞)． 由二次函数的对称性得： ， 因为 ，即 ，故 ． 故选：D 9．AC 【详解】对A，∵偶函数f ( x)的定义域为[2a−1,a],∴2a−1=−a,解得a=1 3 ，A 对； 对B，设一次函数f ( x)=kx+b(k ≠0)，则 f (f ( x))=f (kx+b)=k(kx+b)+b=k 2 x+kb+b, 答案第4页，共10页 ∵f (f ( x))=4 x+3,∴{ k 2=4 kb+b=3 ，解得{ k=2 b=1 , 或{ k=−2 b=−3 ,∴函数f ( x)的解析式为 f ( x)=2 x+1或f ( x)=−2 x−3,B 错；对C,∵奇函数f ( x)在[2,4 ]上单调递增，且最大值 为8，最小值为−1， ∴f (2)=−1，f (4)=8，∴f (−2)=−f (2)=1，f (−4)=−f (4)=−8, 2f (−4)+f (−2)=2×（−8）+1=−15,C 对；对D，∵集合A={x|−a x 2+4 x+2=0} 中至多有一个元素，∴方程−a x 2+4 x+2=0至多有一个解，当a=0时，方程4 x+2=0只 有一个解−1 2 ，符合题意；当a≠0,由−a x 2+4 x+2=0至多有一个解，可得∆=16+8a≤0， 解得a≤−2，∴a=0 或a≤−2,D 错.故选AC 10．BD 【详解】对于A， 的定义域为R．因为 ， 所以 ，则函数 的图象不关于原点对称，故A 错误． 对于B， ， 当 ， 在 上单调递增，即 ，令 ， 时， 函数 在 上单调递增，根据复合函数单调性，故B 正确． 对于C，当 ，即 时， ， 则问题转化为函数 在 上的值域，二次函数对称轴方程为 ， 故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时，取得最大值为 ，当 时，取得最小值为，故值域为 ，故C 错误． 答案第5页，共10页 对于D，令 ，即 ，解得 或 ， 当 时， 或 或 ，故函数 在 上有3 个零点，故D 正确． 故选：BD． 11．ABC 【详解】因为16=ab+2a+b≥ab+2❑ √2ab，当且仅当2a=b时取等号，解不等式得 −4 ❑ √2≤❑ √ab≤2❑ √2，即ab≤8，故ab的最大值为8，A 正确；由16=ab+2a+b得 b=16−2a a+1 = 18 a+1 −2，所以 2a+b=2a+ 16−2a a+1 =2(a+1)+ 18 a+1 −4≥2❑ √2(a+1)∙18 a+1 −4=8，当且仅当 2(a+1)= 18 a+1 ，即a=2时取等号，此时取得最小值8，B 正确； a+b=a+ 18 a+1 −2=a+1+ 18 a+1 −3≥6 ❑ √2−3,当且仅当a+1= 18 a+1，即a=3 ❑ √2−1时取 等号，C 正确；1 a+1 + 1 b+1 ≥2❑ √ 1 a+1 ∙ 1 b+1=2❑ √ 1 ab+2a+b+2= ❑ √2 3 ，当且仅当 a+1=b+2时取等号，此时1 a+1 + 1 b+1取得最小值 ❑ √2 3 ，D 错误. 故选ABC. 12．ABD 【详解】对于A：因为 是偶函数， 所以 ，即 所以 关于 对称，故A 正确. 对于B：因为 ， 答案第6页，共10页 所以 ， 所以 ，即周期 ，故B 正确 对于C： 所以 ，故C 错误； 对于D：因为 ，且 关于直线 对称， 根据对称性可以作出 上的图象， 又 ，根据对称性，可作出 上的图象， 又 的周期 ， 作出 图象与 图象，如下图所示： 所以 与 有4 个交点，故D 正确. 故选： ABD 13．−3 4 【详解】 θ∈( π 2 ，π),且sinθ=3 5 ∴cosθ= ❑ √1−sin 2θ=−4 5 ，则tanθ= sinθ cosθ =−3 4 故答案为:−3 4. 答案第7页，共10页 14． 【详解】由题意得 ，解得 ，故 ， 则 即为 ， 根据 在 上为单调增函数，则有 ， 解得 ，故解集为 ， 故答案为： . 15．( π 6 , π 3 ¿ 【详解】因为x∈(0,m),所以−π 3 <2 x−π 3 <2m−π 3 ,因为f ( x)在(0，m)上的值域为 ( 1 2 ,1¿，f (0)=cos(−π 3 )=1 2，所以0<2m−π 3 ≤π 3 ，解得π 6 <m≤π 3 16．m>−1 2 【详解】由3 x 3 x+1联想到构造3 x−1 3 x+1 ,因为f (0)=1 2，所以考虑 f ( x)−1 2=1 2 ∙3 x−1 3 x+1 +x 3, 令g( x)=f ( x)−1 2,可知函数g( x)为奇函数且单调递增。则f (m)+f (m+1)>1 ⇔f (m)−1 2 +f (m+1)−1 2 >0⇔g(m)+g(m+1)>0，由奇函数性质可得 g(m)>g(−1−m)，因为g( x)单调递增，所以m>−1−m,解得m>−1 2 17．(1)a< 1 3 答案第8页，共10页 (2)−8≤a< 1 3 【详解】I(1)若命题p 是真命题，即a x 2+2 x+3≥0在R上恒成立，当a=0时，2 x+3≥0， 不能恒成立；当a≠0时，{ a>0 △=2 2−12a≤0 ，即{ a>0 a≥1 3 ，∴a≥1 3.若命题p 是假命题，则 a< 1 3. (2)若命题q 为真命题，即∃x∈[1,2],使x 2+2 x+a≥0，即y=x 2+2 x+a在[1,2]上的最大值 大于等于0，y=x 2+2 x+a为开口向上的二次函数，对称轴为x=−1,故当x=¿2 时取得最 大值，即2 2+2×2+a≥0⟺a≥−8.当p 假q 真时，则a< 1 3且a≥−8，即−8≤a< 1 3. 18．(1)单调递减，证明见解析 (2) 或 (1)函数 在 上单调递减． 证明：设 ，则f ( x1)−f ( x2)=ln x1+1 x1−1 −ln x2+1 x2−1=ln( x1+1 x1−1 ⋅x2−1 x2+1)， 由 ，可得 ， 所以 ， 即有 ，即 ， 所以 在 上单调递减. (2)由 ，解得 或 ，定义域为 ，关于原点对称， ， 答案第9页，共10页 所以 为奇函数． 不等式 即为 ， 而 ， ， 由 在 上单调递减，可得 ， 即为 ，解得 或 ． 所以原不等式的解集为 或 . 19．(1)a＝0， ， (2)最小值－1，最大值2 【详解】（1）因为 ， 所以 ， ， ， 由 知1＋a＝1，则a＝0，所以 ． 令 ， ，则 ， ， 答案第10页，共10页 则函数 的单调递增区间为 ， ． （2）由（1）知 ， ，则 ， 当 ，即x＝0 时，函数 有最小值－1； 当 ，即 时，函数 有最大值2． 20．(1)−5 6 (2)−1 【详解】(1)由tan( π 4 +α)= 1+tanα 1−tanα =1 2可得tanα=−1 3 , 又sin 2a−cos 2α 1+cos2a =2sinαcosα −cos 2α 2cos 2α =2sinα −cosα 2cosα =tanα −1 2 所以sin2a−cos 2α 1+cos2a =（−1 3 ）−1 2=−5 6. （2）原式¿sin 40 °( sin10 °−❑ √3cos10 ° cos10 ° )=sin 40 °( −2sin50 ° cos10 ° )=−2sin 40 °cos 40 ° cos10 ° ¿−sin 80 ° cos10 ° =−1 21．(1) (2)产量为 （千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000（万元） 【详解】（1）根据利润=销售额-成本，可得 当 时， 答案第11页，共10页 当 时， ， 故 ； （2）由（1）可知， ， 当 时， ， 当 时， 当 时， ， 当且仅当 ，即 时， ， ， 产量为 （千部）时，企业所获利润最大， 最大利润是9000（万元）. 22．(1) ； (2) . 【详解】（1）若 为 上的“局部奇函数”，所以 ， 即 整理可得： ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 答案第12页，共10页 由 ，可得 ， 所以 ，解得 ， 又因为 ，所以 ， 所以不等式的解集为 ； （2）若 为 上的“局部奇函数”，由（1）知， ， 若 为区间 上是“局部偶函数”，可得 ， 即 ，整理可得： ， 所以 ，解得 ， 所以 令 ， 当 时， ， 在 单调递增， 当 时， ，当 时， ， 所以当 时， ， 当 时，此时 为局部偶函数， 当 时， ， 在 单调递增， 此时 ， 答案第13页，共10页 所以 ， ， ， 对于 上任意实数 ，不等式 恒成立， 可得 ，即 ， 解得： ， 所以实数m 的取值范围是 . 答案第14页，共10页